29 בפברואר 2010

מסמך ללא שם

האם אפשר לחשוב כמו שבל?

27 בפברואר 2009

אנו מביעים את עצמנו, בין היתר, באמצעות שפה, והשפה הזו אמורה לשקף את המבנה הלוגי שלנו. בשפה שלנו יצרנו מבנה דו-ערכי, עם "כן" ו"לא", "אמת" ו"שקר", שמביאים לידי ביטוי את "המחשבה האריסטוטלית", לפיה כל משפט (מתמטיקאי יקרא לו "命题") יכול להיות רק "אמת" או "שקר". זוהי הידועה כעקרון הטריה הנמנעת.

לצערנו, המمارسة אינה עוקבת אחר התיאוריה, והשפה שלנו מלאה במשפטים בלתי-הכריעים, שאינם ни אמת ни שקר, כמו:

אני שוקק

מאז כמאה שנה, לוגיקאים התרחמו על תיאוריות מופלאות על מנת לנסות לבנות לוגיקות שאינן דו-ערכיות. נביא דוגמה ללוגיקה תלת-ערכית, הלוגיקה המטושטשת, שערכי האמת שלה הם:

אמת, לא-מוגדר, שקר

לוגיקה שהוכיחה את יעילותה במערכת הבקרה האוטומטית, ב kiểm soát תהליכים (בהנדסה).

ניסיונות לבנות לוגיקה ארבע-ערכית נעשו גם הם, וההיא הקלאסית מוגדרת בערכי האמת:

ניסיון להרחבה כזה לא הוכיח כלווי.

בספרו:

ליצירת קשר ישירות עם המחבר:

Erratum – המחבר מודיע כי קיימת טעות בטבלה אחת המוצגת בספרו. מדובר בטבלה בעמוד 29, שהגרסא המلونה שלה נמצאת בעמוד 135. תחילה, תודה על התעניינותכם בעבודה זו ובבחירתכם לרכוש את הספר.

أحداث כזו מתרחשות... זוהי שגיאה נאה! בשורה השלישית ובעמודה השלישית, במקום 1 מופיע שגיאה 0. התיקון יישלח לכולם תוך כמה ימים.

בנוסף, הסימנים = ו\ \ נמצאים על האלכסונים: שני הקווים המוכפלים, כשנשופכים על אלכסון אחד, יתנו את הסימן =, ואלכסון שני יתנו \ , שאמור להיבנות כ"שונה מ-", там حيث הם נמצאים.

אנו מקווים שזאת תאפשר לכם להמשך הקריאה ביעילות, ושוב אנו מודים לכם בحرות גדולה (ואנו מתנצלים גם על כך!), ונשאר לרשותכם אם תקופו עליכם ספקות נוספות... או שגיאה חדשה!

איור 2.2, יש להחליף אותו בטבלה לעיל

דניס סקו דה לוסנה מזמין אותנו לסיור מוזר, שסיכויי היציאה ממנו של הקורא כרוכים בסיכון. נתחיל מבחינת השפה – זו הדרכה של כל לוגיקאי. המחבר מציע להכניס את מה שהוא קורא לו העקרון של העקביות. לפי נקודות מבט אלו, כל משפט, בכל אופן שהוא מנוסח, יכול להופיע בארבעה צורות, זוגות של שני זוגות סימטריים. יש דוגמאות רבות לשפה זו, אך ה"משפט הרביעי"有时 קושי בניסוחו, או שאינו תואם לאף מונח קיים בשפה.

נביא תחילה דוגמאות בהן הביטוי "העקביות" מופיע בבירור. ניקח למשל את המושג "תנועה":

ברור מידי שמתגaler זוגות סימטריים: "אחורה" הוא ההפוך של "קדימה" ולהפך, "תנועה" הוא ההפוך של "עמידה" ולהפך.

אם נתייחס לטופולוגיה, נוכל להכניס את המונחים:

29 בפברואר 2010: יאקה לגלנד, חברי, מציע формуולציה מדויקת יותר למשפט הרביעי:

אם נתייחס לצבעים:

27 בפברואר 2010: ג'י מ предлагает:

בהתאם לזמן:

המלה "לעולם לא" היא שווה ערך זמני למונח "בשום מקום" (ראה לעיל).

