הפיכת הספירה – נזקמת מתמטית

הפיכת הספירה

8 בדצמבר 2004

דף 4

הגרסה של ברנאר מורין

כדי להוריד את גרסת ה-PDF של המאמר מ-1979 של ב. מורין ו-ג.פ. פטיט, שפורסם ב- Pour la Science

הפיכת הספירה ( 2.8 מגה )

נתחיל בספירה שמוצגת בפניה הכהה החוצה ובפניה הכתומה פנימה. ב-ב ו-ג נביא את הקטבים ליצירת קשר. לאחר מכן, השכבות יתداخلות לפי "נפילה של מפרק". ייווצרת עקומה סגורה של חיתוך עצמית. בתחתית וימינה, שלושה חתכים חציוניים מאפשרים להבין טוב יותר את המבנה שהתקבל. בשלב זה הספירה נראית כמו סוג של "כלי שיט מתקפל" מעגלי, עם "רצפה" ו"רצפה כפולה".

שלב ראשון: "נפילה של מפרק". יצירת עקומה סגורה של חיתוך עצמית

פעולה שנייה: נפילה של מפרק נוספת, יצירת עקומה סגורה שנייה.

יצירת עקומה סגורה של חיתוך עצמית שנייה

כדי לעשות זאת, הכלי המתקפל התפצל במנוף של סיבוב, מה שמאפשר למשוך שתי חלקים של "הרצפה", הנמצאים בצדדים מנוגדים, ליצירת קשר. התמונה הבאה היא תוצאה של שתי נפילה שגרמו ליצירת "חתכי מנדארינה".

אחרי יצירת שני "חתכי מנדארינה"

בצד שמאל בוצעו חתכים במודל. במרכז מוצגת הדרך בה שני צילינדרים, שחתכיהם מראים את צורת האות היוונית "גימא", התداخلו. נזכיר שהנפילה של יצירת "חתכי מנדארינה" נעשתה על ידי חיתוך "עץ" בשני מישורים שיצרו זווית דו-מישורית. כל אחת מהמבנה הצילינדריים, שחתכיהם הם בצורת "גימא", כוללת גם את החתך העגול וגם את הזווית הדו-מישורית. שימו לב היטב לתמונה י. ב-כ מציירים את כל העקומה של חיתוך עצמית. החלק הגדול ביותר של העקומה הסגורה נובע מה"נפילה של מפרק" הראשונה שמעבירה את הספירה ל"כלי שיט מתקפל". לאחר יצירת שני חתכי מנדארינה מקבלים מבנה מורכב יותר, ש-כ' הוא תת-קבוצה שלו. ב-כ" רואים שהמבנה הזה ניתן להשוואה למבנה של שני "חתכי מנדארינה" על שני צלעות של טטראדר שלא סמוכות.

הכל יקרה יום אחד בצורה הרבה יותר פשוטה כשאצליח ליצור אנימציות. זה לא יוצר בעיות טכניות אמורות. זו שאלה של זמן בלבד. מעט אנשים יכולים לראות במרחב, כלומר לקרוא את הקוד שמשתמש בקווי עזר, נקודות, צבעים, צללים וראיית שמש, אך גם להרכיב בדמיונם תהליך של שינוי תוך דמיון לתנועה המוצעת. אני מקווה שיום אחד אמצא את הזמן לעשות את כל הדברים האלה. נציין בדרכנו שאפשר להשתמש במודלים פוליאדריים, כפי שעשיתי כדי להראות כיצד ניתן להפוך קורס קאפ למשטח בוי. זהו העתיד. אך יש לחשוב על מודלים כאלה. בחלק התחתון תמצאו את הגרסה הפוליאדרית המופחתת של המודל המרכזי של ההיפוך שדמיין ברנאר מורין (נזכיר שמדובר באדם עיוור!), יחד עם הדרך לבנות אותו בעצמכם מתוך חיתוך.

למה לא המשכתי את הדברים רחוק יותר? אגיד: בגלל חוסר "התקדמות". אין עיתונים מתמטיים שמקבלים לפרסם עבודות מסוג זה. הצלחנו לעשות זאת ב-1975-1978 דרך מספר הערות ב-Comptes Rendus של האקדמיה של מדעי פאריס, שכנראה לא נקראו על ידי רבים. אך זה היה בגלל שהאקדמאי אנדרא ליכנרויץ' התעניין אישית ב עבודות אלו. הוא מת היום. מאחר שהעבודות הושלמו לגמרי כבר ב-1975, היה מומלץ לי ליצור סרט אנימציה על בסיס הציורים שלי. שכן עבדתי בתחום האנימציה, הייתי לגמרי מסוגל לנהל את הפרויקט הזה. אך היה בלתי אפשרי למצוא תموיל מה- CNRS, והלבוש האחרון שיצר סרט היה המתמטיקאי האמריקאי נלסון מקס, שמתבסס על מודלים שבנייתם עשתה חברו צ'ארלס פוג (מהגרסה הזו של הפיכת הספירה), ומשתמש במחשב חזק, הצליח ליצור את הסרט הראשון. אך זה לא הפעם הראשונה ולא האחרונה שצרפתים, שלא מקבלים שום תגובה מאמציהם, ניצחו על ידי עמיתים זרים שמתוכננים טוב יותר ומקבלים תמיכה טובה יותר.

