गोले टॉपोलॉजी गणितीय मॉडल

इटैलियन: एंड्रिया संबुसेटी, रोम विश्वविद्यालय

यहां क्लिक करें ताकि 1:1 पैमाने पर मॉडल का ड्राइंग प्रदर्शित हो, जिसे प्रिंट करके काटा जा सके।
दो अलग-अलग रंग के ब्रिस्टल कार्ड पर चार उदाहरणों की फोटोकॉपी करके, आप स्वयं मॉडल का निर्माण इसके निर्देशों के अनुसार कर सकते हैं।

आपने निश्चित रूप से इस साइट के शुरुआती पेज के बाएं हिस्से में एक अजीब वस्तु के अनवरत घूमते हुए देखा होगा। इसके बारे में क्या है?

एक दिन, जब मुझे समय मिलेगा, मैं इस साइट पर गोले के उलटने का विवरण स्थापित करूंगा, जैसा कि मैंने जनवरी 1979 के Pour la Science अंक में दिखाया था, अर्थात... 22 साल पहले! इसके लिए बहुत विवरण और एक परिचय की आवश्यकता होगी। "गोले को उलटना" का क्या अर्थ है? गोले का अर्थ सामान्य व्यक्ति और गणितज्ञ-ज्यामितिज्ञ के लिए अलग-अलग है। सामान्य व्यक्ति के लिए, यह केवल उन बिंदुओं का स्थान है जो एक निश्चित बिंदु O से दूरी R पर स्थित हैं। ज्यामितिज्ञ इसे अभी भी "गोले" कहता है, भले ही यह एक "विकृत गोले" हो, जैसे एक आलू। इन अवधारणाओं को अधिक सटीक रूप से समझने के लिए, Lanturlu के CD को खरीदें जिसमें "टॉपोलॉजिकॉन" नामक कार्टून है। लेकिन गणितज्ञ और अधिक आगे बढ़ता है। एक सतह को "नियमित" कहा जाता है जब उसके प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्श तल परिभाषित किया जा सकता है। इससे गोले के अनंत नियमित विकृतियों के बारे में सोचना संभव हो जाता है, जो आलू के अनंत संभावित आकारों में बदल सकती हैं, और इस सतह के क्षेत्रफल को भी अनियमित रूप से बदल सकती हैं। इसके बावजूद, हमारे भौतिक ब्रह्मांड में, एक व्यक्ति जो गोले को उलटने की कोशिश करे (अर्थात उसकी आंतरिक सतह को बाहर लाए), अपनी सतह को आपस में छेदने की असंभवता का सामना करेगा। जब इस मान्यता को लागू किया जाता है, अर्थात सतह के आपस में छेदने या यहां तक कि स्पर्श करने की अनुमति नहीं है, तो गणितज्ञ गोले S2 के एम्बेडिंग के बारे में बात करता है। लेकिन गणितज्ञ हमेशा सब कुछ करने की अनुमति लेता है। गणितज्ञ के लिए, एक गोला एक "काल्पनिक" वस्तु है, जिसमें सतह के आपस में छेदने की अनुमति है। नीचे दिए गए ड्राइंग के अनुक्रम एक ऐसे गोले को दिखाते हैं जो आपस में छेदता है। ऐसी प्रस्तुति, जिसमें आपस में छेदना संभव हो, को एक इमर्शन कहा जाता है।

इसलिए एक इमर्शन में आपस में छेदने का समुच्चय होता है (यहां एक सरल वृत्ताकार वक्र है)। हालांकि, स्पर्श तल को निरंतर बदलना चाहिए। इस बात के बाद, ऊपर दिए गए ड्राइंग को देखने पर यह अच्छी तरह से स्पष्ट हो जाता है कि इस क्रिया के द्वारा आंतरिक सतह का एक हिस्सा (हरे रंग में दर्शाया गया है) बाहर आ जाता है। उलटने को पूरा करने के लिए, इस तरह के भाग को दबाना होगा। यहां एक समस्या दिखाई देती है: इस दबाने से स्पर्श तल की निरंतरता नष्ट हो जाएगी, और इस परिवर्तन में एक ऐसा चरण होगा जो एक इमर्शन नहीं होगा।