הגישה הזו מזכירה לי את המאמר האומיתי על הלוגיקה, שמכנה, אם אני זוכר נכון, ארבעה ערכי אמת:

אם נחזור לערכי האמת של הלוגיקה הארבע-ערכית הקלאסית:

27 בפברואר 2010: יש לפרש את הערך הרביעי כ"אינו תואם לסיווג הזה":

ניקח את המספרים הממשיים:

המשפט הרביעי יכול להיות:

במקרה של היסק:

ברור שמתגaler ארבעה אופנים שונים של " לומר ", ש שונים מהלוגיקה הארבע-ערכית הקלאסית שציינתי לעיל. הסימטריה של שני המשפטים האחרונים שונה. המחבר טוען שזוגות משפטים אלו, או מונחים אלו, הם "עקביים".

הצורה בה אנו מציגים את הדברים אינה תואמת את זו שמשתמש בה המחבר בספרו, שמעריץ את קוראו לקרוא אותו. כבר מהתחילה תشعروا "מה נסתר מאחור זה?" – השאלה תובילכם רחוק מאוד.

המחבר, מדען, מצא את נקודת ההתחלה שלו במכתב שהגיעה אלי ב-1992 ממתאימים מסתוריים שנקראים "אומיטים", שהגיעה ממארד, סעודיה. לאלו שלא מכירים את הסיפור, נזכיר את ההקשר: במערכת המסמכים שהובאו מספרד החל מאמצע שנות השבעים, המחברים של מסמכים אלו דגשו על הצורך לנטוש את הלוגיקה האריסטוטלית ולעבור ללוגיקה ארבע-ערכית.

שנים רבות שדדתי בנסיונות שונים. ב-1992 היה לי Macintosh מהדור הראשונה, שפעלה ב-2 מגה-הרטץ, וברור שלא היה לה מודם או כל אמצעי תקשורת חיצוני. במחשב זה סיפקתי מחשבות שידועות רק לי. נבעתי מהמשפט של גודל, שזכור לי שהוא נבנה על האריתמטיקה (ה manipulated של המספרים הטבעיים), שהונחה בסוף המאה הקודמת על ידי המתמטיקאי פיאנו. המתמטיקאי גאוס חידש את מה שנקרא היום "מספרים של גאוס", כלומר, מספרים מרוכבים עם ערכים שלמים.

שניתי שברור считается שהמספרים של גאוס הם זוגות של מספרים טבעיים (a, b), ולא ניסיון לאקסיומטיזציה ניסה לבנות אותם, אלא רק להחליט שנותנים להם "שני מספרים טבעיים".

כמה ימים לאחר שהטמעתי את המחשבות הללו בדיסק הקשיח שלי, הופתעתי לקבל מכתב שהגיע ממארד, סעודיה, וציטט את המחשבות הללו.

תכולת המכתב

דניס, שמדען, מצא במכתב המוזר הזה את נקודת ההתחלה למסע עשר שנים, שסיפק בספר שיצא לאור. בשל המראה האקזוטי, אם לא אומץ, של המקור, אפשר להבין למה הוא החלט לפרסם תחת שם דמה.

לא יודע אם זוכרים את הספר של ג'ולס ורן: "מסע ללב הארץ", בו הגיבורים משחקים עם מסר מסתורי שנותר על ידי ארן סאקנודסן. על ידי שילוב של אלמנטים אלו הם מגלים את הדרך ללב כדור הארץ. אז תצפו בספר של דניס למשהו דומה.

הוא לא הראשון שניסה את ההרפתקה, אך כל הניסיונות עד כה התגלו חסרי פירות, גם אם הם נראו מושכים. אני חושב לנסיונו של הנורדי נורמן מוהלנט באתר ummo.science. מתמטיקאי יאמר "אפשר לבנות אלגbras אינסופיות", ולשחק איתן כמו בלבו. לבנות אלמנטים של לבו חדש היא משימה אחרת.

איפה נמצא ה"פלוס" בעבודה של דניס?

