הפיכת הטורוס של קליין
הפיכת הטורוס
5 בדצמבר 2004
דף 6
הפיכת טורוס לא טריוויאלית
J.P. Petit:
הדו"ח של האקדמיה למדעים, כרך 293, ישיבה מ-5 באוקטובר 1981, סדרה 1, עמודים 269-272
אסתפק בהצגת סדרת הסרטונים, ללא הערות.
הפיכת טורוס לא טריוויאלית. חלק ראשון של ההטלה
הפיכת טורוס לא טריוויאלית. חלק שני של ההטלה
כשנגיע לאיור v נראה שמאפשר להכניס את המבנה הכתום ואת המבנה האדום זה בזה, ולהפוך את הפורמט הזה למכסה דו-שכבתי של בקבוק קליין.
ההפיכה מתבצעת כעת על ידי החלפת השכבות מוליכות. להלן אותו איור עם צביעה צבעונית.
מכסה דו-שכבתי של בקבוק קליין, עם צביעה צבעונית
(איור זה אינו חלק מדו"ח השנה שלי ל- CNRS. תמצאו אותו ב-Topologicon)
המשפחות השונות של טורוסים.
מה שסימן סטיבן סמאלי ב-1957 היה שקיים רק משפחה אחת של הכנסות של כדור, וכל ההכנסות הללו יכולות להיחבר אחת לשנייה באמצעות הומוטופיה. הם יצרו חבורה שאלמנטים הנייטרליים שלה היו פשוט להישאר במצב הקיים. שאלנו אם יתכן שזה גם יקרה עבור הטורוס. המתמטיקאים יואן ג'יימס ואמרי תומאס הראו שההכנסות של הטורוס מתפצלות לארבעה קבוצות, בין אותן לא ניתן לעבור באמצעות הומוטופיה רגילה.
ארבע המשפחות של טורוסים
ה"טורוס הסטנדרטי", שמתואר במרכזה של הדף, שייך לאותה משפחה כמו הפורמט שמתואר ב-b. זה מה שראיתי באופן עקיף בגרסה של הפיכת הטורוס שיצרתי ב-1980. המשפחה שמתוארת ב-a מייצגת טורוס שחלף סיבוב של 360 מעלות. הוא נראה כמו הטורוס הסטנדרטי, אך מוגדר על בסיס מערכת מיפוי שונה, באמצעות שתי משפחות של עקומות. בטורוס הסטנדרטי משתמשים בשתי קבוצות של מעגלים שמשוות למשתנים ולבין-המשתנים. בטורוס a עלינו להשלים את משפחת המעגלים המותקנת עליה במשפחה שנייה, שמסתובבת בכיוון הפוך. ניתן להוכיח שבלתי אפשרי, באמצעות הומוטופיה רגילה, להכניס את הרשת של הטורוס a לשקיפות עם הרשת של הטורוס הסטנדרטי (מעגלים מערביים ועוד מעגלים מקבילים). בכך הם נבדלים זה מזה. כל הפורמטים האלה יכולים להתקיים כמכסה דו-שכבתית של בקבוק קליין.
הכוח של כלים הגאומטריים הוא לזהות מה אפשרי ומה לא. להפוך את הטורוס הסטנדרטי לטורוס באיור b: כן. לעבור מ-c ל-d: לא.
זה מונע הפסד זמן מיותר, ומרחיב את החיפוש אחרי דברים שאינם מובנים מאליהם, כמו הפיכת כדור. זה קורה בכל המדעים. לפעמים אנשים מפסידים תהליכים פורצי דרך במשך שנים או אפילו מאות שנים, פשוט בגלל שהם רצו שהם בלתי אפשריים. היקרתי כמה שנים מהחיים שלי לבנות תיאוריה של הסרת גלי שוק סביב עצם שנועד במהירות מופחתת בגז, באמצעות שדה כוחות של לפלס, מ- MHD. תלמיד אפילו כתב על כך עבודת מחקר תחת הוריתי, והשינינו את העבודות בכתבי עת עם ביקורת עמיתים וכנסים מדעיים. זהו נושא שרק עכשיו מתחיל להופיע, שלושים שנה לאחר מכן. אנו מנחשים שהאמריקנים מחזיקים במטוסים היפר-סוניקיים שיכולים לנוע במהירות של מך 10 ללא יצירת גלי שוק (ובמיוחד ללא התחממות תרמית ענקית שנובעת מההצטמצמות של האוויר מאחורי "ההכפפות"). זהו המיתוס המפורסם של אורה, כלי טיס שנועד בגובה שבו מתרחשים האורורים, בין 80 ל-150 ק"מ. אורה גם מראה את התחזיות של מתקני ירי עתידיים שיתבססו על האוויר, ויהיו הרבה יותר חסכוניים משלוחי סילון של CNES. בצרפת לא היה אפשר להתחיל מחקר כזה (השכלתי את הרעיון ב-1975), כי אנשים, במיוחד ב- CNRS, רצו שזה מוזר לגמרי. התוצאה היא עשרים שנה של תأخון לעומת ארה"ב, כפי שחשבתי, שלא ניתן להשלים.
בלאג'ה של טבק
כדי להיות מדויק, יש לציין את הגרסאות של הפיכת הכדור שמשתמשות בבלאג'ה של טבק כנושא מרכזי. זה היה אובייקט נפוץ כשאני היה צעיר, אך לא נתקלים בו כיום. הראשון שצייר את הסדרות האלה היה ג'ורג' פרנץ'. בתקופות האחרונות אני עובד על גרסה פולידרלית של הגרסאות האלה, שכתוצאה מכך יצרתי כבר מודל מרכזי יפה. אך כדי להראות לכם אותו, אני צריך להחזיר את היד עליו. בקרוב, מקווה, כי זהו אחד האובייקטים הכי מרהיבים שיצרתי אי פעם.
דף קודם דף הבא
מספר הפעמים שנשאף לדף זה מאז 8 בדצמבר 2004: