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**Image didactique d'un corps céleste **(étoile, planète, œuf dense)
** **Une étoile comme le Soleil est une concentration de masse. Autour : le vide, ou une portion d'espace qui est « presque vide », car elle contient un gaz très raréfié et des photons. En 2D, l'image didactique correspondante est un cône obtus (posi) :
(18)
Vous pouvez la réaliser avec deux composants. Une portion de sphère et une portion de cône (posi), collées ensemble. La portion de sphère est une surface à courbure constante. La portion de cône est une surface plane, une surface à courbure locale nulle. Ce dernier exemple est une surface euclidienne. La portion de sphère est une surface non euclidienne (une surface riemannienne).
C’est l’image didactique en 2D d’un objet à densité constante, entouré de vide.
Comment fixer les deux éléments ensemble pour assurer la continuité du plan tangent ? C’est simple. Votre portion de cône provient d’un cône dont la coupe correspondait à un angle q. Votre portion de sphère est censée être construite à partir de mini-cônes (posi) élémentaires, de sorte qu’elle contienne un certain « montant de courbure angulaire » q. Si les deux angles sont égaux, le plan tangent sera continu.
Mais comment mesurer la quantité de courbure contenue dans une portion donnée d’une sphère ?
Courbure totale.
Nous pouvons construire une surface en reliant des posicones élémentaires. Nous pouvons l’organiser pour obtenir une surface à densité de courbure constante. Alors nous savons que la surface est une portion de sphère. Si nous ajoutons de plus en plus de cônes (posi) élémentaires, la sphère deviendra complète. Elle contient une certaine quantité de courbure angulaire. Toutes les sphères contiennent la même quantité. La courbure angulaire totale d’une balle de ping-pong et la courbure angulaire totale de la Terre sont égales, bien qu’elles aient des poids très différents.
Au fait, la courbure totale d’un œuf est la même, car elles ont la même topologie. En principe, les poules pondent des œufs de topologie sphérique. Personnellement, je n’ai jamais vu d’œuf de topologie torique. Cela correspondrait à un serpent étrange, sans tête ni queue, ou quelque chose comme ça.
Revenons aux balles de ping-pong, aux sphères normales. Si cette surface a une densité angulaire locale constante, cela signifie que la quantité de courbure angulaire (la somme des angles élémentaires Dq) sera proportionnelle à la surface. Voir figure 19. Cette surface peut être limitée par n’importe quelle frontière. Mais nous pouvons utiliser les géodésiques de la sphère. Appelons S la surface de la sphère et s la surface grise, à l’intérieur du triangle.
(19)
Au-dessus, nous avons vu que l’écart (positif) par rapport à la somme euclidienne (180°), pour un triangle tracé sur une surface, dépend du nombre de sommets de cône situés à l’intérieur. La somme était de 180° plus tous les angles correspondant à ces sommets enfermés.
Réciproquement, si je mesure l’écart par rapport à la somme euclidienne, je peux mesurer la quantité de courbure contenue à l’intérieur du triangle.
Une géodésique d’une sphère est appelée un grand cercle de la sphère. Voir figure (20). Les méridiens, l’équateur, sont des grands cercles de la sphère.
(20)
Nous pouvons découper notre sphère en huit morceaux de même aire. Voir figure (21). Nous obtenons huit triangles dont tous les angles valent 90°. L’écart par rapport à la somme euclidienne est donc de 90°. Chacun de ces triangles contient une courbure angulaire égale à 90°. En conclusion, la courbure totale, la courbure angulaire totale de la sphère est 8 × 90° = 720° = 4π.
(21)
Chaque triangle gris contient π/2.
Aimez-vous les surfaces courbes, la géométrie des surfaces riemanniennes ?
Si nous revenons à notre cône obtus, nous voyons que la courbure angulaire est contenue à l’intérieur de la bordure circulaire, dans la zone à densité de courbure constante. Le flanc, le mur du cône, n’est pas une surface limitée. Vous pouvez l’étendre à l’infini si vous le souhaitez. La quantité de courbure angulaire ne dépend pas du périmètre de la bordure, ni de l’aire de la portion de sphère. Cette dernière peut être réduite. Voir figure (22). Même réduite à un simple point, elle contiendrait la même quantité de courbure angulaire. C’est pourquoi nous disons qu’un point conique est un point de courbure concentrée. Inversement, nous pouvons construire des surfaces lisses à partir d’un ensemble de points coniques.