הוא מתחיל במציאת הדרך, בתוך הערוץ שסומך על המכתב ממארד, לאותם אובייקטים מתמטיים שנמצאו ב-1843 על ידי המתמטיקאי האירי האמילטון: הkvaternionim. הם מוצגים לרוב בספרים כהרחבה של המרוכבים:

Q = a + b i + c j + d k

עם

i² = -1
j² = -1
k² = -1
i j = k
(i j)² = k j
i j = - j i (אנטי-קומוטטיביות)
j k = i
j k = - k j
k i = j
k i = - i k

המכפלות הן אנטי-קומוטטיביות.

בעת שאלימטון גילה את Kvaternionim, וגילה את העצמה של המאפיינים שלהם, הוא אמר:

• כמובן שיש יישומים בפיזיקה, אבל איזה מהם?

הוא לא יכול היה לדמיין שהקשר ייווצר עם קום המכניקה הקוונטית. לדוגמה, матrice של פאולי הן kvaternionim.

המחבר מראה איך שיקולים גיאומטריים מובילים, מתוך התוכן של המכתב, לבנייה הגיאומטרית של kvaternionim (באמצעות "מישור מרוכב עם שני פנים ניצבים"). הספר נקרא "הסוד של המכתב ממארד". הסוד נגש כאן. במכתב מדבר על משפט פירמה המפורסם, שאומר שהמשוואה

aⁿ = bⁿ + cⁿ

לערכים שלמים יש פתרון רק עבור n ≤ 2.

המתמטיקאי לאגרנג' ידוע במשפט דומה, שהופקע על ידי פירמה כהשערה, שאומר שכל מספר שלם הוא סכום של ארבעה ריבועים:

N (מספר שלם כלשהו) = a² + b² + c² + d²

יש לכלול את האפס, כך ש-3 = 1² + 1² + 1² + 0².

הוכחה מאוחרת יותר של לאגרנג' משתמשת ב-kvaternionim, עם ניסוח באינדוקציה.

אשמח אם דניס ימצא את ההוכחה של משפט לאגרנג' באמצעות kvaternionim, ויתרבה באתרו.

נתון kvaternion:

Q = (a, b, c, d)

הצמוד שלו מוגדר כך:

צמוד של Q = Q̄ (a, -b, -c, -d)

דניס מציג השערה שאומרת שמשפט פירמה, כנכתב על ידו, הוא תוצר משני של כתיבה ב-kvaternionim, כלומר שהמשוואה:

(Q₁Q̄₁)ⁿ = (Q₂Q̄₂)ⁿ + (Q₃Q̄₃)ⁿ

כאשר ל-kvaternionim יש רכיבים שלמים, יש פתרון רק עבור n ≤ 2.

27 בפברואר 2010: שים לב שההצהרות הללו שקולות, מכיוון שהערך המוחלט של kvaternion (a, b, c, d) הוא a² + b² + c² + d² – כלומר מספר שלם על פי משפט לאגרנג'.

ההסבר הזה עלול לבלבל קורא רגיל. עם זאת, הספר כله נשאר נגיש מאוד. הדוגמאות המרובות של העקביות מהוות משחק עם השפה, כרוך ומעורר השראה, והקורא יוכל ליהנות ולמצוא דוגמאות נוספות. הסכימות הגיאומטריות גם קריאות מאוד.

הספר הזה נראה כלבנה הראשונה של מבנה רחב יותר – פתחה למחשבה שונה.

לרכישת הספר (18 אירו, כולל משלוח, 144 עמודים):

http://quadrilogie.com

2 במרץ 2009: קורא, גבר כריסטיאן פדרו, סיפק לנו קובץ pdf עם ההוכחה למשפט ארבעת הריבועים של לאגרנג'.

משפט ארבעת הריבועים של לאגרנג'

הערה נוספת: מכפלת הערכים המוחלטים של שני kvaternionim שווה לערך המוחלט של המכפלה. ההוכחה נכתבה על ידי המתמטיקאי אוילר (1750).

