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Le projet.
… Notre point de départ sera un groupe dynamique G, c’est-à-dire une famille de matrices carrées g.
… Dynamique : parce que le temps y est impliqué.
… Ce groupe possède une certaine dimension n. Il peut agir sur un espace X, qui possède sa propre dimension (laquelle n’a aucun lien avec la dimension du groupe, cette dernière étant le nombre de paramètres indépendants définissant chaque matrice g de l’ensemble, qui constitue le groupe G).
… Nous avons désormais besoin d’une action, afin de définir un espace sur lequel le groupe agit, son espace des moments (ou espace des impulsions). Cet espace n’est pas l’espace-temps dans lequel les particules sont censées se déplacer. Construire un tel espace nous conduira dans un pays étrange, qui ressemblera à une terre schizophrène. Mais si vous suivez ce chemin, vous serez plus proche de la réalité physique que vous ne l’avez jamais été auparavant.
… Une fois que nous disposons d’un espace sur lequel jouer, et d’une action sur laquelle agir, nous pourrons classer les moments-mouvements en espèces, puis identifier ces espèces aux particules élémentaires.
… Plus haut, nous avons indiqué que le produit d’un groupe par un vecteur, correspondant à SO(2) et O(2), ainsi qu’à SO(3) et O(3), constitue une action : g × r
c’est-à-dire :
(166b)
Remarquons que nous pouvons l’écrire de manière équivalente :
(167)
Pour le groupe euclidien orienté et le groupe euclidien complet, nous devons écrire une action :
(168)
Mais ces actions, de même que les actions correspondantes des groupes dynamiques sur l’espace, comme :
(169)
ne produisent… rien. Elles ne font que déplacer des objets dans l’espace, ou dans l’espace-temps, ou dans des espaces plus raffinés (espace à cinq dimensions, espace à dix dimensions).
Nous devons chercher quelque chose « caché sous le groupe » : son espace des moments (tous les groupes de matrices en possèdent un) et son
action coadjointe sur son espace des moments.
qui correspond à la physique réelle.
Qu’est-ce que la physique ?
… Bonne question. Le mathématicien français Jean-Marie Souriau a inventé le concept d’action coadjointe d’un groupe sur son espace des moments, et l’a démontré au début des années soixante-dix. Ce point sera développé par la suite.
… Bien sûr, le physicien, une fois les calculs terminés, demandera :
Pourquoi ?
… En d’autres termes, cela fonctionne, mais pouvons-nous donner une signification physique à ce concept d’action coadjointe d’un groupe dynamique sur son espace des moments ? La réponse semble être non.
… Imaginez que vous soyez un élève d’Aristote. Soudain, vous éprouvez une intuition et vous inventez un nouveau mot pour le nommer :
inertie.
… Aristote arrive. Il a été informé par d’autres élèves que vous aviez inventé quelque chose de nouveau, et il vous demande :
– Pourriez-vous nous expliquer ce que signifie inertie ?
Vous ne pourrez pas le faire en utilisant le vocabulaire d’Aristote. Vous aurez alors rencontré un changement de paradigme.
… Passons au Moyen Âge. Essayez d’expliquer une réaction chimique à l’aide du vocabulaire des quatre éléments. C’est également impossible…
L’action coadjointe d’un groupe sur son espace des moments constitue un changement de paradigme. C’est une nouvelle approche de la physique.
En réalité, les physiciens manipulent constamment des actions de groupes lorsqu’ils parlent d’« invariance » ou de « lois de conservation ».
Un physicien conventionnel posera alors la question suivante :
– Pouvez-vous m’expliquer, en termes simples si possible, ce que signifie l’action coadjointe d’un groupe sur son espace des moments ?
Nous répondons :
– Pourquoi utilisez-vous les lois de conservation en physique ?
– Euh… parce qu’il existe des quantités conservées : énergie, masse, charge électrique…
– Pourquoi sont-elles conservées ?
– Mais c’est un principe fondamental !…
– Mon cher ami, considérez l’action coadjointe d’un groupe sur son espace des moments comme un principe fondamental.
– Que voulez-vous dire ?
– Toute physique repose sur une structure de groupe. Si vous identifiez le groupe, vous pouvez construire son action coadjointe et l’espace des moments correspondant. Ensuite, les composantes du moment deviennent les grandeurs physiques correspondantes.
– ………
Attention. Si vous êtes physicien (même physicien théoricien…) et que vous lisez ce qui suit, vous subirez une mutation paradigmatique. Après cela, la physique sera simplement… différente.
Actions.
Qu’est-ce qu’une action ?
