הפיכת הטורוס של קליין
הפיכת הטורוס
5 בדצמבר 2004
דף 6
הפיכת הטורוס הלא טריוויאלית
J.P. Petit:
הערות של האקדמיה למדעים, כרך 293, ישיבה מ-5 באוקטובר 1981, סדר 1, עמודים 269-272
אסתפק בהצגת סדרת הציורים, ללא הערות.
הפיכת הטורוס הלא טריוויאלית. חלק ראשון של ההמרה
הפיכת הטורוס הלא טריוויאלית. חלק שני של ההמרה
כשאנו מגיעים לציור v אנו רואים שעתה קל להפוך את המבנה הצבוע בהיר עם המבנה הכתום, כדי להפוך את הרכיב הזה למכסה דו-שכיח של בקבוק קליין.
ההפיכה מתבצעת כעת על ידי החלפת השכבות הנוגדות. להלן אותו ציור עם צביעת צבעים.
מכסה דו-שכיח של בקבוק קליין, עם צביעת צבעים
(הציור הזה אינו חלק מהדו"ח האנuali של המועצה למחקר מדעי. תמצאו אותו ב-Topologicon)
המשפחות השונות של טורוסים.
מה שסטיבן סמאלי הוכיח ב-1957 היה שקיימת רק משפחה אחת של הכנסות של כדור, וכל ההכנסות הללו היו ניתנות להצמדה אחת לשנייה באמצעות הומוטופיה. הם יצרו חבורה שהאיבר האפסי היה פשוט להשאיר את הרכיב כפי שהוא. התחילו לשאול האם ייתכן שאותו מצב יתקיים גם עבור הטורוס. המתמטיקאים איון ג'יימס ואמרי תומאס הראו שההכנסות של הטורוס מתפצלות לארבעה קיימים, בין которых לא ניתן לעבור באמצעות הומוטופיה רגילה.
ארבע המשפחות של טורוסים
ה"טורוס הסטנדרטי", שציורו במרכז הדף, שייך לאותה משפחה כמו הרכיב המוצג ב-b. זה מה שעשיתי במקביל בגרסה של הפיכת הטורוס שיצירתי ב-1980. המשפחה המוזכרת ב-a מייצגת טורוס שחל עליו סיבוב של 360 מעלות. הוא נראה כמו הטורוס הסטנדרטי, אך שניים מוגדרים על פי מערכת מיפוי, באמצעות שתי משפחות של עקומות. בטורוס הסטנדרטי משתמשים בשתי קבוצות של מעגלים שמשלימים את המערת והמקבילים. בטורוס a עלינו להשלים את משפחת המעגלים המותקנת עליו במשפחה שנייה, שמסובבת בכיוון הפוך. ניתן להוכיח שבלתי אפשרי, באמצעות הומוטופיה רגילה, להפוך את הרשת של הטורוס a למתאימה לרשת של הטורוס הסטנדרטי (מעגלים מערת ועוד מעגלים מקבילים). בדיוק בגלל זה הם עצמים שונים. כל עצמים אלו יכולים כמובן להתקיים כמכסה דו-שכיח של בקבוק קליין.
הכוח של כלי הגאומטריה הוא ליכולת להחזיק מה אפשרי ומה לא. להפוך את הטורוס הסטנדרטי לטורוס בציור b: כן. לעבור מ-c ל-d: לא.
זה מונע מלהפסיד זמן בטל, ומשדר לחקור דברים שאינם מובנים מאליהם, כמו הפיכת כדור. זה נכון בכל המדעים. לפעמים אנשים מפספסים תהליכים מועילים במשך שנים או אפילו מאות שנים, פשוט בגלל שהם התייחסו להן כבלתי אפשריים. התייחסתי למשך כמה שנים לבניית תיאוריה להסרת גלי התפוצצות סביב גוף שנע במהירות על קול בغاز, באמצעות שדה כוחות של לפלס, מ- "MHD". תלמיד אפילו עשה את התזה שלו בנושא זה תחת מנהלתי, והשקפתי את העבודות שלנו בכתבי עת עם התייחסות וכנסים מדעיים. זהו נושא שרק עכשיו מתחיל להופיע, לאחר שלושים שנים. נחשד שארצות הברית possessים מטוסים היפרסוניקיים שיכולים לנוע במהירות של מך 10 ללא יצירת גלי התפוצצות (ובפרט ללא התחממות חום מרשימה שקשורה למחזורת האוויר מאחורי "ההתרסקויות"). זהו המיתוס המפורסם של אורה, כלי טיס שנועד להעיף בגובה שבו מתרחשים האורים הדרומיים, בין 80 ל-150 ק"מ. אורה גם מהווה תצפית על מתקני שיגור עתידיים שיתבססו על האוויר, ויהיו הרבה יותר חסכוניים מפוצצות של CNES. בצרפת לא היה אפשר להתחיל מחקר כזה (הערכתי את הרעיון ב-1975), כי אנשים, בעיקר ב-CNRS, רצו שמדובר במשהו מוזר לגמרי. התוצאה היא עשרים שנה של תקיעות לעומת ארצות הברית, לפי דעתי בלתי ניתנות להשלמה.
הבלאג'ה של תיבת שמן
כדי להשלים, יש לציין את הגרסאות של הפיכת הכדור שמסתכלות על תיבת שמן כמרכז. זה היה אובייקט נפוץ כשאני היה צעיר, אך כנראה לא נפוץ יותר כיום. הראשון שצייר את הסדרה הזו היה ג'ורג' פרנץ'. בתקופות האחרונות אני עובד על גרסה פולידרלית של הגרסאות האלה, שכתוצאה מכך יצרתי כבר מודל מרכזי יפה. אך כדי להראות לכם אותו, יידרש ממני למצוא אותו שוב. בקרוב, מקווה, כי זהו אחד האובייקטים הכי מושך שיצרתי אי פעם.
דף קודם דף הבא
מספר הפעמים שדף זה נצפה מאז 8 בדצמבר 2004: