קבוצות ופעולה קואדואינטית של מומנטום פיזיקה

9

חלקיקים עם ספין.

החבורה של פואנקרה מתארת את התנועה היחסותית של גוף נקודתי. באופן דומה, החבורה של בארגמן, שיתוארת בהמשך, מתארת את התנועה הלא-יחסותית של גוף נקודתי, שנקרא אז "מסה נקודתית".

אנו רואים כי טכניקה זו, חישוב הפעולה הקואדואנטית של החבורה על מרחב התנע, אפשרה להגביר את האלמנטים המוסתרים, את התכונות של הגוף: את

רכיבי התנע

.

מה שמעורר הערצה הוא שהגישה הזו, שפותחה על ידי סוריאו, מראה את האובייקטים המרכזיים של הפיזיקאי

כאובייקטים גאומטריים טהורים

. הוא עשה כאן עבודה לא מוקדמת של

הגאומטריה של הפיזיקה

.

מעבר לאנרגיה לתנע, רכיבים אחרים, "הסיבוב" וה"מעבר", מבלבלים למדי את הפיזיקאי. מה זה בכלל?

ההבעה של רכיבי התנע תלויה כמובן במערכת הקואורדינטות שנבחרה.

הפשוט ביותר הוא להחזיר לתקופת הלא-יחסותיות, כלומר להציג את הפעולה הקואדואנטית כפי שהיא נגזרת מאנליזה של החבורה של בארגמן.

(111)

נוסחה מוסתרת. מה היא עוזרת? איך היא עובדת?

במסגרת זו, הפיזיקאי יזהה כמה אובייקטים מוכרים:

(112)

הם פשוט שתי הצגות של וקטור המהירות { vx , vy , vz }, הראשונה בצורה של מטריצה עמודה והשנייה בצורה של מטריצה שורה. מכפלת שתי המטריצות היא סקלר:

(113)

משהו שמתחיל להיראות כמו אנרגיה קינטית.

m v

הוא תנע.

הפיזיקאי הקלאסי, שמתמודד עם דינמיקה של נקודת מסה, מכיר רק שלושה דברים:

• המסה m

• התנע m v

• האנרגיה הקינטית 1/2 mv²

כן, אבל מהירות

ביחס למה

?

חבורה היא גם

מבט

על הדברים. אפשר להתייחס לכך שמעבירים, באמצעות החבורה, אובייקטים (כמו שראינו עם חבורת אוקלידס), ביחס לצופה שנחשב קבוע, או, שהאובייקט קבוע, להביט עליו בצורה אחרת.

אם נבחר את ההגעה, את ההזזה של האובייקטים, בהקשר של

חבורות דינמיות

, של הפיזיקה (בניגוד לחבורה של אוקלידס שבה הזמן לא מופיע), נצטרך לומר גם שמעבירים

תנועה

לأובייקטים, מוסיפים להם מהירות v ואנרגיה E.

אם נבחר את הנקודת מבט ההפוכה: להתייחס לכך שהאובייקט קבוע ולשקול את עצמנו מזוזים, מה המשמעות של החבורות?

חבורת אוקלידס תציין אז: "נראה ממקום אחר ובזווית אחרת".

"המקום האחר" הוא וקטור ההזזה:

(114)

"נראה בזווית אחרת" הוא מטריצת סיבוב a, סיבוב במרחב (שיכול להירשם באמצעות הזוויות של אוילר, אך לא נעשה כאן).

במקרה של חבורות דינמיות, המבט, נקודת המבט על "הדברים", חייב להישדר. נשארים בהקשר של חבורת בארגמן, הכניסה של מהירות v פירושה שהצופה, שמביט במסה נקודתית ממקום אחר (וקטור-ההזזה c), מזווית אחרת (מטריצת סיבוב a), גם הוא נע, ביחס למסה הנראית כמנוחה, במהירות v.

ולסיום, כדי להיות מדויקים, כדי לערבב את המצב, הוא לא מתפתח באותו זמן כמו החלקיק, המסה הנצפית. הוא מושפע בפרק זמן Δt. כלומר: הוא מביט ממקום אחר, אך זהו מקום זמני-מרחבי, המתאים לוקטור הזזה מרחב-זמן:

(115)

אחרי לקיחת "ההתרחקות" הזו, ביחס למסה נקודתית זו, מה אני מلاحظ? ראשית ש- m' = m

זה לא משפיע על מסה.

אני יכול לפשט את החיים שלי על ידי השבתת הסיבוב. זה כבר מספיק מורכב לחשוב על מסה נקודתית שנראית ממקום אחר, מרגע אחר, מוזזת, על סקייטבורד שנועד במהירות v. האם חייבים גם להפוך את הראש?

לא. נניח a = 1.

אך בדרך כלל משמיטים את הפרטים האלה בحسابים. הפעולה הקואדואנטית, כך מוגדרת במיוחד, הופכת ל:

(117)

הביטוי "לשקול" צריך להישמע כאן במובן האטימולוגי. מה אני עושה כשאני שוקל מצב, את השמיים, שדה קרב, סרט שנחצה על ידי מטוס מרגל?

השוטר יכתוב:

• שוקל את המצב במקום.....

מבט סטטי, המתאים לחבורה של אוקלידס. השוטר מביט באובייקטים ממרחק c, באותו רגע (Δt = 0), ב原则上 נייח (v = 0). במקרה של צורך – מזווית מסוימת, "בזווית מסוימת".

גנרל שדופק במטוס מיפוי הוא סוג של שוטר שמתקדם (v ≠ 0).

אבל ראש מטה שצופה בסרט שנחצה על ידי מטוס מרגל, "דראון", עומד בפני מצב שנדחה בזמן. הוא חייב לחשוב:

• נניח שהמטרה נראית מנקודה מסוימת, בפניה משופעת, במהירות מסוימת, ובעוד שהיא הופיעה לפני שעהיים...

המטרה אינה מציינת מהירות משל herself. לא ניתן להתייחס אליה כאל נייחת, גם אם מדובר "במתקן נייח". גם כדור הארץ נע, השמש גם, הגלקסיה וכו'.

חזרה לחלק התחתון "חבורות ופיזיקה"