La matière est faite d’atomes. Les atomes peuvent être considérés comme des objets ponctuels. Ils sont des « points de courbure concentrée » dans l’espace à 3D.
L’air que vous respirez est un milieu à densité constante. Il est composé de molécules, d’atomes. C’est un ensemble de points de courbure concentrée, reliés par des portions euclidiennes de l’espace. Vous assimilez cela à un milieu à courbure constante.
La prochaine fois que vous respirerez, pensez-y.
(22)
Version originale (anglais)
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**Didactic image of a heavenly body **( star, planet, dense egg)
** **A star like the Sun is a mass-concentration. Around : the void, or a portion of space that is "almost empty", for it contains very rarefied gas and photons. In 2d, the corresponding didactic image is a blunt (posi) cone :
(18)
You can make it with two components. A portion of a sphere and a portion of a (posi) cone, glued together. The portion of a sphere is a constant curvature density surface. The portion of the cone is a flat surface, a zero local density curvature surface. This last example is an euclidean surface. The portion of the sphere is a non-euclidean surface (a riemanian surface).
This is the 2d didactic image of a constant density r object, surrounded by void.
How to fix the two elements together, in order to ensure the continuity of the angent plane ? It is simple. Your portion of a cone comes from a cone whose cut corresponded to an angle q . Your portion of sphere is supposed to be built with elementary mini-posicones, so that it contains a certain "amount of angular curvature" q. If the two angles are equal, the tangent plane will be continuous.
But how to measure the amount of curvature contained in a given portion of a sphere ?
Total curvature.
We can build a surface, joining elementary posicones. We can arrange it to get a constant curvature density surface. Then we know that the surface is a portion of a sphere. If we add more and more elementary (posi) cones this sphere will be complete. It contains a certain amount of angular curvature. All the spheres contains the same. The total angular curvature of a ping-pong ball and the total angular curvature of the earth are equal, although they have very different weight.
By the way the total curvature of an egg is the same, for they have the same topology. In principle, hens make eggs with spherical topology. Personally I have never seen an egg with toroidal topology. It would correspond to some strange snake,with no head, nor tail, or something like that.
Let us return to ping-pong balls, normal spheres. If this surface has a constant local angular density it means that the amount of angular curvature ( the sum of elementary angles Dq ) will be proportional to the area. See figure 19. This area can be limited by any kind of border. But we can use geodesics of the sphere. Call S the area of the sphere and s the grey area, inside the triangle.
(19)
Above, we saw that the (positive) depart from the euclidean sum (180°), for a triangle drawn on a surface, depending on the number of cone's summits that were inside. The sum was 180° plus all the angles corresponding to those enclosed summits.
Conversely, if I measure the depart from the euclidean sum I can measure the amount of curvature contained inside the triangle.
A geodesic of a sphere is called a grand circle of the sphere. See figure (20). Meridians, equator, are grand circles of the sphere.
(20)
We can cut our sphere into eight equal area pieces. See figure (21). We get eight triangles whose all angles' values are 90°. Then the depart from euclidean sum is 90° . Each of these triangle contains an angular curvature equal to 90°. As a conclusion the total curvature, the total angular curvature of the sphere is 8 x 90° = 720° = 4 p.
(21)
Each grey triangle contains p/2 .
Do you enjoy curved surfaces, riemanian surface geometry ?
If we return back to our blunt cone we see that the angular curvature is contained inside the circular border, in the constant curvature density area. The cone's flank, wall, is not a limited surface. You can extend it to infinite if you want. The amount of angular curvature does not depend on the perimeter of the border, of the area of the portion of a sphere. This last can be reduced. See figure (22). Even reduced to a simple point where it will contain the same amount of angular curvature. That's why we say that a conical point was a concentrated curvature point. Conversely we can build smooth surfaces with a set of conical points.
Matter is made of atoms. Atoms can be considered as point-like objects. They are "concentrated curvature points" in 3d space.
The air you breath is a constant density medium. It is made of molecules, atoms. It is a set of concentrated curvature points, linked by euclidean portions of space. You assimilate that to constant curvature medium.
Next time you breath, think about it. .
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