एक दिन अमेरिकी गणितज्ञ स्टीफन स्मेल ने सिद्ध किया कि "गोले S2 की एक ही इमर्शन श्रेणी है।" यह रहस्यमय वाक्य का परिणाम यह था कि एक ऐसे परिवर्तन के माध्यम से गोले को "मानक" रूप से उसके "विपरीत" रूप में ले जाया जा सकता था, जिसमें प्रत्येक बिंदु अपने विपरीत बिंदु के साथ बदल दिया जाता था: सरल शब्दों में... एक उलटा गोला। राउल बॉट ने स्मेल का नेतृत्व किया। इस तथ्य की औपचारिक सिद्धि इतनी स्पष्ट थी कि निश्चित रूप से कोई भी इस उलटने की क्रिया को वास्तविक रूप से देखने में सक्षम नहीं था। बॉट ने स्मेल से लगातार कहा, "मुझे दिखाओ कि तुम कैसे आगे बढ़ोगे"; जिस पर स्मेल, जो जाने-माने तरीके से बिना किसी झिझक के बोलते थे, उत्तर देते थे "मुझे इसके बारे में कोई धारणा नहीं है।" बाद में स्मेल को फील्ड पुरस्कार मिला, जो गणित के लिए नोबेल पुरस्कार के समान है। बीच में, आप शायद पूछेंगे कि गणित के लिए नोबेल पुरस्कार क्यों नहीं है। उत्तर सरल है: उसकी पत्नी एक गणितज्ञ के साथ भाग गई थी।

इस तरह की चीजें कई वर्षों तक ऐसी ही रहीं, जब तक कि एक अमेरिकी गणितज्ञ एंथनी फिलिप्स ने 1967 में साइंटिफिक अमेरिकन में इस उलटने का पहला संस्करण प्रकाशित नहीं किया, जो अत्यंत जटिल था। दूसरा संस्करण 1970 के दशक के शुरुआत में अंधे फ्रांसीसी गणितज्ञ बर्नार्ड मोरिन द्वारा खोजा गया। मैंने इस अनुक्रमिक परिवर्तनों के ड्राइंग बनाने में पहला था, जो जैसा मैंने आपको घोषणा की थी, इस साइट पर एक आने वाले लेख का विषय होगा, बहुत विस्तृत। हालांकि, यह सब हमें एक विचार की ओर ले जाता है। सतहों को बहुभुजाकार रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। एक घन या चतुष्फलक को गोले के बहुभुजाकार प्रतिनिधित्व के रूप में लिया जा सकता है, इस अर्थ में कि इन वस्तुओं की टॉपोलॉजी समान है। इस बिंदु पर, मेरे Topologicon को देखें। इसके अलावा, यह स्पष्ट हो जाता है कि यदि गोले को उलटना संभव है, तो घन को उलटना भी संभव होगा। बर्नार्ड मोरिन द्वारा खोजी गई परिवर्तन क्रिया (जिसे मैंने जनवरी 1979 के Pour la Science में लेख में चित्रित किया था) एक केंद्रीय मॉडल से गुजरती है। इस अनुक्रम में एक सममिति है। मैं इसे "चार कान वाला केंद्रीय मॉडल" कहता हूं। मैं बात कर रहा हूं अगले बिंदुओं के बारे में। हालांकि, जैसे गोले को बहुभुजाकार प्रतिनिधित्व के लिए उपयुक्त बनाया जा सकता है, वैसे ही इस परिवर्तन के आगे के चरणों के लिए भी यह संभव है। जो चीज आप मेरे शुरुआती पेज पर घूमते देख रहे हैं, वह गोले के उलटने के केंद्रीय मॉडल का बहुभुजाकार रूप है, जिसे मैंने लगभग दस वर्ष पहले खोजा था। इन बहुभुजाकार मॉडलों का लाभ यह है कि इन्हें समतल सतहों के साथ बनाया जा सकता है। इन्हें कागज और कैंची से भी बनाया जा सकता है। नीचे दिए गए ड्राइंग को देखें (मैं इस बात के लिए अपने मित्र क्रिस्टोफ टार्डी को धन्यवाद देता हूं, जिन्होंने सही आकार के तत्व तैयार किए)।

बड़ा

यह एक इंस्टॉलेशन योजना है जिसका आप यहां एक सामान्य दृश्य प्राप्त कर सकते हैं। हालांकि, इसे प्रिंट करने के लिए आपको अनुकूल अनुभाग पर जाना चाहिए। इसे प्रिंट करें। फिर, अपने प्रिंटर के सामान्य कागज पर प्रिंट किए गए एक उदाहरण के साथ, इसे चार बार फोटोकॉपी करें, दो हरे रंग के ब्रिस्टल कार्ड पर और दो पीले रंग के पर। इन काटे गए शीटों के माध्यम से आप घन के उलटने के केंद्रीय मॉडल का निर्माण कर सकते हैं।

काटने �