गोले टॉपोलॉजी गणितीय मॉडल

इटैलियन: एंड्रिया संबुसेटी, रोम विश्वविद्यालय

यहां क्लिक करें ताकि 1:1 के पैमाने पर मॉडल का ड्राइंग प्रदर्शित हो, जिसे प्रिंट करके काटा जा सके।
दो अलग-अलग रंगों के ब्रिस्टल कार्ड पर चार नकलें फोटोकॉपी करके, आप स्वयं इस मॉडल का निर्माण इसके निर्देशों के अनुसार कर सकते हैं।

आपने निश्चित रूप से इस वेबसाइट के शुरुआती पृष्ठ के बाएं ओर घूमते हुए एक अजीब वस्तु को देखा होगा। यह क्या है?

एक दिन, जब मुझे समय मिलेगा, मैं इस वेबसाइट पर गोले के उलटने का वर्णन स्थापित करूंगा, जैसा मैंने पूर ला साइंस के जनवरी 1979 के अंक में चित्रित किया था, अर्थात... 22 साल पहले! इसके लिए बहुत विवरण और एक परिचय की आवश्यकता होगी। "गोले को उलटना" का क्या अर्थ है? आम आदमी के लिए गोला एक ऐसा स्थान है जहां एक निश्चित बिंदु O से दूरी R पर स्थित बिंदु होते हैं। एक ज्यामितिज्ञ इसे अभी भी "गोले के विकृत रूप" के रूप में भी कहता है, जैसे एक आलू। इन अवधारणाओं को अधिक सटीक रूप से समझने के लिए, लैंटुरलू के CD को प्राप्त करें जिसमें "टॉपोलॉजिकॉन" नामक कार्टून है। लेकिन गणितज्ञ और आगे बढ़ता है। एक सतह को "नियमित" कहा जाता है जब इसके प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्श तल परिभाषित किया जा सकता है। इससे गोले के अनंत नियमित विकृतियों के असंख्य रूपों के बारे में सोचना संभव हो जाता है, जैसे आलू के अनंत आकार, और इस सतह के क्षेत्रफल को भी अनियमित रूप से बदला जा सकता है। यह कहते हुए, हमारे भौतिक ब्रह्मांड में, जो कोई व्यक्ति गोले को उलटने की कोशिश करे (अर्थात उसकी आंतरिक सतह को बाहर लाए), अपनी सतह के खुद को पार करने में असमर्थ होगा। जब इस मान्यता को लागू किया जाता है, अर्थात सतह के खुद को पार करने या भी निकट आने की अनुमति नहीं है, तो गणितज्ञ गोले S2 के एम्बेडिंग के बारे में बात करते हैं। लेकिन गणितज्ञ हमेशा सब कुछ करने की अनुमति लेते हैं। गणितज्ञ के लिए एक गोला एक "काल्पनिक" वस्तु है और भौतिक नहीं, जहां एक फलक के पार करना संभव माना जाता है। नीचे दिए गए चित्रों की श्रृंखला एक ऐसे गोले को दिखाती है जो खुद को पार करता है। ऐसे प्रतिनिधित्व जो खुद को पार करने की अनुमति देते हैं, को एक "इमर्शन" कहा जाता है।

इसलिए एक इमर्शन में खुद के प्रतिच्छेदन का समुच्चय होता है (यहां एक सरल वृत्ताकार वक्र है)। हालांकि, स्पर्श तल को निरंतर बदलना आवश्यक है। इस बात के बाद, जब आप ऊपर दिए गए चित्र को देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि यह कार्य गोले के आंतरिक भाग (हरे रंग में दर्शाया गया) को बाहर लाता है। उलटने को पूरा करने के लिए, इस तरह के एक बड़े बाहरी भाग को दबाना होगा। यहां एक समस्या दिखाई देती है: इस दबाव से स्पर्श तल की निरंतरता नष्ट हो जाएगी, और इस परिवर्तन में एक ऐसा चरण होगा जो इमर्शन नहीं होगा।

