איטלקי: אנדרה סמבוסטטי, אוניברסיטת רומא
לחץ כאן
כדי להציג את הסרטוט של המודל בקנה מידה 1:1, להדפיס ולחתוך.
בהדפסת ארבע עותקים של המודל על נייר קרטון בצבעים שונים,
תוכלו לבנות את המודל בעצמכם,
בהתאם להנחיות הרכבה.
בכל הנראה ראיתם אובייקט מוזר מתפצל ללא הפסקה בצד השמאלי של העמוד הראשי של האתר הזה. מה זה?
יום אחד, כשאמצא את הזמן, אתקין באתר תיאור של הפיכת הכדור, כפי שציירתי במאמר של "Pour la Science" לינואר 1979, כלומר... לפני 22 שנה! כל זה ידרוש הרבה פרטים ומבוא. מה פירוש "לפוך את הכדור"? לכדור יש משמעות שונה למשתמש הפשוט ולמתמטיקאי-גאומטריסט. למשתמש הפשוט, זהו פשוט המקום של כל הנקודות במרחב הנמצאות במרחק R מנקודה O קבועה. גאומטריסט ימשיך לקרוא "כדור" גם לאובייקט שמתאים ל"כדור מופעל", כמו תיבול, לדוגמה. כדי להבין את המושגים הללו בצורה מדויקת יותר, קבלו את הדיסק של Lanturlu שמכיל את המנוקי "Topologicon". אך המתמטיקאי ממשיך עוד קדימה. משטח נקרא "רגולרי" כאשר בכול נקודה עליו ניתן להגדיר מישור משיק. זה מאפשר לחשוב על אינסוף טיפוסי הטיה רגולריות של הכדור, בכול הצורות האינסופיות של תיבול, תוך שינוי אינסופי של שטח המשטח. עם זאת, בעולם הפיזיקלי, אדם שיסע לפלוג את הכדור (לגרום למשטח הפנימי להופיע מבחוץ) יתמודד עם אי-האפשרות להפוך את המשטח דרך עצמו. כשנניח את ההנחה הזו, כלומר נאסור על המשטח להפוך דרך עצמו או אפילו רק להיגע, המתמטיקאי מדבר על "הכלה" של הכדור S2. אך מתמטיקאי תמיד יכול להרשות לעצמו הכל. כדור הוא, עבורו, אובייקט "וירטואלי" ולא חומרי, שבו היפוך של שטח נחשב אפשרי. הסדרה של הסרטוטים למטה מראה כדור שמתפצל דרך עצמו. ייצוג כזה, שמאפשר היפוך עצמי, נקרא "הכלה".
לכן, היכלה כוללת קבוצה של חיתוכים עצמיים (כאן מדובר בקשת מעגלית פשוטה). אך מישור המשיק חייב להשתנות באופן רציף. לאחר שציינתי זאת, כשאתם מביטים בסרטוט למעלה, רואים בבירור שהפעולה מובילה חלק מהמשטח הפנימי (שנראה בירוק) החוצה. כדי להשלים את הפיכת הכדור, עלינו ללחוץ על ה"מעי" האקוויטוריאלי הזה. כאן נראה בעיה: הלחיצה הזו תשמיד את רציפות מישור המשיק, ולכן הטרנפורמציה תכיל שלב שאינו היכלה.
יום אחד, מתמטיקאי אמריקאי בשם סטיבן סמאול הוכיח ש"הכדור S2 כולל רק מחלקה אחת של היכלות". המשפט המורכב הזה הוביל למסקנה שיתכן לעבור, באמצעות טרנפורמציה שמכילה רק היכלות אמיתיות, מהכדור "הסטנדרטי" ליצוגו "האנטיפודלי", כלומר שבו כל נקודה מוחלפת עם האנטיפוד שלה: במילים פשוטות... כדור הפוך. ראול בוט היה המפקח של סמאול. אף על פי שההוכחה הרשמית הייתה נראית נכונה, никто לא נראה מסוגל להציג את הפעולה של הפיכת הכדור בצורה מוחשית. בוט המשיך לשאול את סמאול "הראה לי איך אתה חושב להתקדם"; וסמאול, כפי שידוע לו, ענה ללא תחפושות "אין לי slightest רעיון". סמאול קיבל מאוחר יותר את מדליית פילד, השקול לנאבל במתמטיקה. בדיעבד, תהיתם אולי למה אין מדליית נובל למתמטיקה. התשובה פשוטה: אשתו ברח עם מתמטיקאי.
המצב נותר כה למשך שנים רבות, עד שמתמטיקאי אמריקאי בשם אנטוני פיליפס פרסם ב-1967, ב-Scientific American, גרסה ראשונה של הפיכת הכדור, מאוד מורכבת. הגרסה השנייה נוצרה בתחילת שנות ה-70 על ידי המתמטיקאי הצרפתי (עיוור) ברנאר מורין. הייתי הראשון שצייר את סדרת הטרנפורמציות, שתהיה נושא, כפי שädעת, למאמר הבא באתר, שמכיל גם הרבה תוכן. בכל אופן, כל זה מוביל לשקף מסוים. ניתן לייצג משטחים בצורה פולידרלית. קוביה או טטראדר יכולים להיחשב ייצוגים פולידרליים של הכדור, בכך שהאובייקטים האלה הם בעלי טופולוגיה זהה. בנושא זה, פנו ל-Topologicon שלי. כמו כן, ניתן להבין שאם אפשר לפלוג את הכדור, אפשר גם לפלוג את הקוביה. הטרנפורמציה שהומצאה על ידי ברנאר מורין (שהצגתי במאמר לינואר 1979 ב- Pour la Science) עוברת דרך מודל מרכזי. יש סימטריה בסדרה הזו. זו מה שקראתי לה "מודל מרכזי עם ארבע אוזניים". אני מזמין מראש דברים. בכל אופן, כפי שהכדור מתאים לייצוג פולידרלי, כך גם שלבים נוספים בטרנפורמציה הזו. מה שרואה במעגל בעמוד הראשי שלי הוא הגרסה הפולידרלית של המודל המרכזי של הפיכת הכדור, שמצאתי לפני בערך עשר שנים. העניין של מודלים פולידרליים הוא שהם יכולים להיבנות ממשטחים מישוריים. ניתן גם לבנות אותם מנייר ומכותב. עיינו בסרטוט למטה (אודה בפירוש לחבר שלי כריסטוף טרדי, שיצר את הפריטים במדידה הנכונה).
גדול
זה מפה של הרכבה שכאן מוצג מבט כללי. אך להדפסה מומלץ לעבור לעמוד הדפסה. הדפיסו. לאחר מכן, עם העותק הזה שהודפס על הנייר הרגיל של הדפסתכם, הדפיסו ארבע עותקים זהים, שניים על נייר קרטון ירוק, שניים על צהוב. תוכלו להשתמש בדף הזה לחתוך ולבניית המודל המרכזי של הפיכת הקוביה.
על הפריטים לחתוך יש זוגות של אותיות: a, b, c, d, e, f וכו'. מספיק לכסות את הדף כך שאותות זהות יתלכדו, ואז לקבוע את הפריטים עם סרט נייר שקוף. הסרטוטים הבאים מראים את הדרך להרכבת אחד מארבעת הפריטים. הנה כיצד יש להתחיל לכסות אחד מארבעת הפריטים:
הנה שני מפריטים מתוך ארבעה, ממבט שונה.
אזי מונחים בצורה שנותנת אובייקט עם סימטריה מסדר ארבע, שבו מופיעים פריטים ירוקים וצהובים בהחלפה. כדי לראות את זה ב-3D, הציצו בהערכה של טרדי, בחלק "המציאות הווירטואלית". המודל המרכזי מונח ומיוצר גם ב-VRML בחלק זה. הנה הוא מוצג מזוויות שונות:
לא ניתן לומר שנקודה אחת מתאימה ל"למעלה" והשנייה ל"למטה", שכן התייחסויות אלו הן לגמרי אקראיות. בתמונה משמאל, הנקודה "מרכזית" מתאימה ל"נקודה כפולה" (שם שני שטחים מתפצלים) של המודל המרכזי של מורין, בעוד שהנקודה המרכזית בתמונה מימין מתאימה ל"נקודה רביעית" של אותו מודל (שם ארבעה שטחים מתפצלים). הידקתי את הכוונה של האובייקט בקפידה, כדי שהתמונה משמאל לא תגרום לתחושה של שואסטיקה. מלבד זאת, מבחינת ארכיטקטורה, ייצוג פולידרלי של המודל המרכזי של מורין יכול היה להפוך לפרויקט מוצלח של בית התרבות הלאומית הסוציאליסטית.
הערה אחרונה: אין ייצוג פולידרלי טוב של הפיכת הכדור (או של הקוביה). במשמעות של "טוב" אני מתכוון לסדרת מודלים מספיק מפורטים שיכולים להישאר תיאורים בצורה של דפים לחתיכה בצורה יחסית קלה, כמו המודל למעלה. יש לעשות מחקר בכיוון הזה, שיכלול כל מי שברצון, גם לא מתמטיקאי, לדוגמה סculptor. לפני יותר מ-20 שנה הייתי מורה לפסיפס באקול דה בוא-ארט באקס-אן-פרובנס, בתקופת מנהיגות החבר שלי היקר ג'ק בוליה. במרחבי המקום הזה נוצרה הגרסה המזרחית הראשונה של פניית בוי באמצעות אליפסות, שמאפשרת את בניית המשוואה ה ضمنית הראשונה שנותרה על ידי אפריה. אני חייב לומר שבעבר כבר הופתעתי מהדמיון הגאומטרי של הסטודנטים לאמנות, שמעל לרוב את הדמיון של... גאומטרים.
מונה הותקן בתאריך 31 בדצמבר 2001. מספר חיבורים:
חזור לעמוד החדשות
עמוד ראשי
תמונות