נעבור לשלב השלישי, הקשה ביותר להבנה.

הכנת שתי נפילה של "מכנסיים"

בתמונה כ רואים היטב את שני קצות "רגלי המכנסיים", שפרטים מופיעים ב forefront כ'. стрелת לבנה מצביעה על המעבר "בפינה". ההמרה הזו קשה מאוד להבנה. הוספתי את התמונה מ כדי לנסות להיות מובן יותר. ב-ל מייצגים בנקודות את העקומה של חיתוך עצמית, שכוללת את כל העקומה ב-ל'. מעבר (המשתמש בстрелת הלבנה) ייסגר. תנועת הסגירה תלויה בהעלאה של חלק מהעקומה של חיתוך עצמית, ב-2 נקודות. חלקים של העקומה יגיעו ליצירת קשר, כל אחד מהם על אחת מהקווים שייכים ל"חתכי מנדארינה". כשיצירת הקשר תקרה, יקרה ניתוח. הקושי נובע מכך שכאשר רואים ארבע הנפילה הבסיסיות, בדף הקודם, יש להפוך אותן בכול הזוויות, להטיל את צווארך, אם צריך. ב-נ מציירים את הרגע הקריטי שבו יקרה הניתוח (ה"מצב האמצעי" של ההמרה), שבו ישתנה אופן החיבור של קצות העקומה. אנו יודעים שהנפילה של "מכנסיים" מכניסה את המעבר ופותחת מעבר אחר. המעבר הראשוני מוצג על ידי הстрелת הלבנה. אך קיים גם מעבר אחר שנראה מאותה זווית אם נסובב את המודל ב-180 מעלות סביב ציר אנכי. שתי הстрелות יוצרים רק אחת. לפני שהנפילה תקרה, עדיין אפשר לנוע בתוך "הכלי המתקפל". כשהנפילה תקרה, המעבר הזה כבר לא יהיה אפשרי. במקום זאת, ייווצרו שני מעברים אחרים. אך איפה? אילו חלקים של המרחב הם מושפעים? המעברים יאפשרו תקשורת בין פנים חתכי המנדארינה למחוץ. ב-ל', אתם רואים את חתכי המנדארינה. נמשיך לשלב הבא.

סגירת המעבר. לקראת מצב קריטי כפול

ב-ו מציירים את שתי הנפילה של "מכנסיים" בשלבים שונים. אחד המעברים סגור לגמרי. אנו במצב קריטי, ממש לפני שהקשתות של העקומה ישתנו באופן החיבור. בצד ימין (פרטים בתמונה ו') המעבר עדיין נסגר. לכן, צורת העקומה של חיתוך עצמית ו" שונה מימין ומשמאל. בציורים פ, פ', ו-פ" הושג מצב קריטי משני הצדדים. בלוח הבא הניתוחים התרמו. הצינורות שראינו מתחילים בתמונה פ", שמחברים את "חתכי המנדארינה" למחוץ, כבר נוצרו:

שתי "נפילה של מכנסיים" התרמו. המעברים (стрелות לבנות) פתוחים.

הדברים ימשיכו עכשיו לעבוד על החלק התחתון של המודל, שפרטים מופיעים ב-ר. נסתכל על חלק זה של המשטח בקפידה. רואים שני חלקים של צילינדרים פרבוליים שמתנגשים, מכוונים לפי שני כיוונים ניצבים. קיים מעבר בחלק התחתון של ר שמופנה למשתכל. נשקול להזיז את שני הצילינדרים זה ביחס לזה. זה יגרום לסגירת המעבר הזה ופתיחה של מעבר אחר, בכיוון הניצב ("משמאל לימין"). אנו מזהים כאן נפילה של "מכנסיים" חדשה. אם תהליך הזזה אנכית של חלקים של צילינדרים פרבוליים יקרה, נגיע שוב למצב קריטי, עם שינוי באופן החיבור של השכבות. אך למעשה, מתוך שיקול של חיסכון, נעצור את התהליך במצב הקריטי, במצב האמצעי, כשהמעבר שמופנה למשתכל ייסגר והמעבר בכוון הניצב עדיין לא ייפתח. נעשה זאת.