एक दिन अमेरिकी गणितज्ञ स्टीफन स्मेल ने साबित किया कि "S2 गोले के केवल एक इमर्शन वर्ग है।" इस रहस्यमय वाक्य का निष्कर्ष यह था कि एक ऐसे परिवर्तन के माध्यम से गोले को "मानक" से अपने "एंटीपोडल" प्रतिनिधित्व में बदला जा सकता है, जहां प्रत्येक बिंदु अपने एंटीपोडल बिंदु के साथ बदल दिया गया है: सरल शब्दों में... एक उलटा गोला। राउल बॉट स्मेल के नेतृत्व में थे। इस तथ्य की औपचारिक साबिती इतनी सही लगी कि कोई भी इस उलटने की क्रिया को वास्तविक रूप से करने में सक्षम नहीं दिखा। बॉट स्मेल से लगातार कहते रहे, "मुझे दिखाइए कि आप इसे कैसे करेंगे"; जिस पर स्मेल, जिनका विश्वास बहुत अच्छा था, जवाब देते थे, "मुझे इसका कोई भी ख्याल नहीं है।" बाद में स्मेल को फील्ड पुरस्कार मिला, जो गणित में नोबेल के समान है। बीच में, आप शायद यह पूछेंगे कि गणित के लिए नोबेल पुरस्कार क्यों नहीं है। उत्तर सरल है: उसकी पत्नी एक गणितज्ञ के साथ भाग गई थी।

इस तरह के स्थिति बहुत सालों तक बनी रही, जब तक अमेरिकी गणितज्ञ एंथनी फिलिप्स ने 1967 में साइंटिफिक अमेरिकन में इस उलटने का पहला संस्करण प्रकाशित नहीं किया, जो बहुत जटिल था। दूसरा संस्करण 1970 के शुरुआती दशक में फ्रांसीसी गणितज्ञ (अंधे) बर्नार्ड मोरिन द्वारा खोजा गया। मैंने इन परिवर्तनों की श्रृंखला का पहला चित्रण किया, जो जैसा मैंने आपको घोषित किया है, इस वेबसाइट पर एक आने वाले लेख का विषय होगा, बहुत विस्तार से। हालांकि, यह सब हमें एक विचार पर ले जाता है। सतहों को बहुफलकीय रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। एक घन या चतुष्फलक को गोले के बहुफलकीय प्रतिनिधित्व के रूप में लिया जा सकता है, इस अर्थ में कि ये वस्तुएं एक ही टॉपोलॉजी के हैं। इस बिंदु पर, मेरे टॉपोलॉजिकॉन को देखें। इसके अलावा, यह स्पष्ट हो जाता है कि यदि गोले को उलटना संभव है, तो घन को भी उलटना संभव होगा। बर्नार्ड मोरिन द्वारा खोजी गई परिवर्तन एक केंद्रीय मॉडल से गुजरती है। इस श्रृंखला में एक सममिति है। मैं इसे "चार कान वाले केंद्रीय मॉडल" कहता हूं। मैं कुछ आगे बढ़ रहा हूं। हालांकि, जैसे गोले को बहुफलकीय प्रतिनिधित्व के लिए उपयुक्त बनाया जा सकता है, उसी तरह इस परिवर्तन के आगे के चरणों के लिए भी यह संभव है। जो चीज मेरे शुरुआती पृष्ठ पर घूम रही है, वह गोले के उलटने के केंद्रीय मॉडल का बहुफलकीय संस्करण है, जिसे मैं लगभग दस साल पहले खोजा था। इस तरह के बहुफलकीय मॉडल का आकर्षण यह है कि इन्हें समतल सतहों के साथ बनाया जा सकता है। इन्हें कागज और कैंची के साथ भी बनाया जा सकता है। नीचे दिए गए ड्राइंग को देखें (मैं अपने मित्र क्रिस्टोफ टार्डी को धन्यवाद देता हूं, जिन्होंने सही माप के तत्व बनाए हैं)।

बड़ा

यह एक अस्थायी निर्माण योजना है जिसका आपको यहां एक सामान्य दृश्य मिल रहा है। लेकिन इसे प्रिंट करने के लिए, आपको निश्चित रूप से डिकॉपेज पृष्ठ पर जाना चाहिए। इसे प्रिंट करें। फिर, अपने प्रिंटर के सामान्य कागज पर प्रिंट किए गए एक नकल के साथ, इसकी चार एक जैसी प्रतियां बनाएं, दो हरे रंग के ब्रिस्टल कार्ड पर और दो पीले रंग के पर बनाएं। इन काटने योग्य शीटों के माध्यम से आप घन के उलटने के केंद्रीय मॉडल का निर्माण कर सकते हैं।

काटने योग्य तत्वों पर अक्षरों के जोड़े हैं: a, b, c, d, e, f आदि... बस उस शीट को मोड़ें ताकि समान अक्षर मिल जाएं, और फिर उन्हें पारदर्शी टेप से जोड़ दें। आगे दिए गए चित्र एक चार तत्वों में