एक नई समूह के अभिधारणा

एक नई समूहों की अभिगृहीतता **

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...सूरियू एक पुराने एक्स में एक फ्लैट में रहते हैं। सड़क की ओर खुलने वाला दरवाजा बहुत खूबसूरत है। एंट्री में एक अजीबोगरीब वाहन खड़ा है: एक पुराने युग का बैठने वाला कुर्सी, जो स्थान की मालकिन का है, एक युवती, मुझे लगता है कि वह प्राचीन विद्यालय की अध्ययन करती है। कुर्सी दीवार के सहारे रखी है। बस दो लोगों को खोजना है, लकड़ी के दो लंबे छड़ों को अंगूठियों में डालना है और बैठकर एक घूमने के लिए निकल जाना है। खिड़कियाँ शीशे से बनी हैं: दोनों तरफ के शीशे नीचे उतारे जा सकते हैं, लेकिन मैनिवल के बजाय ताले के फीते के द्वारा, जैसे मेरे बचपन में रेलवे कोच में होता था।

...यह सब बहुत सपना देता है। मैं अचानक एहसास करता हूँ कि मैंने कभी भी बैठने वाली कुर्सी पर नहीं बैठा हूँ। मैं यह सोचकर यकीन करता हूँ कि बेरोजगारी के इन समय में, लोग पुराने एक्स में पहली नियमित बैठने वाली कुर्सी की लाइन शुरू करके अपना जीवन निर्वाह कर सकते हैं। बस एक ऐसा वाहन बनाने की आवश्यकता है जो पुरानी कुर्सियों की तरह दिखे। इसमें बहुत कठिनाई नहीं होनी चाहिए। फिर दो जैकेट और दो जूते प्राप्त करना है, और आगे बढ़ना है। मार्ग: मिराबो कोर्स। इसके लिए पर्याप्त होगा। फिर बस सपने देखने की आवश्यकता है, थोड़ा कल्पना करने की आवश्यकता है।

...जॉन-मारी अपने बड़े फ्लैट में अपने बिल्ली पियूम के साथ अकेले रहता है, जो सोने के आभूषणों और लकड़ी के फर्श से भरा हुआ है। पियूम बहुत प्यारा है। हालांकि मुझे बिल्लियों में कोई आकर्षण नहीं है। लेकिन वह बहुत स्वागत करने वाला और प्रेमपूर्ण है।

हम आमतौर पर ऊपर की मंजिल पर रसोई में काम करते हैं। एक छोटा सा कमरा, छत के नीचे, जिसकी सीमित जगह नीचे के कमरों के विशाल आकार के विपरीत है। हर बार जब जॉन-मारी मुझे अपना पसंदीदा पेय पिलाने की कोशिश करता है: फर्नेट-ब्रांका, जो आर्टिचोक से बना है, जो मुझे वास्तव में बहुत बुरा लगता है, लेकिन जिसमें वह सभी गुण देता है।

...जब वह शहर में घूमने जाता है, तो वह अपने GPS को ले जाता है, जो उसके साथ नहीं छोड़ता। वास्तव में यह बहुत दिलचस्प है कि आप अपने रास्ते पर चलते समय 40,000 किमी दूर स्थित उपग्रहों द्वारा मार्गदर्शन करते हुए अपने आप को देख सकते हैं। बेहतर संस्थान प्राप्त करने के लिए, सूरियू सड़क के अक्ष में चलने की प्रवृत्ति रखता है, आंखें दिखाई देने वाले दिखाई देने वाले स्क्रीन पर टिकी हुई हैं। इसकी कार्यक्षमता दिखाई देती है, लेकिन फिर भी आपातकालीन स्थिति में बहुत खतरनाक हो सकती है।

...मुझे लगता है कि हम दोनों बहुत मज़ा कर रहे हैं। दिसंबर के एक रात, मैं उसके पास आया और इस बातचीत का नतीजा निकला:

• मैं तुम्हें समूहों के बारे में बताऊंगा। क्या तुम अभिगृहीतों को याद करते हो?

• हाँ, उनकी संख्या छह है। वे हैं:

1 - एक सेट E में तत्व a, b, c ... मौजूद हैं

2 - एक आंतरिक संक्रिया, जिसे o ("गोल") द्वारा निरूपित किया गया है, जो एक सेट के दो तत्वों को जोड़ने में सक्षम है।

a सेट E में है

b सेट E में है

a o b सेट E में है

3 - इस संक्रिया सह-संयोजक है:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - एक तत्व उदासीन e मौजूद है जिसके लिए:

a o e = e o a = a

5 - सेट का प्रत्येक तत्व a एक प्रतिलोम, जिसे a-1 कहा जाता है, मौजूद है, जिसके लिए:

a-1 o a = a o a-1 = e

यह पांच है?

