गणित ज्यामिति सतह टॉपोलॉजी

क्रॉस कैप सतह को बॉय की सतह में कैसे बदलें (दाएं या बाएं, चुनाव के अनुसार)

स्टीनर की रोमन सतह के माध्यम से।

इतालवी: एंड्रिया संबुसेटी, रोम विश्वविद्यालय

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27 सितंबर - 25 अक्टूबर 2003

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यहाँ एक "क्रॉस कैप सतह" है (जैसे आप वर्चुअल रियलिटी की छवियों में इसे देखेंगे)। इसमें दो शीर्ष बिंदु हैं जो एक आत्म-प्रतिच्छेद रेखा के शीर्ष हैं। आप इसे बिना बैलून को बिना बैलून को कैंची के द्वारा दबाकर बना सकते हैं। लेकिन आप इसके बहुभुज प्रतिनिधित्व भी बना सकते हैं। नीचे दी गई छवि विशेष रूप से हमारी रुचि के लिए है।

तालिका 4 में सबसे कठिन बात है जो सीखनी है। मुझे लगता है कि किसी को भी इन वस्तुओं को आसानी से समझना असंभव है बस छवियों को देखकर। अपने मॉडल बनाएं। सरल शब्दों में, बिंदु C2 को "सतह के अंदर" की ओर खींचा जाता है (जो बीच में अर्थहीन है क्योंकि आपने निश्चित रूप से तुरंत ध्यान दिया होगा कि क्रॉस कैप सतह एक ओर वाली है: इसके बाहरी और आंतरिक फलक नहीं हैं)। जारी रखने पर, सतह आत्म-प्रतिच्छेद करती है, और आत्म-प्रतिच्छेद के समुच्चय को थोड़ा गोल करके, आठ के आकार की एक वक्र के साथ पूरा किया जाता है। बीच में, एक त्रिकोणीय बिंदु T बन गया है।

सतह को इस बहुभुज रूप में अधिक समझा जा सकता है, और नीचे हमने कुछ तत्वों को बड़ा करके दिखाया है ताकि हम इस वस्तु को स्टीनर की रोमन सतह में बदलने के लिए क्यों जा रहे हैं (वर्चुअल रियलिटी सिमुलेशन देखें), जिसका सबसे सरल बहुभुज रूप चार घनों को जोड़कर बनाया जाता है (यहाँ केवल तीन दिखाए गए हैं)।

तालिका 5: बाएं ओर बहुभुज रूप, दाएं ओर गोल रूप। तीर उस बिंदु से गुजरता है जिसे हम "दबाने" वाले हैं। नीचे, दबाने की प्रक्रिया की शुरुआत।

तालिका 6: दबाने की प्रक्रिया की गई है और एक विशिष्ट बिंदु B बनाती है। वास्तव में, चूंकि हम दोनों तरफ से दबाते हैं (समय बचाने के लिए), दो विशिष्ट बिंदु S1 और S1 बनते हैं, फिर दो शीर्ष बिंदु। इस बिंदु पर, कार्डबोर्ड, कैंची और टेप के बिना आप बहुत खराब हो जाएंगे।

तालिका 7: यहाँ हमने सिर्फ विभिन्न शीर्ष बिंदुओं को स्थानांतरित कर दिया है। यदि बिंदु C2 "स्पष्ट" है, तो आपको C3 और C4 बिंदुओं को शीर्ष बिंदु के रूप में पहचानने में अधिक कठिनाई होगी। फिर भी वे वहाँ हैं, आत्म-प्रतिच्छेद रेखा के अंतिम बिंदुओं पर। C3 के ऊपर बस एक "पॉजिटिव कॉन" है, जिसे मैंने नाम दिया है, एक बिंदु जहाँ धनात्मक वक्रता केंद्रित होती है (एक बिंदु जहाँ ऋणात्मक वक्रता केंद्रित होती है, मैं उसे "नेगाकॉन" कहता हूँ)। इस वस्तु को थोड़ा विकृत करने पर, हम स्टीनर की रोमन सतह के बहुभुज रूप में पहुँच जाते हैं (स्टीनर द्वारा रोम में आविष्कृत; वर्चुअल रियलिटी में उनकी चित्रण देखें)।

