गणित ज्यामिति सतह टॉपोलॉजी

एक सतह क्रॉस कैप को कैसे बदलें बॉय की सतह (दाईं या बाईं, चुनाव के लिए)

स्टीनर की रोमन सतह के माध्यम से।

इतालवी: एंड्रिया संबुसेटी, रोम विश्वविद्यालय

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27 सितंबर - 25 अक्टूबर 2003

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यहाँ एक "क्रॉस कैप सतह" है (जैसे आप वर्चुअल रियलिटी छवियों में इसे देखेंगे)। इसमें दो शीर्ष बिंदु हैं जो एक आत्म-प्रतिच्छेदन रेखा के शीर्ष हैं। आप इसे बिना बैलून को बिना बैलून के दूर ले जाकर बना सकते हैं। लेकिन आप इसके बहुभुज प्रतिनिधित्व भी बना सकते हैं। नीचे दी गई छवि हमें विशेष रूप से दिलचस्पी देगी।

तालिका 4 में सीखने के लिए सबसे कठिन बात है। मुझे लगता है कि किसी को भी आकृतियों को देखकर इन वस्तुओं को अच्छी तरह समझना असंभव है। अपने मॉडल बनाएं। सरल शब्दों में, आपको शीर्ष बिंदु C2 को "सतह के अंदर" की ओर खींचना है (जो कि अन्यथा अर्थहीन है क्योंकि, आपने निश्चित रूप से तुरंत ध्यान दिया होगा, क्रॉस कैप सतह एक ओर वाली है: इसके बाहरी और आंतरिक फलक नहीं हैं)। जारी रखने पर, सतह आत्म-प्रतिच्छेदन करती है, और आत्म-प्रतिच्छेदन का समुच्चय थोड़ा गोल करके आठ के आकार की एक वक्र के साथ पूरा हो जाता है। इस प्रक्रिया में एक त्रिकोणीय बिंदु T भी बनता है।

सतह को अपने बहुभुज रूप में अधिक स्पष्ट दिखाई देती है, और नीचे हमने कुछ तत्वों को बड़ा करके दिखाया है ताकि आप देख सकें कि हम इस वस्तु को स्टीनर की रोमन सतह में कैसे बदलते हैं (वर्चुअल रियलिटी सिमुलेशन देखें) जिसका सबसे सरल बहुभुज रूप चार घनों को जोड़कर बनाया जाता है (यहाँ केवल तीन दिखाई दे रहे हैं)।

तालिका 5: बाईं ओर बहुभुज रूप, दाईं ओर गोलाकार रूप। तीर उस बिंदु से गुजरता है जिसे हम "कुचलने" वाले हैं। नीचे, कुचलने की प्रक्रिया की शुरुआत।

तालिका 6: कुचलने की प्रक्रिया को पूरा किया गया है और एक विशिष्ट बिंदु B बनता है। वास्तव में, चूंकि हम दोनों ओर से कुचलते हैं (समय बचाने के लिए), दो विशिष्ट बिंदु S1 और S1 बनते हैं, फिर दो शीर्ष बिंदु। इस बिंदु पर, कार्डबोर्ड, कैंची और टेप के बिना आपको बहुत मुश्किल होगी।

तालिका 7: यहाँ हमने सिर्फ विभिन्न शीर्ष बिंदुओं को स्थानांतरित कर दिया है। यदि बिंदु C2 "स्पष्ट" है, तो आपको बिंदु C3 और C4 को शीर्ष बिंदु के रूप में पहचानने में अधिक कठिनाई होगी। हालांकि वे आत्म-प्रतिच्छेदन रेखा के अंतिम बिंदुओं पर हैं। बिंदु C3 के ऊपर बस एक "पॉजिटिव कॉन" है, जिसे मैंने इसे नाम दिया है, जहां धनात्मक वक्रता केंद्रित होती है (एक बिंदु जहां ऋणात्मक वक्रता केंद्रित होती है, मैंने उसे "नेगाकॉन" कहा है)। इस वस्तु को थोड़ा विकृत करने पर, हम स्टीनर की रोमन सतह के बहुभुज रूप तक पहुंचते हैं (स्टीनर ने रोम में इसका आविष्कार किया था; वर्चुअल रियलिटी में इसकी चित्र देखें)।

