हास्य और गणित
हास्य और गणित
23 अगस्त 2005
प्रोफेसर तार्दी संयोगवश क्यूक्यूएट का अंतर्निहित समीकरण खोज निकालते हैं
"तार्दी का बाइटॉइड"
इस अंतर्निहित समीकरण की अत्यंत सरलता, जो छठी घात का है, ध्यान देने योग्य है। यह विशुद्ध रूप से एक संयोगवश खोज है। तार्दी ने वास्तव में गणित की एक पवित्र कंदरा खोजने के लिए फिर से काम शुरू किया था: बॉय सतह का एक अंतर्निहित समीकरण जो अंततः संतुलित हो। यह सतह वर्नर बॉय ने 1902 की गर्मियों से ठीक पहले गॉटिंगेन में खोजी थी। उस विश्वविद्यालय के एक युवा छात्र के रूप में उन्होंने इसे अत्यंत प्रसिद्ध गणितज्ञ हिल्बर्ट को दिखाया, जो बहुत रुचि लेने लगे और अपने छात्र से सहमत हुए कि सत्र की शुरुआत में इस पर पुनर्विचार किया जाएगा। किंतु बॉय बिना कोई निशान छोड़े गायब हो गए। कोई नहीं जानता कि वे क्या हुए, न ही उनकी कब्र का पता है। कुछ लोगों ने गॉटिंगेन के गणित विभाग में उन्हें श्रद्धांजलि देने के लिए एक "अज्ञात गणितज्ञ की कब्र" बनाने का सुझाव दिया था।
पैले डे ला डेकुवेर्त ने एक चौथाई सदी तक इस सतह का एक निरूपण प्रदर्शित किया, जिसे मैंने आविष्कार किया था और जिसका पहला प्राचलिक निरूपण बाद में मैंने गणितज्ञ जीन-मारी सूरियो के पुत्र जेरोम सूरियो के साथ मिलकर खोजा था, जो टोपोलोजिकॉन के अंतिम पृष्ठ पर दिखाई देता है।
मेरी कॉमिक "टोपोलोजिकॉन" से अंश
नीचे BASIC में लिखा कार्यक्रम है, जिससे वस्तु की पहली कंप्यूटर-निर्मित छवियाँ प्राप्त हुईं। कोलोना (पॉलिटेक्निक स्कूल) ने यह काम संभाला और दुनिया भर में बॉय की जो भी कंप्यूटर-निर्मित छवियाँ मिल सकती हैं, वे सब इन्हीं प्राचलिक समीकरणों से निकली हैं। वस्तु को तीन भद्दे विशिष्ट सिलवटों से पहचाना जा सकता है जो "ध्रुव" को घेरती हैं और जो केवल प्राचलों के समायोजन की त्रुटियों के कारण हैं। एक दिन, तार्दी और मैं इस झूठी सिलवटों के मामले पर ध्यान देंगे, जब हमारे पास एक मिनट होगा।
जब पैले ने इस सतह को प्रदर्शनी से हटाने का फैसला किया तो मैंने इसे वापस लेने के लिए कहा और अब मैं इसे अपने घर पर एक विशाल संदूक में रखता हूँ। यह ऐसा लगता है जैसे कोई अंडा सेया जा रहा हो और यह आगंतुकों को बहुत उत्सुक करता है।
यहाँ, क्रिस्टोफ़ समस्या को बहुत ऊपर से उठाते हैं। अपेरी (उच्च गणित के प्रोफेसर, नेत्रहीन गणितज्ञ बर्नार्ड मोरैं के छात्र) ने एक अंतर्निहित समीकरण तैयार किया, अर्थात् इस प्रकार का:
f ( x , y , z ) = 0
लेकिन अपने मालिक मोरैं की बुरी सलाह से, उन्होंने oz अक्ष को सममिति अक्ष के रूप में लिया। परिणामस्वरूप समीकरण जटिल और अनाकर्षक है। परिणाम: प्राप्त सतह के... खरगोश के कान हैं। यह बॉय का "रोजर रैबिट" संस्करण है। लेकिन, किंतु, यही सब उपलब्ध है और यही समीकरण है जो आपको दुनिया भर के गणितीय ग्रंथों में मिलेगा। फिर भी एक असीम रूप से सरल समीकरण मौजूद है। यह निश्चित है। स्टाइनर की भव्य रोमन सतह के समीकरण के बारे में सोचिए:
x 2 y 2 + y 2 z 2+ z 2x 2 - 2 x y z = 0
जिसकी समृद्धि का कभी अनुमान नहीं लगाया जा सकता। नीचे, तार्दी द्वारा प्राप्त छवि:
स्टाइनर की रोमन सतह, Winplot से खींची गई। मूल में, त्रिक बिंदु।
अक्षों पर, छह शीर्ष बिंदु
यह छवि पोइतिए के रिचर्ड पेरिस द्वारा बनाए गए उत्कृष्ट सॉफ़्टवेयर Winplot से बनाई गई है,
मुफ़्त डाउनलोड करने योग्य
यह भी देखें http://www.mathcurve.com/surfaces/romaine/romaine.shtml