तो खेल खत्म हुआ। विभिन्न प्रकार की सतहें होती हैं, जो एक व्यक्ति द्वारा निर्धारित नियमों पर निर्भर करती हैं। जब सतहें आत्म-प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, तो उन्हें "एम्बेडिंग" (गोले या टोरस को R3 में) कहा जाता है। जब वे आत्म-प्रतिच्छेद करती हैं लेकिन स्पर्श तल निरंतर बदलता है और विघटित नहीं होता है, तो उन्हें इमर्शन कहा जाता है। उदाहरण: क्लीन बोतल, उसके पारंपरिक प्रतिनिधित्व में। R3 में क्लीन बोतल का कोई एम्बेडिंग प्रतिनिधित्व नहीं है: यह आवश्यक रूप से आत्म-प्रतिच्छेद करती है। इमर्शन में आत्म-प्रतिच्छेद के समुच्चय शीर्ष बिंदुओं के बिना होते हैं। ये समुच्चय निरंतर वक्र होते हैं, लेकिन वे द्विगुण या त्रिगुण बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं। नोट: गोले को एक इमर्शन के रूप में बनाया जा सकता है (जो एम्बेडिंग नहीं है) जब इसे आत्म-प्रतिच्छेद कराया जाता है। वास्तव में, यही वह तरीका है जिससे इसे उलटा जा सकता है (देखें A. Phillips, 1967, जिसमें बॉय की सतह के डबल कवर को मुख्य चरण के रूप में लिया गया है; और B. Morin और J.P. Petit, 1979 में भी देखें, जिसमें मॉरिन के "चार कानों वाले" मॉडल को मुख्य मॉडल के रूप में लिया गया है, जिसका यहाँ एक बहुभुज प्रतिनिधित्व दिखाया गया है जिसे मैंने लगभग दस साल पहले खोजा था)।

इस वस्तु के कागज और कैंची के साथ संयोजन की योजना

यदि खेल के नियमों को विस्तारित किया जाए और इन वस्तुओं के शीर्ष बिंदुओं को भी स्वीकार किया जाए, तो हमें समर्शन मिलते हैं (क्रॉस कैप, स्टीनर की रोमन सतह)। मुझे नहीं पता कि क्या 'समर्शन' शब्द सही है, लेकिन चूंकि मैंने कोई गणितज्ञ नहीं पाया जो मुझे इस बारे में स्पष्ट कर सके, मैंने एक शब्द खोजना मजेदार लगा, जब तक कि कोई विशेषज्ञ ज्यामितिज्ञ आ न जाए। इस तरह, क्रॉस कैप सतह और स्टीनर की रोमन सतह "प्रोजेक्टिव तल" की दो समर्शन हैं।

सच कहूं तो, पच्चीस वर्षों के कार्यक्रम और मेरे चुनौतियों के बाद मैंने इन कार्यों को शुरू किया क्योंकि यह लगता था कि यह किसी भी सैन्य अनुप्रयोग से सबसे दूर है। लेकिन मेरे पुराने मित्र मिन के ध्यान में लाया कि शब्द "समर्शन" भ्रम के लिए उपयुक्त हो सकता है और नौसेना को यह समझाने के लिए छोड़ देता है कि मैं उपलब्धि के बारे में जानकारी छिपाने की कोशिश कर रहा हूँ जो सबमरीन प्रणोदन में हो रही है।

शीर्ष बिंदु जोड़ों के "निर्माण-विघटन" के नियम के द्वारा, हम एक वस्तु की एक समर्शन से दूसरी समर्शन में जा सकते हैं, और हमने ठीक वही किया है, दिखाते हुए कि क्रॉस कैप और स्टीनर की रोमन सतह एक ही वस्तु की दो समर्शन हैं, जिसे प्रोजेक्टिव तल कहा जाता है। इस "प्रोजेक्टिव तल" की कल्पना न करें। यह वस्तु केवल विभिन्न प्रतिनिधित्वों के माध्यम से समझी जा सकती है। और "प्रोजेक्टिव" शब्द के बारे में, यह गणितज्ञों द्वारा बनाए गए हजारों शब्दों में से एक है जो उनके बंद समुदाय में प्रवेश करना चाहने वालों को भ्रमित करने के लिए है। गणित में ज़ानिचेल्ली आपके लिए कोई उपयोगी नहीं होगा।

इसलिए हमें अब यह देखना है कि प्रोजेक्टिव तल की बॉय की सतह में कैसे बदलें

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