क्रॉसकैप को बॉय की सतह में रूपांतरित करना, स्टीनर की रोमन सतह के माध्यम से
क्रॉसकैप को बॉय की सतह (दाईं या बाईं, चुनाव के अनुसार) में बदलने का तरीका, स्टीनर की रोमन सतह के माध्यम से।
27 सितंबर - 25 अक्टूबर 2003
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यहाँ एक क्रॉसकैप है (जैसी आपने वर्चुअल रियलिटी की छवियों में देखी होगी)। इसमें दो कस्पिडल बिंदु हैं जो एक आत्म-प्रतिच्छेदन रेखा के किनारे हैं। आप इसे एक बैलून को फर्निश द्वारा दबाकर बना सकते हैं। लेकिन आप इसके बहुलक रूप भी बना सकते हैं। नीचे दी गई आकृति विशेष रूप से हमें रुचि देती है।
इस पृष्ठ 4 में सबसे कठिन बिंदु है। मुझे लगता है कि आम आदमी के लिए बस चित्र देखकर इन आकृतियों को समझना लगभग असंभव है। इन मॉडलों को बनाएं। दूसरे शब्दों में, हम बिंदु C2 को "सतह के अंदर" की ओर खींचते हैं (जो बिल्कुल अर्थहीन है, क्योंकि आपने शायद तुरंत ध्यान दे लिया होगा कि क्रॉसकैप एकल-पक्षीय है। जब हम इसे और अधिक दबाते हैं, तो सतह खुद को पार करती है और आत्म-प्रतिच्छेदन का समुच्चय एक आठ के आकार की वक्र के रूप में पूरा हो जाता है। इस दौरान एक त्रिकोणीय बिंदु T बनता है।
बहुलक रूप में सतह अधिक समझ में आती है, और नीचे हम कुछ तत्वों को बड़ा कर दिया है ताकि आप देख सकें कि क्यों हम इस वस्तु को स्टीनर की रोमन सतह में बदलना चाहते हैं (वर्चुअल रियलिटी देखें) जिसका सबसे सरल बहुलक रूप चार घनों को जोड़ना है (यहां हम केवल तीन देख रहे हैं)।
पृष्ठ 5: बाईं ओर बहुलक, दाईं ओर रोंडूइलार। तीर एक ऐसे मार्ग को ले जाता है जिसे हम "दबाएंगे"। नीचे दबाने की शुरुआत।
पृष्ठ 6: दबाने के दौरान एक विशिष्ट बिंदु B बनाया जाता है। वास्तव में, दोनों ओर दबाने से समय बचाने के लिए, दो विशिष्ट बिंदु S1 और S1 बनते हैं, फिर दो युग्म कस्पिडल बिंदु। अब, ब्रिस्टल, कैंची और चिपकने वाला टेप के बिना, आप बहुत दुर्भाग्य में हैं।
पृष्ठ 7: हमने सिर्फ विभिन्न कस्पिडल बिंदुओं को स्थानांतरित कर दिया है। यदि बिंदु C2 "स्पष्ट" है, तो आपको बिंदु C3 और C4 को कस्पिडल बिंदु के रूप में पहचानने में थोड़ी कठिनाई होगी। फिर भी वे आत्म-प्रतिच्छेदन रेखा के छोर पर मौजूद हैं। बिंदु C3 के ऊपर बस एक "पॉजिकॉइन" है, जो धनात्मक वक्रता का केंद्र है (ऋणात्मक वक्रता का केंद्र एक "नेगेकॉइन" है)। इस वस्तु को थोड़ा विकृत करने पर हम स्टीनर की रोमन सतह के बहुलक रूप में आ जाते हैं (स्टीनर द्वारा रोम में आविष्कृत चौथी घात की सतह। वर्चुअल रियलिटी में उसकी प्रस्तुति देखें)।
इस तरह, काम पूरा हुआ। विभिन्न नियमों के आधार पर विभिन्न प्रकार की सतहें मौजूद हैं। जब सतह खुद को नहीं काटती है, तो उसे एक डुबोने (plongement) कहा जाता है (जैसे गोले या टोरस को R³ में)। जब वे खुद को काटती हैं लेकिन स्पर्श तल निरंतर बदलता है, तो उन्हें इमर्शन कहा जाता है। उदाहरण: क्लीन की बोतल का पारंपरिक प्रतिनिधित्व। R³ में क्लीन की बोतल का कोई भी डुबोने का प्रतिनिधित्व नहीं है। इसे अवश्य ही खुद को काटना होगा। इमर्शन में आत्म-प्रतिच्छेदन के समुच्चय कस्पिडल बिंदुओं के बिना होते हैं। ये वक्र निरंतर होते हैं लेकिन दोहरे या त्रिकोणीय बिंदुओं पर काट सकते हैं। नोट: गोला एक इमर्शन के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, बस इसे खुद को काटकर। वास्तव में ऐसा करके ही हम गोले को उलट सकते हैं (A. Phillips, 1967, जिसमें बॉय की सतह के दो पत्तों वाले आवरण के माध्यम से मुख्य चरण था; B. Morin और J.P. Petit, 1979, जिसमें मोरिन के चार कान वाले मॉडल को मुख्य मॉडल के रूप में उपयोग किया गया, जिसका एक बहुलक रूप मैंने लगभग दस वर्ष पहले खोजा था।
इस वस्तु के निर्माण के लिए काटने के लिए योजना
यदि हम खेल के नियम को विस्तारित करें और मान लें कि इन वस्तुओं में कस्पिडल बिंदु हैं, तो हमें सबमर्शन मिलते हैं (क्रॉसकैप, स्टीनर की रोमन सतह)। मुझे नहीं पता कि यह शब्द सही है या नहीं, लेकिन चूंकि मैंने कोई गणितज्ञ नहीं पाया जो मुझे स्पष्ट कर सके, इसलिए मैंने एक अस्थायी रूप से एक नया शब्द बनाना मजेदार समझा, जब तक कि कोई विशेषज्ञ ज्यामिति विशेषज्ञ नहीं आता है। इस तरह, क्रॉसकैप और स्टीनर की रोमन सतह "प्रोजेक्टिव तल" की सबमर्शन होंगी।
सच कहूं तो, मेरे 25 वर्षों के MHD में असफलताओं के बाद मैंने इन कार्यों को शुरू किया क्योंकि यह मुझे सैन्य अनुप्रयोगों से बहुत दूर लगता था। लेकिन, जैसा मेरे पुराने मित्र मिन के ध्यान में आया, शब्द "सबमर्शन" भ्रमित करने वाला हो सकता है और नौसेना को यह समझाने के लिए छोड़ सकता है कि मैं उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए उपलब्धि के लिए �