סוריאו חיה בדירה באהר העתיק של אקס. הדלת שמובילה לרחוב היא מרהיבה. בכניסה מונחת מכונית די מוזרה: כיסא נישוא, מאופי התקופות, ששייכת לבעלת המקום, נערה, ארכאולוגית, אני חושב. הכיסא עומד בקיר. נשאר רק למצוא שני נושאים, לשים את שני המוטות הארוךים של העץ במעגלים, ולשבת עליה כדי לצאת לסיור. הפתחים מוגנים בפינות: הווינטורים של הצדדים יכולים להוריד, לא באמצעות סיבוב, אלא על ידי הפעלת חבלים של עור, כמו שהיה בחללים של רכבות בילדותי.
ככל שכול זה מרגיע. אני מודע לכך שלא הולכתי אי פעם בכסא נישוא. אני משוכנע שבעתים של אבטלה, אנשים יכולים להרוויח את ליבם על ידי הפעלת קו ראשון של כסאות נישוא באהר העתיק של אקס. היה מספיק לבנות מכונית שמתאימה לכסאות של העבר. זה לא נראה קשה במיוחד. ואז להשיג שני בגדים מוזהבים, שתי שערות וקדימה. מסלול: קורס מיראבו. זה יספיק בגדול. אחר כך, רק להחליק, להחזיק קצת דמיון.
ג'ן-מארי חיה לבדו עם החתול שלו, פיוום, בדירה הגדולה שלו, מלאה בדקורציות, בפינות עץ. פיוום נחמד מאוד. עם זאת, אני לא מרגיע במיוחד לעבר חיות בית. אבל זה חתול מאוד מושלם ומכבד.
בדרך כלל אנו עובדים kitchen, שער למעלה. pièce קטנה, מתחת למדרגות, שגודל המרחב שלה מתרחך עם הגודל הגדול של החדרים למטה. בכל פעם שג'ן-מארי מנסה לשתות את המשקה המועדף שלו: פרטן-ברנקה, שמבוסס על ארטישוק, שמצאתי מזעזע, אך הוא מוסיף לו כל מיני תכונות.
כשנוהג בעיר, הוא לוקח את ה-GPS שלו, שמעולם לא נפרד ממנו. באמת מעורר התלהבות לראות את עצמך מוביל על ידי לוויינים הנמצאים במרחק ארבעים אלף קילומטר מהרחוב שבו אתה הולך. כדי לקבל תקשורת טובה יותר, סוריאו נוטה לצעוד לאורך ציר הרחוב, עיניו מוקדשות למסך הקולות. יעיל, נראה, אך עדיין יחסית מסוכן.
אני חושב שמאפשרים לעצמנו להנות. בלילה אחד בדצמבר, הלכתי לבקר אותו, והדבר הוביל לדיון הבא:
-
אני אדבר על קבוצות. אתה זוכר את האקסיומות?
-
כן, יש שישה. הם:
1 - קיימים איברים
a, b, c... שייכים לקבוצה E
2 - קיימת פעולה פנימית, מסומנת כ- o ("עיגול"), שמאפשרת לשלב שני איברים מקבוצה.
a שייך לקבוצה E
b שייך לקבוצה E
a o b שייך לקבוצה E
3 - הפעולה היא אסוציאטיבית:
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 - קיים איבר נייטרלי e כך ש:
a o e = e o a = a
5 - כל איבר a בקבוצה יש לו איבר הפוך, מסומן כ-a⁻¹, כך ש:
a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e
זה חמישה?
-
בסופו של דבר, חמישה, ארבעה, או אחד. אין כלל מוחלט לגבי ספירת האקסיומות. אפשר גם לשלב את האקסיומות 1 ו-2 למשהו אחד:
-
קיימים איברים
a, b, c וכו', שייכים לקבוצה E, עם חוק יסוד פנימי המקיים:
a שייך לקבוצה E
b שייך לקבוצה E
a o b שייך לקבוצה E
זה שקול.