• आखिरकार, पांच, चार, या एक। अभिगृहीतों की संख्या में कोई निश्चित नियम नहीं है। हम अभिगृहीत 1 और 2 को एक में भी जोड़ सकते हैं:

• एक सेट E में तत्व a, b, c, आदि मौजूद हैं, जिसमें एक आंतरिक संयोजन नियम है जो संतुष्ट करता है:

a सेट E में है

b सेट E में है

a o b सेट E में है

यह बराबर है।

• ठीक है, पांच, चार, कोई फर्क नहीं पड़ता। तुम कहाँ जा रहे हो?

• मैं उन अभिगृहीतों 4 और 5 को खत्म करूंगा जिन्हें तुमने उदासीन तत्व और प्रतिलोम के रूप में परिभाषित किया था, और उनके स्थान पर सैंडविच अभिगृहीत को डालूंगा। कुल मिलाकर, अभिगृहीत हैं:

1 - एक सेट E में तत्व a, b, c ... मौजूद हैं

2 - एक आंतरिक संक्रिया, जिसे o ("गोल") द्वारा निरूपित किया गया है, जो एक सेट के दो तत्वों को जोड़ने में सक्षम है।

a सेट E में है

b सेट E में है

a o b सेट E में है

3 - इस संक्रिया सह-संयोजक है:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - तीन तत्व a, b, c सेट E में हैं।

मान लीजिए समीकरण:

a o y o b = c

इसका एक अद्वितीय हल है।

मैं इसे सैंडविच अभिगृहीत कहता हूँ, जहाँ "मांस" y तत्वों a और b के बीच दबाया गया है, और c सैंडविच की वस्तु है। अभिगृहीत का मतलब है:

आप हमेशा सैंडविच से मांस निकाल सकते हैं।
*

और मैं कहता हूँ कि ये अभिगृहीत समूहों को परिभाषित करते हैं, वे पिछले अभिगृहीतों के समान हैं।

• इस अद्वितीय हल y सेट E का तत्व है, क्योंकि संक्रिया आंतरिक और सह-संयोजक है।

• बिल्कुल, यह बात स्पष्ट है।

• लेकिन इसे कहना और भी अच्छा है। मैं नहीं जानता कि तुम उदासीन तत्व और प्रतिलोम के अभिगृहीतों को कैसे वापस खोजोगे, लेकिन मुझे कम से कम यह समझ आया है कि तुम्हें इस विचार की ओर क्यों ले गया।

• मैंने सोचा, "इसका क्या उपयोग है?"

• बिल्कुल। उदासीन तत्व का क्या उपयोग है? इसका मतलब है "अगर मेरे पास सेट E है, और एक उदासीन तत्व है, तो मैं इस सेट के सभी तत्वों को इसके साथ जोड़ सकता हूँ और वही परिणाम प्राप्त कर सकता हूँ।" मुझे यह बहुत अच्छा नहीं लगता। इसी तरह, प्रतिलोम का क्या उपयोग है? जब हम समूहों पर गणना करते हैं, किसी भी वस्तु पर, हम हमेशा दाहिने या बाएं ओर किसी तत्व या उसके प्रतिलोम से गुणा करके a o a-1 या a-1 o a को दिखाने में सफल होते हैं, जिसे e से बदल दिया जाता है, और फिर b o e या e o b को b से बदल दिया जाता है। तुम्हारा सैंडविच अभिगृहीत "कार्यात्मक" है।

• अगर तुम चाहो। सैंडविच अभिगृहीत से निकलने वाले प्रमेयों पर आते हैं। पहला है:

I - एक उदासीन तत्व मौजूद है जो खुद के साथ जोड़ने पर खुद के समान होता है:

e = e o e

II - यह उदासीन तत्व अद्वितीय है।

प्रमाण:

