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Description géométrique de l’antimatière de Dirac.
…Nous voyons que l = –1 change les signes des cᵢ, ce qui correspond à une conjugaison de charge, une symétrie C.
Ceci fournit une description géométrique de l’antimatière après Dirac (antimatière à énergie positive, masse positive).
…Bien entendu, la symétrie C ne modifie pas le photon, puisque toutes ses charges sont essentiellement nulles. Il s’identifie à son propre antiparticule.
Description géométrique de l’antimatière de Feynman.
…Celui-ci est censé être symétrique sous PT. Comment introduire la symétrie PT dans le groupe ?
Voir : J.P. Petit et P. Midy : « Géométrisation de la matière et de l’antimatière via l’action coadjointe d’un groupe sur son espace impulsionnel. 3 : Description géométrique de l’antimatière de Dirac. Première interprétation géométrique de l’antimatière après Feynman et du supposé théorème CPT ». Geometrical Physics B, 3, 1998.
La modification ultérieure du groupe est la suivante :
(388)
…Il devient un groupe à huit composantes, car la composante orthchrone du groupe de Lorentz possède deux composantes connexes, d’où 2 × 2 × 2 = 8.
Cela signifie que nous ajoutons les éléments antichrones :
(389)
Ci-dessus : nous ajoutons les éléments antichrones au groupe.
Ci-dessous : nous ajoutons le demi-secteur correspondant de l’espace impulsionnel, associé aux mouvements à énergie négative.
En un mot : nous élargissons le champ d’action, qui devient :
(390)
Sur (388), on voit que les éléments (m = –1) inversent l’espace-temps, réalisent la symétrie PT et correspondent à :
(391) Lst = – Ln Lt = – Ls
Nous obtenons les symétries suivantes dans l’espace impulsionnel :
(392)
Le calcul de l’action coadjointe du groupe (388) sur son espace impulsionnel conduit à :
(393)
…Il devient alors aisé d’examiner l’effet de chaque composante sur l’impulsion et le mouvement. Nous considérerons un mouvement et une impulsion de référence J+1, correspondant à la matière à énergie positive (l’effet sur les photons à énergie positive sera analysé dans un second temps). Le secteur du groupe dans lequel l’élément est choisi sera gris.
Ensuite, les mouvements de la matière ordinaire.
l = +1, m = +1
l m = +1
Les charges restent inchangées. Le mouvement M2 correspond à de la matière orthchrone à masse positive (E > 0).
(394)
Mouvements de la matière ordinaire. Action des éléments orthuchrones du groupe, avec l = 1. Charges inchangées. (395)
Action coadjointe d’un élément du groupe (l = –1 ; m = +1) sur l’impulsion associée au mouvement de la matière normale : le nouveau mouvement correspond à l’antimatière de Dirac.
…L’élément est choisi dans le secteur gris. Il s’agit d’un « anti-élément », qui transforme la matière en antimatière : l = –1 inverse les signes des dimensions supplémentaires, ce qui constitue notre définition géométrique de l’antimatière.
Version originale (anglais)
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Geometric description of Dirac's anti-matter.
...We see that** **l = - 1 changes the signs of the ci 's , which corresponds to a charge conjugation , a C-symmetry.
This groups gives a geometrical description of anti-matter after Dirac ( positive energy, positive mass anti-matter ).
...Of course the C-symmetry does not change the photon, for all its charges are basically zero. It identifies with its own antiparticle.
Geometric description of Feynmann's anti-matter.
...This one is supposed to be PT-symmetrical. How to introduce the PT-symmetry in the group ?
See : J.P.Petit and P.Midy : " Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 3 : Geometrical description of Dirac's anti-matter. A first geometrical interpretation of anti-matter after Feynmann and so-called CPT-theorem". Geometrical Physics B, 3 , 1998.
The subsequent modification of the group is the following :
(388)
...It becomes an eight components group, for the orthochron part of Lorentz has two connex components, so that 2 x 2 x 2 = 8.
It means that we add the antichron elements :
(389)
Above : we add the antichron elements to the group.
Below : we add the corresponding half sector of the momentum space corresponding to negative energy movements.
In a word : we extend the playing field, which becomes :
(390)
On (388) we see that ( m = - 1 ) elements reverse space-time, achieve PT-symmetry and correspond to :
(391) Lst = - Ln Lt = - Ls
We have the following symmetries in the momentum space :
(392)
The calculation of the coadjoint action of the group (388) on its momentum gives :
(393)
...It becomes easy to examine the impact of each component on momentum and movement. We shall consider a reference movement and momentum J+1 , refering to positive energy matter ( the impact on positive energy photons will be analysed in a second step ). The sector of the group in which the element is chose will be grey.
Next, the movements of ordinary matter.
l = +1 m = +1
l m = +1
The charges are unchanged. The movement M2 refers to (E>0), positive mass, orthochron matter.
(394)
Movements of ordinary matter. Action of orthochron elements of the group, with l = 1. Charges unchanged. (395)
**Coadjoint action of a ( **l = -1 ; m = 1 ) element of the group on the momentum associated to the movement of normal matter : the new movement corresponds to Dirac's anti-matter.
...The elements is picked in the grey sector. It corresponds to an "anti-element", which transform matter into anti-matter : l = - 1 reverse the signs of the additional dimensions, which is our geometrical definition on antimatter.