-
טוב, חמישה, ארבעה, לא משנה. איפה אתה הולך?
-
אני אמחק את מה שקראת אקסיומות 4 ו-5, שמתארות את האיבר הניטרלי וההפוך, ואמיר אותם באקסיומה של הסנדוויץ'. בסך הכול, האקסיומות הן:
1 - קיימים איברים
a, b, c... שייכים לקבוצה E
2 - קיימת פעולה פנימית, מסומנת כ-o ("עיגול"), שמאפשרת לשלב שני איברים מקבוצה.
a שייך לקבוצה E
b שייך לקבוצה E
a o b שייך לקבוצה E
3 - הפעולה היא אסוציאטיבית:
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 - יהיו שלושה איברים
a, b, c, שייכים לקבוצה E.
המשוואה:
a o y o b = c
היא בעלת פתרון יחיד.
זה מה שאני מכנה את אקסיומת הסנדוויץ', שם "בקר" y נחצב בין האיברים a ו-b,
c הוא האיבר הסנדוויץ'. האקסיומה אומרת:
אפשר תמיד להוציא את הבקר מהסנדוויץ'.
ואני אומר שאותן אקסיומות מגדירות קבוצות, הן שקולות לسابקות.
-
הפתרון היחיד
y הוא איבר בקבוצה E, מכיוון שהפעולה פנימית ואסוציאטיבית. -
כמובן, זה ברור.
-
אבל זה טוב יותר כשאומרים את זה. אני לא יודע איך אתה מתכוון לחזור על שני האקסיומות שקשורים לאיבר הניטרלי וההפוך, אבל אני מבין לפחות מה גרם לך לחשוב על הרעיון הזה.
-
חשבתי לעצמי: "מה זה עוזר?"
-
בדיוק. מה זה עוזר להחזיק באיבר ניטרלי? כפי שהוא, זה אומר "אם יש לי קבוצה E ואיבר ניטרלי, אני יכול לשלב כל איבר בקבוצה עם אותו איבר ולקבל את אותו דבר". זה לא עוזר לי בכלל. גם מה זה עוזר למשהו הפוך? כשעושים חישובים בקבוצות, על כל דבר שהוא, תמיד מצליחים, על ידי כפל מימין או משמאל באיבר או בהפוכו, להציג את a o a⁻¹ או a⁻¹ o a, שאותם מחליפים ב-e, ואז b o e או e o b שאותם מחליפים ב-b. אקסיומת הסנדוויץ' שלך היא "פונקציונלית".
-
אם אתה רוצה. נמשיך למשפטים שנובעים מאקסיומת הסנדוויץ'. הראשון הוא:
I - קיים איבר ניטרלי שכאשר מורכב עם עצמו, נותן את עצמו:
e = e o e
II - האיבר הניטרלי הוא יחיד.
הוכחה:
נתחיל מאקסיומת הסנדוויץ'. המשוואה
a o y o b = c
היא בעלת פתרון יחיד y.
