...Vous avez sans doute été
intrigué par cet objet bizarre. C'est un travail qui a plus de dix ans.
Au rayon maths je ne tarderai pas à installer une présentation
d'un sujet vedette des mathématiques contemporaines : le Retournement
de la Sphère. Il se trouve, et vous le découvrirez dans cette
section, qu'on peut retourner une sphère recto-verso, en conservant la
continuité de son plan tangent et à condition de lui donner la
possibilité de s'auto-traverser. J'ai participé à cette
aventure, dansles années soixante-dix et j'ai été le premier
à en donner une description graphique lisible (Pour la Science, janvier
1979). Mais dans ces conditions, si une sphère peut se retourner, un
cube peut en faire autant. Le retournement du cube n'est pas encore inventé.
C'est un sujet de recherche. Peut-être certains d'entre vous trouveront-ils
des éléments de cette transformation. Toujours est-il que l'objet
ci-dessus est le modèle central de la transformation. Je mettrai un découpage
qui vous permettra de le construire et de le poser sur votre bureau. Dans un
tel "modèle central" le cube est à moitié retourné.
Supposons que sa surface ait présenté une couleur verte à
l'extérieur et jaune à l'intérieur. Une succession de transversements
des nappes amène le cube dans cette configuration "à quatre
oreilles", version polyédrique du "modèle central ouvert"
de Bernard Morin.
...Ce cube montre donc un reste
de ce qui était son extérieur (les "oreilles" vertes)
et ce qui est apparu à la suite de ces transformations (les "oreilles"
jaunes, qui correspondent à l'intérieur de l'objet). Le lettre
Dindique le point double du modèle. La lettre Qle point quadruple (où
se croisent quatre nappes). On sait qu'il existe une infinité de déformations
successives permettant de transformer notre cube vert en cet objet à
symétrie quaternaire. Ces déformations ne sont que les versions
polyédriques de l'infinité de déformations permettant de
transformer une sphère (verte à l'extérieur) en modèle
à quatre oreilles (deux vertes et deux jaunes). Reste à trouver,
à inventer les étapes intermédiaires les plus simples,
avec un minimum de faces, de sommets et d'arètes. Voilà un joli
travail de recherche.
...Au passage ceci démontre que le cube
peut être retourné recto-verso (comme la sphère, dont il
n'est que la version polyédrique) . En effet, pour qui disposerait de
la séquence évoquée, il suffirait de faire effectuer au
modèle une rotation de 90° selon son axe de symétrie, puis
de reprendre la séquence à l'envers pour aboutir à un cube
... jaune.
