समूह और भौतिकी सह-संयुग्मी क्रिया संवेग

समूह और भौतिकी सह-क्रिया संवेग

हम बार्गमैन समूह के संवेग के घटकों को लिखने वाले नहीं हैं। संक्षेप में, हम बार्गमैन समूह के संवेग को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

JB = { एक अदिश m, और संवेग के अन्य घटक }

सह-क्रिया दर्शाती है कि संवेग के विभिन्न घटक कैसे परिवर्तित होते हैं। लेकिन यह सह-क्रिया सरल संबंध से शुरू होती है:

(63) m' = m

बार्गमैन समूह की सह-क्रिया अपने संवेग पर द्रव्यमान को संरक्षित करती है, जिसके परिणामस्वरूप यह एक शुद्ध भौतिक ज्यामितीय स्थिति में उभरता है।

पोइंकारे समूह के अपने संवेग अंतरिक्ष Jp** पर सह-क्रिया का निर्माण।**

यदि आप पहले से ही बहुत भ्रमित हो गए हैं, तो इसे छोड़ दें। यह स्वाभाविक है और पृष्ठों के साथ-साथ यह और भी कठिन होता जाएगा। इस बिंदु पर मैं अब नहीं जानता कि यह लेख किसके लिए है। निश्चित रूप से थ्योरेटिकल भौतिकीविदों या गणितज्ञों के लिए, लेकिन निश्चित रूप से नहीं निर्माणकारक या टाइलर्स के लिए। लेकिन एक बड़े विद्यालय या भौतिकी के स्नातक के छात्र जो लगातार चलते रहेंगे, वे इसका अनुसरण कर सकते हैं। ये सिर्फ मैट्रिक्स हैं।

सब कुछ 4×4 आकार के मैट्रिक्स के एक समूह से शुरू होता है, जो लोरेंत्ज समूह बनाता है, जिसका तत्व L है।

इन्हें एक मैट्रिक्स G के आधार पर अभिगृहीत रूप से परिभाषित किया जाता है:

(64)

निम्नलिखित के आधार पर:

(65) tL G L = G

जहाँ tL मैट्रिक्स L का प्रतिलोम है।

मैट्रिक्स L एक समूह बनाते हैं।

प्रमाण।

तत्व तत्व निरपेक्ष है L = 1:

मान लीजिए कि L1 और L2 समुच्चय के दो तत्व हैं। जांचें कि गुणन L1L2 समूह में है या नहीं। यदि हाँ:

t( L1L2 ) G L1L2 = G

लेकिन:

t( A B ) = t B t A

इसलिए:

t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2

अब मैट्रिक्स L का व्युत्क्रम निकालें। हम तत्व L की अभिगृहीत परिभाषा से शुरू करते हैं:

tL G L = G

हम दाहिने ओर L-1 से गुणा करते हैं:

tL G L L-1 = G L-1

tL G = G L-1

हम बाएं ओर G से गुणा करते हैं:

G tL G = G G L-1

G tL G = L-1

इसलिए मैट्रिक्स L का व्युत्क्रम है:

L-1 = G tL G

इसलिए:

(66)

स्पेस-टाइम सदिश। मैट्रिक्स G मिंकोव्स्की मीट्रिक से आती है, जिसे फिर से लिखा जा सकता है (c = 1 के साथ):

(67)

अभ्यास: दिखाएं कि मैट्रिक्स व्युत्क्रम निम्नलिखित के अनुसार है:

(68)

फिर हम एक स्पेस-टाइम अनुप्रस्थ सदिश परिभाषित करते हैं:

(69)

इसके आधार पर हम पोइंकारे समूह के तत्व gp बनाते हैं:

(70)

अभ्यास: दिखाएं कि यह एक समूह बनाता है और मैट्रिक्स व्युत्क्रम की गणना करें:

(71)

नीचे दिया गया "समूह के स्पर्श लाइन सदिश, इसके 'ली बीजगणित' का तत्व":

(72)

इसके आधार पर हम विपरीत क्रिया की गणना करेंगे:

(73) dgp' = gp-1 x dgp x gp

गणना की सुविधा के लिए, हम नोट करते हैं कि:

(74) G d L

एक विषम-सममित मैट्रिक्स है। इसे हम निम्नलिखित कहते हैं:

(75)

इसलिए:

(76)

हम रखते हैं:

(77)

इस सामग्री के आधार पर हम विपरीत क्रिया बनाएंगे:

(78) dgp' = gp-1 x dgp x gp

सभी गणना के बाद हमें निम्नलिखित अनुप्रयोग प्राप्त होगा:

(79)

यदि आप इस मैट्रिक्स गणना के भाग को छोड़ना चाहते हैं, तो समीकरण (80) के नीचे जाएँ

(79a)

(79b)

जिससे विपरीत क्रिया के तत्व प्राप्त होते हैं:

(79c)

लेकिन:

(79d)

इसलिए:

(79e)

लेकिन GG = 1 इसलिए:

(79f)

जिससे हम अनुप्रयोग प्राप्त करते हैं:

(79g)

जो अभी तक खोजा गया विपरीत क्रिया है, अनुप्रयोग:

(80)