נפילה של "מכנסיים" חדשה, התחילה ב-ל, נעצרה בצד ימין, במצב קריטי.

נעשה "לחץ" ב-ל על הצילינדר שמוצג בפניה הכתומה החוצה, ונעלה אותו. ב-ג' רואים את האפקט של התנועה על כל העקומה של חיתוך עצמית: הקשתות מתחילות להתקרב. כשנגיע למצב הקריטי, החלק הזה של העקומה ייראה כמו "מגבת לערבוב ביצים", כפי שמוצג בתמונה. ציורים מימין, ט, ט', ט": הושג מצב קריטי, כלומר "הרגע האמצעי של הנפילה". ב-ט" צורת העקומה של חיתוך עצמית, שבה החלק התחתון זהה לזה של מגבת לערבוב ביצים. התמונה ט' מייצגת את הנפח הקטן הטטראדרי. ב-ט''' מציירים את חיתוך ארבע השכבות.

לך לשתות אספירין.

בגרסת הפיכת הספירה הזו, כל ההמרות, כל הנפילה, אמורות להסתיים. אך נעצור את ההמרה שרק הזכרנו במצב האמצעי, "הקריטי". נתחיל כעת בנפילה שטרם השתמשנו בה: הנפילה שמעבירה את הטטראדר. אך גם כאן נעצור במצב "האמצעי", כשהטטראדר ירד לנקודה. נמשיך!

הנפילה האחרונה, נעצרה בשלב האמצעי: כשהטטראדר הופך לנקודה רב-מונחית Q

ב-ט''' מופיע תיאור של המבנה של ארבע השכבות, שעקומה של חיתוך עצמית כוללת נפח שמשנה את צורת טטראדר. ב-ו" הטטראדר הופך לנקודה (רב-מונחית, מאחר שיש ארבע שכבות שמתנגשות). מימין מופיע המודל עם ארבע "אוזניות של מוריין". ב forefront מופיע כל העקומה של חיתוך עצמית, בתחתית – "מגבת לערבוב ביצים", ובתמונה העליונה ארבע "כפפות" שנותנות את הרושם של "אוזניות של ארנבת". על ידי דחיסה קלה של המשטח, ללא נפילה חדשה, אנו מגיעים ימינה ל- המודל המרכזי עם ארבע אוזניות של מוריין. המודל הזה מראה סימטריה מסדר ארבע. אם נבצע סיבוב של 90 מעלות סביב ציר הסימטריה האנכי, נקבל את אותו ציור, אך עם צבעים מוחלפים. האפור הופך לכתום וההפך. כעת נוכל לומר שהעבודה הושלמה. שכן אם רצינו לצייר את האומוטופיה המלאה, היה מספיק, באמצעות אנימציה, לסובב את המודל המרכזי ב-90 מעלות. לאחר מכן נוכל להחזיר את כל הציורים שציירנו, להפך, עם צבעים מוחלפים. בסופו של דבר נקבל חיתוך של הספירה שמוצגת בפניה הכתומה החוצה. אך המתמטיקה היא בית ספר לאי-עמל, או לחסכנות, תלוי מה תצפיתך. כל עוד העבודה הובילה אותנו למודל עם סימטריה מסדר ארבע, נוכל להפסיק כאן ולומר שהפעולה הושלמה.

בלוח הבא ניסיתי לתאר את המודל המרכזי של מוריין, פתוח, עם כל הפרטים. קיים גם מודל עם "אוזניות סגורות", שכתבתי עליו במאמר אחר באקדמיה, אך אעזור לך להימנע ממנו.

תיאור מפורט של המודל המרכזי של מוריין, עם ארבע אוזניות

בשלב מאוחר יותר מצאתי הצגה פוליאדרית של המודל המרכזי עם ארבע אוזניות. למעשה, מודל כזה אין לו "למעלה" או "למטה". לצורך נוחות בציור ואנימציה (הצגתי את התמונות האלה בעזרת תוכנת עזר לניהול תכנון שפיתחתי, לפני תחילת שנות ה-80) התמונה המנוקדת הבאה מראה את המודל עם הנקודה הכפולה כלפי מעלה. גם הנקודה הרב-מונחת מוצגת:

הגרסה הפוליאדרית שלי של המודל עם ארבע אוזניות

איך לבנות את המודל באמצעות חיתוך

הרכיבים לחיתוך (להדפיס, ואז להעתק על ארבע דפים של נייר עבה, בשני צבעים)

באנימציה הראשונית, האובייקט היה "במראה מראה" ביחס למבט למעלה. לכן, "מבוקע מלמעלה", הוא נראה כמו צלב גימא, והכל יכול להזכיר סוג של "בית תרבות למחנה נאצי-חדש". העדפתי להפוך את האובייקט כדי לא לספק רעיונות רעים לארכיטקטים של ימין קיצוני. לחץ כאן כדי לקבל את כל ההנחיות על איך לבנות את האובייקט בעצמך. לסיום, כמה ראיות של האובייקט.

