קבוצות ופעולה קואדיאינטית של תנע פיזיקלי

7

איבר

g

p של קבוצת פואנקרה Gp מוגדר על ידי סדרת פרמטרים {

p

i}, שהמספר שלה, כפי שציינו כבר, מייצג את

ממד הקבוצה

. המטריצה

d g

(g = e)

מורכבת מהכמות {

dp

i} . לכן, ההעתקה הנ"ל היא מהצורה:

(81)

במילים אחרות, לקבוצה של סקלרים

dp

i מותאם מספר שווה של סקלרים

dp

i

'. הדואליות מבוססת על הנחת אי-השתנות של סקלר, בהתאם ל:

(82)

n הוא ממד הקבוצה (עשרה, לקבוצת פואנקרה). הסקלרים Ji מייצגים את המרכיבים של התנע, במספר זהה.

נחליט לפרק את התנע

J לשני עצמים. הראשון יהיה מטריצה

M אנטי-סימטרית מסדר (4,4), כלומר בעלת שישה מרכיבים, והשני יהיה "רב-וקטור" P, מטריצה מסדר (4,1):

(83)

(84) J = {

M,

p

, E} = {

M,

P }

נכתוב את המכפלה הסקלרית בצורה:

(85)

Tr מציינת "הערכה של", ונקבל שוב:

(86)

צורה ליניארית שאי-השתנותה מבטיחה את הדואליות.

עם:

(87)

(87b)

(87c)

אבל

GG

= 1

לכן זה שווה ל:

(88)

נזהה את האיברים ב- y (89)

כלומר:

(90)

----> כאן ממשיכים פרטיו של חישוב מטריצות. אם תרצו,

לחיצה כאן

תוביל אתכם ישירות לתוצאה.

בתוך הערכה ניתן לבצע סיבוב מעגלי של האיברים.

(90a)

(90b)

(90c)

האיבר השני בצד השני שווה למכפלה של מטריצה שורה במטריצה עמודה.

זה שווה לערכה של המכפלה ההפוכה (למטה, סכמטי: מכפלה של מטריצה שורה במטריצה עמודה):

(90d)

בתוך הערכה אפשר לבצע סיבוב מעגלי:

(90e)

לכן:

(90f)

(90g)

כאן נשתמש שוב במשפט על הערכות של מטריצות שמהוות מכפלה של מטריצה אחרת במטריצה סימטרית.

כל מטריצה יכולה להיות סימטרית או אנטי-סימטרית. יתר על כן, הערכה של מכפלה של מטריצה עם מטריצה סימטרית היא אפס.

(90h)

ניתן ליישם זאת על המטריצה (90i)

מכיוון שנחשב את הערכה

(90j)

(90k) = סימ ( ) + אנטי-סימ ( )

אבל:

(90l)

לכן

(90m)

(90n)

(90o)

(90p)

וכמו כן:

(90q)

לסיום:

(90r)

ביחד והחלפת ה"פריים" צדדים, מתקבלת הפעולה של הקבוצה שלי:

תמונות

חזרה לחלק הפנימי "קבוצות ופיזיקה"