सैंडविच अभिगृहीत से शुरू करें। समीकरण

a o y o b = c

एक अद्वितीय हल y के साथ है।

यह तब भी सच है जब b = c = a, इसलिए

a o y o a = a

एक अद्वितीय हल के साथ है। दाहिने ओर y से गुणा करें:

a o y o a o y = a o y

मान लीजिए a o y = e

...यह एक सेट का तत्व है, क्योंकि a और y सेट में हैं और संक्रिया आंतरिक है। इसलिए एक सेट का तत्व मौजूद है जिसके लिए:

e o e = e

...प्रमेय I सिद्ध हुआ। प्रमेय II की अद्वितीयता पर आते हैं। यदि अद्वितीयता नहीं होती, तो सेट का एक अन्य तत्व मौजूद होता, जिसे f कहें, जो इस शर्त को पूरा करता:

f o f = f

हमारे पास है:

e o e = e

दाहिने ओर f से गुणा करें:

e o e o f = e o f

फिर दाहिने ओर e से गुणा करें:

e o e o f o e = e o f o e

सह-संयोजकता का उपयोग करें:

e o ( e o f ) o e = e o f o e

ये दो सैंडविच हैं। उन्हें कहें:

p = e o ( e o f )

q = e o f o e

...सैंडविच अभिगृहीत के अनुसार, हम "मांस" को बाहर निकाल सकते हैं, यानी ( e o f ) और f के व्यंजक की गणना कर सकते हैं, जो बराबर होंगे, क्योंकि p = q। इसलिए:

( e o f ) = f

...फिर दूसरे तत्व f के लिए दिए गए प्रस्ताव से शुरू करें:

f o f = f

...दाहिने ओर e से गुणा करें, दो बार बाएं ओर:

e o f o f = e o f

e o e o f o f = e o e o f

...सह-संयोजकता का उपयोग करें:

e o ( e o f ) o f = e o e o f

...दूसरी बार सैंडविच अभिगृहीत का उपयोग करके हम निष्कर्ष निकालते हैं:

e o f = e

इसलिए:

e = f

प्रमेय III: अगर मैं इस तत्व e "अपने वर्ग के समान" लेता हूँ, तो यह निकलता है कि

a o e = a

प्रमाण:

हम अभी भी सैंडविच अभिगृहीत का उपयोग करते हैं। हम e की परिभाषा से शुरू करते हैं:

e o e = e

हम दाहिने ओर क्रमशः a और e से गुणा करते हैं:

e o e o a o e = e o a o e

सह-संयोजकता का उपयोग करें।

e o ( e o a ) o e = e o a o e

इसलिए:

e o a = a

e o e = e से शुरू करते हैं

और बाएं ओर क्रमशः a और e से गुणा करते हैं:

e o a o e o e = e o a o e

और सह-संयोजकता का उपयोग करें।

e o ( a o e ) o e = e o a o e

इसलिए:

a o e = a

प्रमेय III सिद्ध हुआ।

प्रमेय IV पर आते हैं

(प्रतिलोम का अस्तित्व, जिसे a-1 कहा जाता है)।

कथन: सेट का एक तत्व दिया गया है। एक और केवल एक तत्व मौजूद है, जो समीकरण का हल है:

a o y o a = a

हम इस तत्व को a-1 कहेंगे और इसे a का प्रतिलोम कहेंगे। यह तत्व निम्न गुणों को संतुष्ट करता है:

a o a-1 = e

a-1 o a = e

प्रमाण.

इस तत्व के अस्तित्व और अद्वितीयता सैंडविच अभिगृहीत का सीधा परिणाम है, जब इसे इस तरह व्यक्त किया जाता है:

जब ब्रेड के टुकड़े एक दूसरे के समान हों और सैंडविच के समान हों, तो मांस ब्रेड के टुकड़े (या सैंडविच) का प्रतिलोम होता है।

a o y o a = a

हम सह-संयोजकता को दो तरीकों से उपयोग कर सकते हैं:

(a o y) o a = a

a o ( y o a ) = a

हम जानते हैं कि:

e o a = a

a o e = a

इसलिए हल y संतुष्ट करता है:

a o y = e

y o a = e

दिखाएं कि यह हल अद्वितीय है। यदि ऐसा नहीं होता, तो हमें एक और हल मिलता:

a o z = e

z o a = e

पहले समीकरण को बाएं ओर y से गुणा करें।

y o a o z = y o e

( y o a ) o z = y

लेकिन y o a = e इसलिए:

z = y

इस हल को a-1 कहते हैं, जो अद्वितीय समीकरण का हल है:

a o a-1 o a = a

इस प्रकार नए अभिगृहीतों के सेट के लिए वे गुण मिलते हैं जो आमतौर पर समूहों को परिभाषित करते हैं।

