הפיכת הטורוס בטופולוגיה

הפיכת הטורוס

9 בדצמבר 2004

דף 5

תוצאה של העבודות הללו: הפיכת טורוס טריוויאלית

אם היה מסובך מאוד להפוך כדור, מצד שני, מנקודת המבט הזו, הפיכת טורוס היא ממש קלה. אפשר אפילו לומר שזה בתוך כוחו של ילד בן עשר. הרי הטורוס הוא בסך הכול כדור עם ידית. אנו עושים זאת כפי שעשינו כדי להחלף בין שני הנקודות הקוספידליות של קרוסקף, כלומר – מפיכים את הכדור בלי להתייחס לשאלה. הידית מופיעה עכשיו מבפנים. נאמר ש"הגשר" הופך ל"מעבר תחתי". אך כל מהנדס תחבורה יודע, כל מעבר תחתי ברשת רחובות יכול להפוך לנקודה באמצעות הומוטופיה רגילה.

כשכדור מופך, מספיק לשקוע אצבע במעבר הזה ולמשוך קלות. ראה את הציורים הבאים.

הפיכת טורוס טריוויאלית

אף על פי שזה נראה די לא ברור בציור, אנו מציגים ב-a אחד מעגלים היוצרים של הטורוס, שמהווים אחת משתי הקבוצות של מעגלים המאפשרות לצייר את הטורוס ללא סינגולריות של רשת (ראה את ה-Topologicon). כאשר הידית מתרכזת באזור של כדור עם ידית b, העקומה עדיין נראית. כשכדור עם ידית הופך, ב-c, והעובד שוקע את אצבעו במעבר, העקומה מתחילה למקף את האצבע שלו. כשהוא "מוציא" את הידית, ב-d, רואים (התמונה הסופית e, של הטורוס ההפוך) שמעגל זה הפך ל... מעגל הגרון של המשטח. לכן, כשאנו מתחילים מטורוס שציירנו באמצעות רשת כפולה של מעגלים מערביים ומעגלים מקבילים (מעגל הגרון שייך לקבוצה השנייה), רואים שהפעולה של הפיכת הטורוס מחליפה את שתי הקבוצות. זה נראה כמו קסם, ואני מודה שזה חורג מיכולתי להבין. כל אחד צריך ללמוד להכיר את הגבולות שלו. אני מאמין שבעצם יש תהליכים מנטליים שבהם המוח צריך להיות מוגן בפונט.

דף קודם דף הבא

חזרה למדריך חזרה לדף הבית

מספר הפעמים שנשאף לדף זה מאז 9 בדצמבר 2004: