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Extension non triviale du groupe spécial de Galilée.
Le groupe de Bargmann (1960)
Les matrices suivantes (voir mes cours sur les groupes)
(338)
forment un groupe, découvert par Bargmann en 1960. Là encore, il agit sur un espace à cinq dimensions. Sa dimension est 11, en raison de la présence du scalaire f. Il s'agit d'une extension non triviale du groupe spécial de Galilée.
(339)
Si l'on calcule l'action coadjointe du groupe sur son moment, on obtient :
(340)
...Nous voyons que cette action coadjointe est plus fine, et que la masse interagit avec les autres composantes du moment. Nous avons analysé cela plus haut et montré comment cela donne un sens physique aux composantes du moment.
...Un moment est un mouvement d'une particule donnée. Le groupe de Bargmann décrit les mouvements non relativistes. On peut envisager une particule au repos, sans énergie, sans impulsion, sans spin. Juste une masse non nulle :
m
**p **= 0
E = 0
**f **= 0
**l **= 0
Nous utilisons l'élément suivant du groupe de Bargmann :
(341)
Les composantes du moment deviennent :
(342)
...Dans un système de coordonnées lié à la particule, le passage **f **reste nul. Nous avons montré que la matrice de spin s'identifie au moment cinétique.
...Ici, ce qui est important, c'est d'examiner l'extension triviale du groupe spécial de Galilée (pourquoi « spécial » ? Ceci sera expliqué plus loin). Lorsqu'on effectue cette extension triviale, elle ajoute simplement un scalaire supplémentaire au moment.
Examinons maintenant l'extension du groupe de Poincaré :
Extension centrale du groupe de Poincaré. (343)
« ep » signifie « groupe de Poincaré étendu ». Lo est l'élément du sous-groupe orthochrone Lo du groupe de Lorentz complet L. Ainsi, on peut considérer l'élément ci-dessus comme le sous-groupe orthochrone Gepo d'un groupe de Poincaré étendu complet, dont l'élément est :
(344)
Les deux agissent sur un espace à cinq dimensions :
(345) ( t , x , y , z , z ).
On peut montrer que cette extension ne peut pas supporter de termes non nuls sur la première ligne, au lieu de 0 = ( 0 0 0 ), entre 1 et f.
...Comme l'a montré J.M. Souriau, la méthode de quantification géométrique (méthode de Kostant-Kirillov-Souriau) permet d'obtenir l'équation de Schrödinger à partir du groupe de Bargmann et l'équation de Klein-Gordon à partir du groupe de Poincaré étendu ( Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Éd. 1972). En outre, cette extension centrale du groupe ajoute un scalaire supplémentaire au moment (comme dans l'extension triviale du groupe de Bargmann) :
(346)
Jep= { c , M , P } = { c , Jp }
Jp représente le moment classique du groupe de Poincaré. Alors l'action coadjointe du moment devient simplement :
(347)
Le calcul n'est pas compliqué et est similaire à celui présenté plus haut. On calcule l'anti-action :
(348)
Ensuite, la dualité s'exprime par la constance du scalaire suivant :
(349)
...On obtient ainsi un scalaire supplémentaire c, qui est simplement conservé par l'action coadjointe. Depuis lors, ce scalaire n'avait pas reçu d'interprétation physique. Nous allons tout éclaircir dans ce qui suit. Évidemment, on peut étendre le groupe autant de fois qu'on le souhaite :
(350)
À chaque fois, on ajoute un scalaire supplémentaire
(351) Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P } Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp } et l'action coadjointe devient :
(352)
Le lecteur dira : « Bon, pourquoi ne pas ajouter 57 nouveaux scalaires ? »
Ajoutons simplement six et identifions ces nouveaux scalaires à
(353)
c 1 = q (charge électrique)
c 2 = cB (charge baryonique)
c 3 = cL (charge leptique)
c 4 = cm (charge muonique)
c 5 = ct (charge tauonique)
c 6 = v (coefficient gyro-magnétique)
Le groupe agit sur l'espace à dix dimensions suivant :
(354) ( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 )
c’est-à-dire : espace-temps plus six dimensions supplémentaires.
(355)
Rappelons que ce groupe est construit à partir du sous-groupe orthochrone
Lo = Ln (composante neutre) U Ls (correspondant à l'inversion spatiale)
du groupe de Lorentz complet L.
Le moment devient :
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp étant la partie du moment correspondant au groupe de Poincaré Gop (sous-groupe orthochrone).
Quel est le sens physique ?
...Un moment appartient à un espace, qui est une variété n-dimensionnelle. Le groupe de Poincaré possède dix dimensions, donc le moment du groupe de Poincaré est composé de dix grandeurs.
Ensuite, nous ajoutons six dimensions supplémentaires au groupe, correspondant aux phases supplémentaires :
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
Le moment devient :
(358) Jpe = { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
Nous décidons que parmi l'ensemble des scalaires
(359) Jp = { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
on identifie l'énergie E, la quantité de mouvement p, le passage f, la matrice antisymétrique de spin l.
...E et p peuvent prendre toutes les valeurs possibles, mais les arguments quantiques imposent la constance du module s du vecteur de spin (dans un système de coordonnées lié à la particule), ce qui n'est pas justifié ici et correspond au travail de Souriau.
Nous avons six scalaires supplémentaires :
(360) J1, J2 J3, J4, J5, J6
...Nous décidons qu'entre une infinité de choix possibles, certains choix discrets correspondent à des particules réelles (et antiparticules). Alors, dans la 16-variété correspondant à l'espace des moments, nous sélectionnons des mouvements discrets correspondant à des particules, avec des nombres quantiques définis
(361) { q , cB , cL , cm , ct , v }
...Pour l'instant, l'action coadjointe du groupe assure simplement la conservation de ces grandeurs, le long de mouvements donnés. Il existe des « nombres quantiques passifs » ainsi que la masse apparaît comme une quantité passive, lorsqu'elle provient de l'extension triviale du groupe spécial de Galilée.
Index Théorie des Groupes Dynamiques
Version originale (anglais)
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Non-trivial extension of the Special Galileo's group.
**The Bargmann's group **( 1960 )
The following matrixes ( see my lectures on groups )
(338)
form a group, discovered by Bargmann in 1960. Here again, it acts on a five-dimensional space. Its dimension is 11, due to the presence of the scalar f . It's a non-trivial extension of the Special Galileo's group.
(339)
If one compute the coadjoint action of the group on its momentum, one gets :
(340)
...We see that this coadjoint action is more refined and that the mass interacts with the other components of the moment. We have analyzed that above and shown how it brings the physical meaning of the momentum's components.
...A momentum is a movement of a given particle. The Bargmann's group describes non-relativist movements. We may consider a particle at rest, with no energy, no impulsion, no spin. Just a non-zero mass :
m
**p **= 0
E = 0
**f **= 0
**l **= 0
We use the following element of the Bargmann's group :
(341)
The components of the momentum become :
(342)
...In a system of coordinates linked to the particle the passage **f **is still zero. We have show than the spin matrix identifies to kinetic momentum.
...Here, what is important is to look at the trivial extension of the Special Galileo's group (why "special" ? This will be explained further). When one performs this trivial extension, it just brings an additional scalar to the momentum.
Let us extend the Poincaré's group :
Central extension of the Poincaré's group. (343)
"ep" means "extended Poincaré's group". Lo is the element of the orthochron sub-group Lo of the complete Lorentz group L. So that we may consider the above element as the orthochron sub-group Gepo of a complete extended Poincaré's group, whose element is :
(344)
The two act of five dimensional space :
(345) ( t , x , y , z , z ).
On can show that this extension cannot stand non zero terms on the first line, instead 0 = ( 0 0 0) , between 1 and f .
...As shown by J.M.Souriau, the geometric quantification method (Kostant-Kirilov-Souriau method) brings the Schrödinger equation from the Bargmann's group and the Klein Gordon equation from the extended Poincaré's group ( Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod Ed. 1972 ). In addition this central extension of the group adds an extra scalar to the momentum (as in the trivial extension of the Bargmann's group) :
(346)
Jep= { c , M , P } = { c , Jp }
Jp represents the calssical Poincaré's momentum. Then the coadjoint action of the momentum simply becomes :
(347)
The calculation is not complicated and is similar to the one presented above. One computes the anti-action :
(348)
Then the duality is expressed through the constancy of the following scalar :
(349)
...So that we get an additional scalar c , which is just conserved through the coadjoint action. Since now this scalar had received no physical interpretation. We are going to clear up all that in the following. Obviously we can extend the group as many time we want :
(350)
Each time, it adds an additional scalar
(351) Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., M , P } Jpe = { c 1 , c 2 , c 3 ....., Jp } and the coadjoint action becomes :
(352)
The reader will say "well, why don't we add 57 new scalars ? "
Just add six and identify these new scalars to
(353)
c 1 = q (electric charge)
c 2 = cB (baryonic charge)
c 3 = cL (leptonic charge)
c 4 = cm (muonic charge)
c 5 = ct (tauonic charge)
c 6 = v (gyromagnetic coefficient)
The group acts on the following ten dimensional space :
(354) ( x , y , z , t , z 1 , z 2 , z 3 , z 4 , z 5 , z 6 )
i.e : space-time plus six additional dimensions.
(355)
Recall that this group is built with the orthochron sub-group
Lo = Ln (neutral component) U Ls (achieving space-inversion)
of the complete Lorentz group L.
The momentum becomes :
(356)
Jpe = { q , cB , cL , cm , ct , v , Jp }
Jp being the part of the moment corresponding to the Poincaré's group Gop (orthochron sub-group).
What is the physical meaning ?
...A momentum belongs to a space, which is a n-manifold. The Poincaré's group owns ten dimensions, so that the Poincaré's group momentum is composed by ten quantities.
Then we add six more dimensions to the group, corresponding to the additional phasis :
(357)
f1 ,f2 ,f3 ,f3 ,f5 ,f5
The momentum becomes :
(358) Jpe = { J1, J2 J3, J4, J5, J6, J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
We decide that amon te set of scalars
(359) Jp = { J7, J8, J9, J10, J11, J12, J13, J14, J15, J16 }
we identify the energy E, the momentum p, the passage **f **, the spin antisymmetric matrix l .
...E and** p** may take all possible values, but quantum arguments impose the constancy of the modulus s of the spin vector (in a system of coordonates linked to the particle), which is not justified here and corresponds to Souriau's work.
We have six more scalars :
(360) J1, J2 J3, J4, J5, J6
...We decide that, among an infinity of possible choices, some discrete choices correspond to real particles (and anti-particles). Then, in the 16-manifold corresponding to the momentum space we select discrete movements corresponding to particules, with defined quantum numbers
(361) { q , cB , cL , cm , ct , v }
...For the moment the coadjoint action of the group just ensures the conservation of these quantities, along given movements. There are "passive quantum numbers" as well as the mass appeared as a passive quantity, when arising from the trivial extension of the Special Galileo's group.