אסיים את הזכרתי של הפיכת הספירה בסיפור מרגש אך אמיתי. בתקופת הפעולה של ההמרות, שידעו רק מספר קטן של מוכרים, מְרִין הצעיר הצעיר הושיט פרס של מיליון דולר לאדם שיעלה מודלים מספיק מובנים. בברקלีย, המתמטיקאי צ'ארלס פוג התמודד עם המשימה והצליח להשלים אותה. עם הכסף, הוא הצליח לקנות בית. המודלים, שנבנו ממסגרת עופרת ומידה כל אחד מטר אחד בקוטר (פוג הצליח, עם יד ידידותית מרשימה, לחתוך ולמחוץ את החיבורים של המבנה, שמאפשר חיתוך עצמי), עלו למשך שנים על סיפון הקפה של מחלקת המתמטיקה בברקליה. לאחר מכן, לילה אחד, הם נגנבו ולא נמצאו שוב. לא ידעו מי עשה את זה. מסחרית, זה היה קשה יותר למכור מאשר ה"מונליזה" של הלובר. אולי מתרגל מהיר משמור אותם במרתף סודי, ומשמח כל ערב כשנכנס לשם ומביט ורואה: "אני היחיד שיכול לראות אותם".

יש גם סיפור אחר שמתאר את משטח בוי, שבו הייתי הראשון שקבע את העקומות המערביות, מזהה אותן כמשפחה של אליפסות. העבודה נעשתה בצורה של ממש, מתוך מודל מתכתי שיצרתי. אחד בניו של המתמטיקאי ז'אן-מריה סוריאו, ז'רום, עבד אז על לימודים בפיזיקה. בעזרת המחשב הקטן אפל II של אביו, הצליח לבנות את ההצגה הפרמטרית הראשונה של האובייקט, מהצורה:

X = X ( אלפא , מיו )

Y = Y ( אלפא , מיו )

Z = Z ( אלפא , מיו )

אני לא מצליח להכניס את גופן סימבול ב-Dreamweaver, שמאפשר לי להכניס אותיות יווניות לדף HTM &&& אם מישהו יכול להסביר לי איך לעשות את זה......

באמצעות עשרה שורות של תוכנית BASIC הצלחנו להציג לראשונה, ב-1981, על המסך, תמונות "חוטיות" של משטח בוי. אם תמצאו תמונות סינתטיות של האובייקט באתרים, הן תמיד יושבו על בסיס העבודה שפורסמה באקדמיה (תome 293, ישיבה של 5 באוקטובר 1981, סדרה 1, עמודים 269-272). מאחר שהעבודה מוקדמת על ידי ג.פ. פטיט ו-ז'.סוריאו, ה- (נادרים) קוראים חושבים ש-ז'.סוריאו הוא המתמטיקאי הידוע. למעשה מדובר בנו, ז'רום, שnever סיים את תוארו בפיזיקה והעדיף לתרום כמפתח תוכנה. קל להבין שהתמונות הסינטטיות, שחלקן נוצרו על ידי הקולונל מהאינסטיטוט הפוליטכני, מבוססות על המשוואות שמצאנו, ז'רום ואני. הן דורשות שיפור, ובעקבות חוסר עבודה של סיום, המשטח מציג שלוש תקיעות לא אסתטיות בקרבת הקוטב. הנה התוכנית שמאפשרת לבנות את ההצגות "חוטיות".


**
התוכנית, מוצאת מה-Topologicon**:

הסיפור האחרון הוא עוד יותר מפתיע. לפני כעשרים שנה השתתפתי בסיור תת-מימי בדרום באהמה, עם המפליג ג'אק מיאול. המטרה הייתה לגלות "פירמידה מושטת", שקיומה הוזכר בكتבה המפורסמת של צ'ארלס ברליץ "המשולש של בורמודה", ספר מכר עולמי. במדויק, הפירמידה הייתה צריכה להיות בדרום רиф קיי סל בנק, באמצע הדרך בין פלורידה לקובה, אזור שמכוסה בדוברי ים, די מסוכן. אך במחקר יש לפעמים לשקול לקחת סיכונים.

לא מצאנו יותר פירמידה מאשר חמאה על עץ. נשלחנו למקומם על ידי מمول איטלקי עשיר, על יacht יפה, באורך של שלושים מטר, עם מנועים חזקים מאוד. בגלל חוסר פירמידה, התחלתי לדבר עם המיליארדר על גאומטריה, וציין לו שבעזרת תרומה ליצירת משטחים מתמטיים, הוא ימצא דרך לה