बॉय को भी उतने ही सरल समीकरण से वर्णित किया जा सकना चाहिए, बस कुछ अधिक पदों के साथ। यह छठी घात की है। इसमें त्रिगुण सममिति है, और इसलिए ऐसा निरूपण खोजना उचित है जिसमें सदिश (1, 1, 1) सममिति अक्ष हो, जिससे x, y और z चरों के चक्रीय क्रमचय से समीकरण अपरिवर्तनीय रहेगा। इसके अलावा, यदि निर्देशांकों का मूल त्रिक बिंदु पर रखा जाए और उस बिंदु पर स्पर्श तल लंबकोणीय हों, तो निम्नतम घात का पद ठीक x y z होगा। (अंतर्निहित समीकरण x y z = 0 मूल में प्रतिच्छेद करने वाले तीन तलों को निरूपित करता है।)
इसलिए तार्दी इसी दिशा में खोज करते हैं, सतहों और उनके कटानों को निरूपित करने वाले एक सॉफ़्टवेयर की सहायता से। ऐसा ही एक कटान बनाते समय वे संयोगवश बाइटॉइड के समीकरण पर पहुँच गए, जो ऊपर दिया गया है, जिसकी उल्लेखनीय लालित्य और सरलता की सराहना की जाएगी।
27 अगस्त 2005: उत्पत्ति को फिर से लिखना
इस खोज ने गणित की दुनिया में कुछ खलबली मचाई, कुछ महिला प्रतिनिधियों ने, जो एमएलएफ से गहराई से जुड़ी हैं, तीव्र विरोध किया। लेकिन चूँकि एक खोज दूसरी को जन्म दे सकती है, एक अमेरिकी शोधकर्ता, केविन फाइन, जो प्लाज़्मा भौतिकी के विशेषज्ञ हैं, ने इस समीकरण में रुचि ली:
z ( y , y ) = x6 + y6 - x3 y2 - y3 x2
जो तार्दी के बाइटॉइड का 3डी विस्तार है। Matlab से प्राप्त छवियाँ इस प्रकार हैं:
केविन फाइन का फुफुनॉइड
केविन फाइन के फुफुनॉइड का अन्य दृश्य
लाल वक्र (योजनाबद्ध रेखाचित्र) तल z = 0 के साथ प्रतिच्छेदन को दर्शाता है।
उत्पत्ति में पढ़ा जाता है कि भगवान ने पुरुष से लिए गए एक अंग (उसकी एक पसली) से स्त्री की रचना की। यह इसके विपरीत सुझाता है क्योंकि इस योजना के अनुसार, जो निश्चित रूप से रूपकात्मक है, पुरुष एक 2डी संरचना होगा, जबकि स्त्री एक 3डी संरचना होगी, पहला दूसरे का केवल एक उपसमुच्चय (तल z = 0 द्वारा प्रतिच्छेदन) होगा।
28 अगस्त 2005 को केविन फाइन की प्रतिक्रिया यहाँ है:
Dear Jean Pierre
I am honored. Unfortunately I am too old (51) for a Fields Medal, but it is a great honor in itself to have your name attached to a curve. Imagine my pride in knowing that in the future a mathematician just might say, "Excuse me, but that is a Fine Foufounoide you have there."
Kevin
अनुवाद
प्रिय जीन-पियरे,
मैं सम्मानित अनुभव कर रहा हूँ। दुर्भाग्य से मैं फील्ड्स मेडल के लिए बहुत बूढ़ा हूँ (मैं 51 वर्ष का हूँ)। फिर भी, यह अपने आप में एक सम्मान है कि आपका नाम किसी वक्र से जुड़ा हो। कल्पना कीजिए मेरा गर्व कैसा होगा जब भविष्य में कोई गणितज्ञ कभी कहे "क्षमा करें, लेकिन आपके सामने जो है, वह एक शानदार फुफुनॉइड है"।
केविन
Dear Jean Pierre
I am honored. Unfortunately I am too old (51) for a Fields Medal, but it is a great honor in itself to have your name attached to a curve. Imagine my pride in knowing that in the future a mathematician just might say, "Excuse me, but that is a Fine Foufounoide you have there."
Kevin
अनुवाद
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प्रिय जीन-पियरे,
मैं सम्मानित अनुभव कर रहा हूँ। दुर्भाग्य से मैं फील्ड्स मेडल के लिए बहुत बूढ़ा हूँ (मैं 51 वर्ष का हूँ)। फिर भी, यह अपने आप में एक सम्मान है कि आपका नाम किसी वक्र से जुड़ा हो। कल्पना कीजिए मेरा गर्व कैसा होगा जब भविष्य में कोई गणितज्ञ कभी कहे "क्षमा करें, लेकिन आपके सामने जो है, वह एक शानदार फुफुनॉइड है"।
केविन
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