इसलिए हम समूहों को इस नए अभिगृहीत सेट के साथ परिभाषित कर सकते हैं:

समूह की परिभाषा।

1 - एक सेट E में तत्व a, b, c ... मौजूद हैं

2 - एक आंतरिक संक्रिया, जिसे o ("गोल") द्वारा निरूपित किया गया है, जो एक सेट के दो तत्वों को जोड़ने में सक्षम है।

a सेट E में है

b सेट E में है

a o b सेट E में है

3 - इस संक्रिया सह-संयोजक है:

a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )

4 - तीन तत्व a, b, c सेट E में हैं।

मान लीजिए समीकरण:

a o y o b = c

इसका एक अद्वितीय हल है।

यदि सेट E के तत्व, उनकी आंतरिक संयोजन संक्रिया के साथ, इन चार अभिगृहीतों को संतुष्ट करते हैं, तो मैं कहता हूँ कि वे एक समूह बनाते हैं।

प्रमेय: उदासीन तत्व अपने प्रतिलोम के समान है। इस नए उदासीन तत्व की परिभाषा, एक ही समीकरण के द्वारा, इस गुण के लिए एक अलग प्रकार के प्रमाण को जन्म देती है।

e o e = e

यह विशेष तत्व e की परिभाषा है। लेकिन सैंडविच अभिगृहीत के कारण, यह समीकरण प्रतिलोम के गुण (और न कि परिभाषा) के समान हो जाता है।

अन्य प्रमेय: प्रतिलोम का प्रतिलोम उसी तत्व के बराबर है:

(a-1)-1 = a

a-1 o a = e

a o a-1 = e

a प्रतिलोम a-1 का प्रतिलोम है। इसलिए गुण प्राप्त होता है।

दिखाएं कि:

( a o b )-1 = b-1 o a-1

हम गणना करते हैं:

a o b o b-1 o a-1 और b-1 o a-1 o a o b

दिखाएं कि ये दोनों मात्रा e के बराबर हैं।

a o (b o b-1 ) o a-1

= a o e o a-1

= a o a-1

= e

दूसरे व्यंजक के लिए भी समान है।

• यह समूह की अवधारणा के लिए एक अलग दृष्टिकोण है।

• समूहों की अस्तित्ववादी अवधारणा।

• अगर तुम चाहो।

• लेकिन कुछ मुझे बताता है कि यह चीज उपयोगी साबित हो सकती है।

• अब, सब कुछ भूल जाओ, यहां तक कि सैंडविच अभिगृहीत को भी। एक सेट E लें जिसमें एक सह-संयोजक आंतरिक संक्रिया o है। मान लीजिए कि इस सेट में एक तत्व मौजूद है जो अन्य सभी तत्वों के साथ जुड़ने पर उदासीन तत्व का काम करता है:

a o e = e o a = a - क्या यह अद्वितीय है?

• यदि ऐसा तत्व मौजूद है, तो यह आवश्यक रूप से अद्वितीय होगा, इसका प्रमाण हो सकता है।

• ओह हाँ, यह सच है।

• मैं कहूंगा कि दो तत्व a और b प्रतिलोमता के संबंध में जुड़े होंगे यदि

a o b = b o a = e

यदि हम a देते हैं, तो b इसका प्रतिलोम है। मैं कहता हूँ कि यदि मैं सेट को उन तत्वों के उपसेट में सीमित करता हूँ जिनका प्रतिलोम मौजूद है, तो यह उपसेट एक समूह बनाता है। इसे समूहों का निर्माण करने का एक तरीका कहा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, हम सेट में उन तत्वों का चयन करते हैं जो इस गुण को संतुष्ट करते हैं, और मैं कहता हूँ कि यह प sufficient है कि इस उपसेट के एक समूह बनाने का दावा किया जा सकता है।

इस गुण की आंतरिकता सिद्ध करने की आवश्यकता है।

• तुम्हारा क्या मतलब है?

• दो तत्व a और a' लें जो गुण को संतुष्ट करते हैं, अर्थात:

a o b = b o a = e

a' o b' = b' o a' = e

a का प्रतिलोम b है

a' का प्रतिलोम b' है। इसलिए वे उस उपसेट में हैं। यह सिद्ध करना होगा कि a o a' का भी प्रतिलोम मौजूद है।

इन "गोल" को हटा दें, जो भारी हैं।

a' o b' = e

बाएं ओर