(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²) × (b₁² + b₂² + b₃² + b₄²) =
(a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄)² + (a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃)² + (a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃)² + (a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)²

כלומר, הערך המוחלט של מכפלת שני kvaternionim:
A = (a₁, a₂, a₃, a₄), B = (b₁, b₂, b₃, b₄)
הוא הערך המוחלט של ה-kvaternion:
C = (a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄, a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃, a₁b₃ - a₁b₄ + a₃b₁ - a₄b₃, a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)

גבר פדרו ספקני האם גישה מבוססת kvaternionim יכולה להוביל להוכחה פשוטה יחסית (ביחס להוכחה של וילס, שמכילה מאות עמודים!), במיוחד כשאלפים של מתמטיקאים ניסו אך נכשלו.

אני לא מ.expression דעה, אך אציין שתי הערות:

ידוע שהמספרים הטבעיים ניתנים לכתיבה בכל בסיס, והמספרים הראשוניים שומרים את الخاصות הזו, בכל בסיס. אז ניקח את הבסיס הפשוט ביותר: הבסיס 2, עם שני אלמנטים: 0 ו-1.

המתמטיקאי האיטלקי ג'וזפה פיאנו (1858–1932) סיפק חמשת האקסיומות המבוססות את האריתמטיקה של המספרים הטבעיים.

המתמטיקאי האיטלקי ג'וזפה פיאנו

1. האלמנט שנקרא אפס וסומן ב-0 הוא מספר טבעי.
2. לכל מספר טבעי n יש ייחוס ייחודי, שמסומן ב-s(n) או S n.
3. אף מספר טבעי לא יש לו אפס כייחוס.
4. שני מספרים טבעיים עם אותו ייחוס שווים.
5. אם קבוצה של מספרים טבעיים מכילה 0 ומכילה את הייחוס של כל אלמנט בה, היא שווה ל-N.

האקסיומה הראשונה מאפשרת להניח שהקבוצה של המספרים הטבעיים אינה ריקה, השלישית מראה שיש לה אלמנט ראשון, והחמישית מראה שהיא מקיימת עקרון האינדוקציה.

האריתמטיקה של פיאנו, המבוססת על חמשת האקסיומות, מובילה ללוגיקה מסדר ראשון, שאמנה לא מתחמקת ממשפט האי-שלמות של גודל. זה היה הגורם לשליחת המכתב ממארד – הערה שהעירה עליי, בנוגע למספרים של גאוס z = a + i b, שבהם a ו-b הם מספרים טבעיים.

נראה לי שלא הייתה אקסיומטיזציה משלימה לאריתמטיקה של מספרי גאוס, שנבנו עם "פעמיים האריתמטיקה של פיאנו",* מה שונה*. לפי נקודות מבט אלו, מספרי גאוס, במקום להיות "נקודות ברשת סדורה", הופכים לזוגות של נקודות (a, b) שנלקחות מישירות חלקיות. thus, האריתמטיקה של מספרי גאוס הופכת להיות "פעמיים האריתמטיקה של פיאנו".

כעת, שאלתי:

- האם קיימת קבוצה של אקסיומות שמגדירות את האריתמטיקה של kvaternionim שלמים? אם כן, איזו לוגיקה תוביל אליה? האם הלוגיקה הזו תהיה ארבע-ערכית? האם היא תהיה, מעבר לכך, שלמה – כלומר, שלא קיימים ערכי אמת חמישיים, כלומר משפטים בלתי-הכריעים שמחוץ לארבעת המקרים שמהווים את מסנן האמת הארבע-ערכי?

אני לא יכול להשתתף בדיונים על נושאים אלו עם קוראים, מכיוון שאני עסוק מאוד ביצירת אלבום חדש על דינמיקת הגזים. לשאלות מסוג זה יש לפנות למחבר הספר, דניס.

למרות זאת, אראה באלבום זה שלא מتأחר מסוף שנות החמישים (כש הייתי סטודנט באקול נاسيונל סופerieור ד'ארונוטיק דה פאריס) כמה מושגים, שכיום כלולים לחלוטין בעולם האeronאוטיקה, zarówno אזרחי כמו צבאי, נחשבו על ידי המורים שלי כהפרה של חוקי הפיזיקה.

אזכור גם את ההערה של קוטוריה, שכנראה מנהל observatoire de פאריס, שבעת שסיפקתי לו את התיאוריה שלי על ביטול גלי ההלם על ידי כוחות לאפלס, אמר לי ב-1976:

*- זה סורר. גל