समूह और भौतिकी सह-संयोजी क्रिया संवेग

समूह और भौतिकी सहसंयोजक क्रिया संवेग

रैंक (n,n) का एक वर्ग आव्यूह एक स्तंभ सदिश (n,0) पर क्रिया करता है। हमने देखा है कि यूक्लिडियन 2d समूह, जो एक स्थान (x,y) को संदर्भित करता है, स्तंभ-सदिशों पर क्रियाओं को सम्मिलित नहीं करता था:

(51)

बल्कि स्तंभ-सदिशों पर:

(52)

जो किसी स्थान X पर समूह की क्रिया का एक उदाहरण प्रस्तुत करता है, जहाँ x ** X ** है।। संभावित क्रियाओं की एक अनंतता है, यहाँ तक कि समूह का स्वयं पर भी। क्रियाएँ अभिगृहीतों द्वारा परिभाषित होती हैं।

(53)

स्तंभ सदिश पर विचार करते हुए:

(54)

जहाँ x उदाहरण के लिए सदिशों को निरूपित करता है:

(55)

(56)

समूह क्रिया के अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है। तब कोई समूह के अवयव को निरूपित करने वाले वर्ग आव्यूह के साथ, एक पंक्ति आव्यूह y के साथ, बाएँ गुणन कर सकता है, यह पूछते हुए कि क्या यह भी एक क्रिया है।

(57) Ag(y) = y x g

उत्तर है नहीं। यह एक समूह क्रिया नहीं है: यह ऊपर दिए गए अभिगृहीतों को संतुष्ट नहीं करती। तब यही है जिसे मैं "प्रति-क्रिया" कहना पसंद करता हूँ, जो तब निम्नलिखित "प्रति-अभिगृहीतों" का पालन करती है:

(58)

गणितज्ञ कहेंगे कि इन "प्रति-क्रियाओं" का आह्वान करने की कोई आवश्यकता नहीं है और केवल एक ही अभिगृहीत-समुच्चय है। निःसंदेह। इसी प्रकार जिसे प्रति-क्रिया माना जाता है:

(59) AAg(m) = g-1 x m x g

m एक दिया गया सदिश होने के कारण, "समूह G के अवयव g की आव्यूह m पर प्रति-क्रिया", g-1 व्युत्क्रम आव्यूह को निरूपित करते हुए, अवयव g-1 की क्रिया के रूप में व्यवहृत किया जा सकता है।

इसी प्रकार एक "प्रति-क्रिया" केवल एक क्रिया की द्वैत है। मान लीजिए कि शैक्षणिक कारणों से यह अवधारणा प्रस्तुत करना मुझे सुविधाजनक लगा।

n प्राचल pi पर निर्भर वर्ग आव्यूहों के एक समूह से, इन सभी प्राचलों को dpi के अनुसार विभेदित करके, आव्यूह बनाए जा सकते हैं। इस प्रकार प्राप्त आव्यूह, जो dpi अवयवों से भरे हैं, एक समूह नहीं बनाते, बल्कि वह बनाते हैं जिसे "समूह के प्रति स्पर्शी सदिश: dg (उसका "ली-बीजगणित", जो वैसे कोई वास्तविक बीजगणित भी नहीं है, पर चलने दीजिए..) कहा जाता है।

अतः समूह "प्रति-क्रिया" के माध्यम से, समूह के तत्समक अवयव e के पड़ोस में, "स्पर्शी सदिश" dg पर क्रिया कर सकता है:

(60) **AAg(m) = g-1 x dg(g=e) **x g

इस प्रकार हमें यह योजना प्राप्त होती है:

(61)

परंतु एक प्रति-क्रिया, एक क्रिया की द्वैत है। अब, जहाँ द्वैतता होती है, वहाँ एक अदिश गुणनफल S का संरक्षण होता है।

अतः सूरियो ने एक दूसरी समूह-क्रिया, समूह की उसके संवेग-स्थान पर क्रिया का निर्माण करने का प्रयास किया। परंतु यह क्रिया, जिसे सहसंयोजक या सारभूत क्रिया कहा जाता है, सीधे उभर नहीं सकती थी। तब उसे इस मध्यस्थ के माध्यम से गुजरना पड़ा जिसे मैं "समूह की उसके स्पर्शी सदिश पर प्रति-क्रिया" कहता हूँ।

इस प्रकार खोजी गई क्रिया समूह की उसके स्पर्शी सदिश पर प्रति-क्रिया की द्वैत के रूप में उभरती है। और एक प्रति-क्रिया की द्वैत, वह एक क्रिया है, जो इस प्रकार लिखी जाएगी:

(62) Ag(J)

जहाँ J "संवेग" होगा: उन राशियों का एक समूह जो एक "भौतिक बिंदु" के गुणधर्म हैं, प्रश्नगत क्रिया, जिसे सहसंयोजक कहा जाता है, यह दर्शाती है कि ये गुणधर्म गति में कैसे परिवर्तित होते हैं।

एक समूह है, जिसे आगे दिया जाएगा, जो गैलीली समूह का एक विस्तार है, जिसे भी आगे दिया जाएगा, और जिसे बार्गमैन समूह (1960) कहा जाता है। इस विधि को इस समूह पर लागू करके, उसका संवेग JB और जिस प्रकार से समूह उस पर क्रिया करता है, का निर्माण किया जा सकता है।

सूरियो प्रायः कहते थे:
संवेग अपनी छाया की तरह गति का अनुसरण करता है।

सुंदर बिंब, उनकी कृति "प्रकृति का व्याकरण" से उधार लिया गया। भौतिक बिंदु वास्तव में दिक्-काल (x,y,z,t) में विस्थापित होता है। ऐसा करते हुए उसके गुणधर्म विकसित होते हैं, जिसका वर्णन समूह की उसके संवेग-स्थान पर इस सहसंयोजक क्रिया द्वारा किया जाता है।