זה נכון גם כאשר b = c = a, לכן
a o y o a = a
היא בעלת פתרון יחיד. נכפיל מימין ב-y:
a o y o a o y = a o y
נסמן a o y = e
זה איבר בקבוצה, מכיוון ש-a ו-y שייכים לקבוצה והפעולה פנימית. לכן קיים איבר בקבוצה כך ש:
e o e = e
המשפט I הוכח. נמשיך ליחידות, המשפט II. אם לא היה יחיד, היה קיים איבר אחר בקבוצה, נקרא לו f, שמקיים:
f o f = f
יש לנו:
e o e = e
נכפיל מימין ב-f:
e o e o f = e o f
נכפיל שוב מימין ב-e:
e o e o f o e = e o f o e
נשתמש באסוציאטיביות:
e o (e o f) o e = e o f o e
אלו שני סנדוויצ'ים. נקרא להם:
p = e o (e o f)
q = e o f o e
לפי אקסיומת הסנדוויץ', אפשר "להוציא את הבקר", כלומר לחשב את הביטויים (e o f) ו-f שאותם נקבל שווים, מכיוון ש-p = q. לכן:
(e o f) = f
נתחיל שוב מההנחה ששייכת לאיבר השני f:
f o f = f
נכפיל מימין ב-e, פעמיים משמאל:
e o f o f = e o f
e o e o f o f = e o e o f
נשתמש באסוציאטיביות:
e o (e o f) o f = e o e o f
בשימוש שוב לאקסיומת הסנדוויץ' נקבל:
e o f = e
לכן:
e = f
המשפט השלישי: אם אני לוקח את האיבר e "זהה לריבועו", זה גורם לכך ש-a o e = a
הוכחה:
אנו משתמשים שוב באקסיומת הסנדוויץ'. נתחיל מהגדרת e:
e o e = e
נכפיל מימין סדרתית ב-a ובעוד e:
e o e o a o e = e o a o e
נעשה את האסוציאטיביות:
e o (e o a) o e = e o a o e
לכן:
e o a = a
נתחיל שוב מ-e o e = e
ונכפיל משמאל סדרתית ב-a ובעוד e:
e o a o e o e = e o a o e
ונעשה את האסוציאטיביות:
e o (a o e) o e = e o a o e
לכן:
a o e = a
המשפט השלישי הוכח.
נמשיך למשפט הרביעי
(קיום הפוך, מסומן כ-a⁻¹).
ניסוח: בהינתן איבר בקבוצה, קיים איבר ויחיד, פתרון של המשוואה:
a o y o a = a
נציין את האיבר הזה כ-a⁻¹ ונקרא לו הפוך של a. האיבר הזה מקיים את התכונות:
a o a⁻¹ = e
a⁻¹ o a = e
הוכחה.
קיום ויחידות של האיבר הזה הן תוצאה פשוטה מאקסיומת הסנדוויץ', כאשר היא נוסחת כך:
כאשר שברי הביס זהים זה לזה וזהים לסנדוויץ', אז הבקר הוא ההפוך של שבר הביס (או של הסנדוויץ).
a o y o a = a
אפשר להפעיל את האסוציאטיביות בשני דרכים:
(a o y) o a = a
a o (y o a) = a
אנו יודעים ש:
e o a = a
a o e = a
לכן הפתרון y מקיים:
a o y = e
y o a = e
נוכיח שהפתרון הוא יחיד. אם לא היה, היה פתרון אחר:
a o z = e
z o a = e
נכפיל את המשוואה הראשונה משמאל ב-y:
y o a o z = y o e
(y o a) o z = y
אבל y o a = e
לכן:
z = y
נקרא לפתרון הזה a⁻¹, פתרון של המשוואה היחידה:
a o a⁻¹ o a = a
וכך, קבוצת האקסיומות החדשה מובילה לאותם תכונות שבעבר מגדירות קבוצות.
אפשר לכן להגדיר קבוצות באמצעות קבוצת האקסיומות החדשה:
הגדרת קבוצה:
1 - קיימים איברים
a, b, c... שייכים לקבוצה E
2 - קיימת פעולה פנימית, מסומנת כ-o ("עיגול"), שמאפשרת לשלב שני איברים מקבוצה.
a שייך לקבוצה E
b שייך לקבוצה E
a o b שייך לקבוצה E
3 - הפעולה היא אסוציאטיבית:
a o b o c = (a o b) o c = a o (b o c)
4 - יהיו שלושה איברים
a, b, c, שייכים לקבוצה E.
המשוואה:
a o y o b = c
היא בעלת פתרון יחיד.
אם האיברים בקבוצה E, עם הפעולה הפנימית שלה, מקיימים ארבעת האקסיומות האלה, אני אומר שהם מהווים קבוצה.
משפט: האיבר הניטרלי הוא ההפוך שלו עצמו. הגדרת האיבר הניטרלי החדשה, באמצעות משוואה אחת בלבד, מובילה לדרך אחרת להוכחת התכונה הזו.
e o e = e
זו ההגדרה של האיבר המיוחד