तो खेल खत्म हो गया। विभिन्न प्रकार की सतहें मौजूद हैं, जो एक व्यक्ति द्वारा निर्धारित नियमों के आधार पर होती हैं। जिन सतहों में आत्म-प्रतिच्छेदन नहीं होता है, उन्हें "एम्बेडिंग" कहा जाता है (गोले या टोरस को R3 में)। जबकि आत्म-प्रतिच्छेदन होता है लेकिन स्पर्श तल निरंतर बदलता है और विघटित नहीं होता है, तो उन्हें इमर्शन कहा जाता है। उदाहरण: क्लीन की बोतल, उसके पारंपरिक प्रतिनिधित्व में। R3 में क्लीन की बोतल का एम्बेडिंग के रूप में प्रतिनिधित्व नहीं है: यह अनिवार्य रूप से आत्म-प्रतिच्छेदन करती है। इमर्शन में आत्म-प्रतिच्छेदन के समुच्चय शीर्ष बिंदुओं के बिना होते हैं। ये समुच्चय निरंतर वक्र हैं, लेकिन वे दोहरे या त्रिकोणीय बिंदुओं पर एक दूसरे को काट सकते हैं। नोट: गोले को आत्म-प्रतिच्छेदन के रूप में बनाया जा सकता है (जो एम्बेडिंग नहीं है)। वास्तव में, यही वह तरीका है जिससे इसे उलटा जा सकता है (देखें A. Phillips का तरीका, 1967, जिसका मुख्य चरण बॉय की सतह का द्विगुण आवरण है; और B. Morin और J.P. Petit, 1979 को भी देखें, जहां मॉरिन के "चार कान वाले मॉडल" को मुख्य मॉडल के रूप में लिया गया है, जिसका मैंने लगभग दस साल पहले एक बहुभुज प्रतिनिधित्व बनाया था)।

इस वस्तु के कागज और कैंची के साथ निर्माण का योजना

यदि खेल के नियमों को विस्तारित किया जाए और इन वस्तुओं को शीर्ष बिंदुओं के अलावा भी स्वीकार किया जाए, तो हमें समर्शन मिलते हैं (क्रॉस कैप, स्टीनर की रोमन सतह)। मुझे नहीं पता कि क्या समर्शन शब्द सही है, लेकिन चूंकि मैंने कोई गणितज्ञ नहीं पाया जो मुझे इस बारे में स्पष्ट कर सके, इसलिए मैंने इसे अस्थायी रूप से बनाना मजेदार लगा, जब तक कि कोई विशेषज्ञ ज्यामितिज्ञ आ न जाए। इस प्रकार, क्रॉस कैप सतह और स्टीनर की रोमन सतह "प्रोजेक्टिव तल" की दो समर्शन हैं।

सच कहूं तो, पच्चीस वर्षों के कार्य और मेरे चुंबकीय द्रव गतिकी में निराशा के बाद, मैंने इन कार्यों को शुरू किया क्योंकि मुझे लगता था कि ये किसी भी सैन्य अनुप्रयोग से सबसे दूर हैं। लेकिन मेरे पुराने मित्र मिन के ध्यान में लाने पर, मुझे लगता है कि शब्द "समर्शन" के उपयोग से भ्रम उत्पन्न हो सकता है और नौसेना को यह बता सकता है कि मैं उपलब्धि के लिए उपलब्ध उपकरणों के बारे में छिपाने की कोशिश कर रहा हूं।

शीर्ष बिंदु जोड़ों के "निर्माण-विघटन" के नियम के द्वारा, हम एक वस्तु की एक समर्शन से दूसरी समर्शन में जा सकते हैं, और हमने ठीक वही किया है, दिखाते हुए कि क्रॉस कैप और स्टीनर की रोमन सतह एक ही वस्तु, जिसे प्रोजेक्टिव तल कहा जाता है, की दो समर्शन हैं। कृपया इस "प्रोजेक्टिव तल" की कल्पना न करें। इस वस्तु को केवल विभिन्न प्रतिनिधित्वों के माध्यम से समझा जा सकता है। और "प्रोजेक्टिव" शब्द के बारे में, यह गणितज्ञों द्वारा बनाए गए एक हजार शब्दों में से एक है जो उनके बंद समुदाय में प्रवेश करना चाहने वालों को भ्रमित करने के लिए है। ज़ानिचेल्ली आपको गणित में कुछ भी उपयोगी नहीं होगा।

इसलिए हमें अब यह देखना है कि कैसे प्रोजेक्टिव तल की बॉय की सतह में बदलें

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