स्टीनर की रोमन सतह के माध्यम से क्रॉसकैप का रूपांतरण बॉय की सतह में

क्रॉसकैप को स्टीनर की रोमन सतह के माध्यम से बॉय की सतह में बदलना

क्रॉसकैप को बॉय की सतह (दाहिनी या बाएं, चुने गए) में बदलने के लिए स्टीनर की रोमन सतह के माध्यम से कैसे जाएं?

27 सितंबर - 25 अक्टूबर 2003

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यह एक क्रॉसकैप है (जैसे आपने वर्चुअल रियलिटी की छवियों में इसे देखा होगा)। इसमें दो कस्पिडल बिंदु हैं जो एक आत्म-प्रतिच्छेदन रेखा के किनारे हैं। आप इसे एक बैलून को एक कर्लिंग आयरन से दबाकर बना सकते हैं। लेकिन आप इसके बहुलक रूप भी बना सकते हैं। नीचे दिए गए बहुलक को हम विशेष रूप से देखेंगे।

इस पृष्ठ 4 में सबसे कठिन बिंदु है। मुझे लगता है कि आम आदमी के लिए बस चित्रों को देखकर इन आकृतियों को समझना लगभग असंभव है। इन मॉडलों को बनाएं। स्पष्ट रूप से आपको कस्पिडल बिंदु C2 को "सतह के अंदर" की ओर खींचना है (जो बात अर्थहीन है क्योंकि आपने शायद तुरंत ध्यान दे लिया होगा कि क्रॉसकैप एक ओर वाली सतह है। जब आप इसे अधिक दबाते हैं, तो सतह अपने आप को पार करती है और आत्म-प्रतिच्छेदन का समूह "गोल-गोल" रूप में एक आठ के आकार की वक्र के रूप में पूरा होता है। इस दौरान एक त्रिकोणीय बिंदु T बनता है।

बहुलक रूप में सतह को समझना आसान है, और नीचे हम कुछ तत्वों को बड़ा करके दिखा रहे हैं ताकि आपको यह समझ में आए कि हम क्यों इस वस्तु को स्टीनर की रोमन सतह में बदल रहे हैं (वर्चुअल रियलिटी देखें) जिसका सबसे सरल बहुलक रूप चार घनों को जोड़कर बनाया जाता है (यहां हम केवल तीन देख रहे हैं)।

पृष्ठ 5: बाएं ओर बहुलक, दाएं ओर गोल-गोल। तीर एक ऐसे मार्ग के माध्यम से जाता है जिसे हम "दबाएंगे"। नीचे दबाने की शुरुआत।

पृष्ठ 6: दबाने के दौरान एक विशिष्ट बिंदु B बनाया जाता है। वास्तव में, चूंकि हम दोनों ओर से दबाते हैं, समय बचाने के लिए, दो विशिष्ट बिंदु S1 और S1 बनते हैं, फिर दो जोड़े कस्पिडल बिंदु बनते हैं। अब, ब्रिस्टल, कैंची और पट्टी के बिना आप बहुत दुर्भाग्य में हैं।

पृष्ठ 7: हमने सिर्फ विभिन्न कस्पिडल बिंदुओं को स्थानांतरित कर दिया है। यदि बिंदु C2 "स्पष्ट" है, तो आपको बिंदु C3 और C4 को कस्पिडल बिंदु के रूप में पहचानने में थोड़ी कठिनाई होगी। फिर भी वे आत्म-प्रतिच्छेदन रेखा के छोर पर मौजूद हैं। बिंदु C3 के ऊपर सिर्फ एक "पॉजीकॉइन" है, जो धनात्मक वक्रता के केंद्रीकरण का बिंदु है (ऋणात्मक वक्रता के केंद्रीकरण का बिंदु "नेगाकॉइन" कहलाता है)। इस वस्तु को थोड़ा विकृत करने पर हम स्टीनर की रोमन सतह के बहुलक रूप में एक आकृति प्राप्त करते हैं (स्टीनर द्वारा रोम में आविष्कृत चौथी घात की सतह। वर्चुअल रियलिटी में इसकी प्रस्तुति देखें)।