Quelque chose lié à un groupe, qui obéit aux axiomes suivants :
(170)
Bien sûr, pour les groupes de matrices, l’opération de composition est :
x
(multiplication matricielle ligne-colonne)
Pour les groupes de matrices, nous pouvons écrire :
(171)
Considérons le vecteur colonne :
(172)
où x, par exemple, représente les vecteurs (173)
Est-ce que (174)
satisfait les axiomes d’une action ? Soient g et g' deux éléments du groupe G.
(175)
(175b)
Nous devons avoir :
(176) Ag(Ag'(x)) = Ag''(x)
c’est-à-dire :
(177)
en vertu de la propriété d’associativité :
(178) g'' = g × g'
il s’agit bien d’une action du groupe.
… Remarquons que nous avons placé l’élément g du groupe G à gauche. Que se passe-t-il si nous le plaçons à droite ? Alors il doit être combiné à une matrice ligne y.
(179) Ag(y) = y × g
S’agit-il d’une action ?
Index Théorie des groupes dynamiques
Version originale (anglais)
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**The project. **
...Our starting point will be a group Dynamic G , i.e. a family of square matrixes g .
...Dynamic : because time is involved .
...This group has a certain dimension n .It may act on a space X, which has its own dimension ( which has nothing to do with the dimension of the group, this last being the number of independent parameters which define each matrix g of the set, forming the group G ).
...Now we need an action , to define a space on which the group acts, its momentum space. This space is not space-time in which the particles are supposed to travel. Building such space will take us in a strange country, which will looks like some schizophrenic land. But if you follow this way you will be closer to physical reality that you have never been before.
...When we will have a space to play with, and an action ton act on, we will classify the moments-movements into species and identify such species to elementary particles.
...Above we said that the produce of a group by a vector, corresponding to SO(2) and O(2), as well as SO(3) and O(3) corresponded to an action : **g **x r
i.e :
(166b)
Notice we could write it in the equivalent way :
(167)
For oriented Euclid's group and complete Euclid's group we need to write an action :
(168)
But these actions, as well as the corresponding actions of dynamics groups on space, like :
(169)
give ... nothing. They just carry objects in space, or space-time, or more refined spaces ( 5 dimensional space, ten dimensional space ).
We have to search something "hidden under the group" : itsmomentum space ( all groups of matrixes own one ) and its
coadjoint action on its momentum space.
which corresponds to real physics.
**What is physics **?
...Good question. The French mathematician Jean-Marie Souriau invented the concept of coadjoint action of a group on its momentum space and showed, in the early seventies. In the following this will be developped.
...Of course, the physicist, at the end of the calculation, will ask
Why ?
...In other terms, it works, but can we give a physical meaning to this concept of coadjoint action of a dynamic group on its space momentum. The answer seems to be no.
...Imagine you are a student of Aristotle. Suddently you have a intuition and you invent a new word to name it :
inertia.
...Aristotle arrives. He has been warned by other students that you had invented something new, and he asks ;
- Could you explain to us what means inertia ?
You will be unable to do it, using Aristotle's words. You will have encouneted a paradigmatic change.
Jump to the middle-age. Try to explain a chemical reaction in terms of four elements vocabulary. Impossible too...
The coadjoint action of a group on its space momentum is a paradigmatic change. It is a new insight on physics.
In fact, physicists handle group actions all the time when they speak about "invariance", conservation laws".
Such conventional physicist will ask :
- Can you explain to me what is the meaning of the caodjoint action of a group on its momentume space, in simple worlds, if possible ?
We answer :
-
Why do you use conservation laws, in physics ?
-
Aoh... because there are conservative quantities : energy, mass, electric charge...
-
Why are they conserved ?
-
But, it is a basic principle ! ....
-
My dear friend, consider the caodjoint action of a group on its momentum space as a basic principe.
-
What do you mean ?
-
Any physics is based on a group structure. If you identify the group, you may build its caodjoint action and the corresponding momentum space. Then the components of the moment are the corresponding physical quantities.
-
........
Warning. If you are a physicist (even a theoretical physicist...) and if you read what follows you will undergo a paradigmatic mutation. After, physics will be simply... different.
Actions.
What is an action ?
Something linked to a group, which obeys the following axioms :
(170)
Of course, for groups of matrixes, the composition operation is :
x
( line-column matricial multiplication )
For matrixes groups we can write :
(171)
Consider the column-vector :
(172)
where x , for an example, represents vectors (173)
Does (174)
fits the action's axioms ? Let g and g' be two elements of the group G.
(175)
(175b)
We must have :
(176) Ag ( Ag'(x)) = Ag"(x)
i.e :
(177)
under associativity property :
(178) g" = g x g'
is a group's action.
...Notice we put the element g of the group G on the left. What happens if we put it on the righ ? Then it must be combined to a line-matrix y.
(179) Ag(y) = y x g
Is it an action ?