इस प्रकार, काम पूरा हो गया। विभिन्न नियमों के आधार पर विभिन्न प्रकार की सतहें मौजूद हैं। जो सतहें अपने आप को नहीं काटती हैं, उन्हें "स्थापना" (R³ में गोले, टोरस की) कहा जाता है। जब वे अपने आप को काटती हैं लेकिन स्पर्श समतल निरंतर बदलता है, तो उन्हें प्रविष्टि कहा जाता है। उदाहरण: क्लीन की बोतल का पारंपरिक प्रतिनिधित्व। R³ में क्लीन की बोतल का कोई भी स्थापना प्रतिनिधित्व नहीं है। यह अपने आप को अवश्य ही काटती है। प्रविष्टियों में आत्म-प्रतिच्छेदन के समूह कस्पिडल बिंदुओं के बिना होते हैं। ये वक्र निरंतर होते हैं, लेकिन उनमें दोहरे या त्रिकोणीय बिंदु हो सकते हैं। नोट: गोले को अपने आप को काटकर एक प्रविष्टि के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। वास्तव में, यही वह तरीका है जिससे गोले को उलटा जाता है (A. Phillips, 1967, जिसमें बॉय की सतह के दो पत्रों वाले आवरण को मुख्य चरण के रूप में उपयोग किया गया; B. Morin और J.P. Petit, 1979, जिसमें मॉरिन के चार कान वाले मॉडल को मुख्य मॉडल के रूप में उपयोग किया गया, जिसका मैंने लगभग दस साल पहले एक बहुलक रूप बनाया था।

इस वस्तु के निर्माण के लिए काटने की योजना

यदि हम खेल के नियम को विस्तारित करते हैं और मान लेते हैं कि इन वस्तुओं में कस्पिडल बिंदु होते हैं, तो हमें उत्प्रवाह मिलते हैं (क्रॉसकैप, स्टीनर की रोमन सतह)। मुझे नहीं पता कि क्या यह शब्द सही है, लेकिन चूंकि मैंने कोई गणितज्ञ नहीं पाया जो मुझे स्पष्ट कर सके, इसलिए मैंने एक अस्थायी रूप से एक नया शब्द बनाना मजेदार समझा, जब तक कि कोई विशेषज्ञ ज्यामिति विशेषज्ञ नहीं आता है। इस प्रकार क्रॉसकैप और स्टीनर की रोमन सतह "प्रोजेक्टिव तल" की उत्प्रवाह होंगी।

सच कहूं तो, अपने 25 वर्षों के MHD के अनुभव के बाद मैंने ये काम शुरू किए क्योंकि मुझे लगता था कि ये सैन्य अनुप्रयोग से बहुत दूर हैं। लेकिन, जैसा मेरे पुराने मित्र मिन के ध्यान में आया था, शब्द "उत्प्रवाह" भ्रमित कर सकता है और नौसेना को यह बता सकता है कि मैं जलीय इंजन में कोई उपलब्धि छिपाने की कोशिश कर रहा हूं।

कस्पिडल बिंदुओं के युग्मों के "निर्माण-निर्माण" के नियम के द्वारा एक वस्तु की उत्प्रवाह से दूसरी उत्प्रवाह में जाया जा सकता है, और हमने ठीक वही किया है, जिसमें हमने दिखाया कि क्रॉसकैप और स्टीनर की रोमन सतह एक ही वस्तु, जिसे प्रोजेक्टिव तल कहा जाता है, की दो उत्प्रवाह हैं। "प्रोजेक्टिव तल" का रूप कैसा है, इसकी खोज मत करो। इस वस्तु को उसके विभिन्न प्रतिनिधित्वों के माध्यम से ही समझा जा सकता है। और "प्रोजेक्टिव तल" शब्द केवल गणितज्ञों द्वारा बनाए गए हजारों शब्दों में से एक है जो उनके बंद गोले में प्रवेश करना चाहने वालों को भटकाने के लिए है। लारूस गणित में आपकी कोई सहायता नहीं करेगा।

अब हमें बॉय की सतह में जाना है, जो प्रोजेक्टिव तल की एक प्रविष्टि है

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