क्यूब के उलटने का केंद्रीय (बहुफलकीय) मॉडल
क्यूब के उलटने का केंद्रीय मॉडल
31 दिसंबर 2001
आप सभी ने शायद वेबसाइट के बाएं तरफ एक अजीब वस्तु के अनंत रूप से घूमते हुए देखा है। इसके बारे में क्या है?
एक दिन, जब मुझे समय मिलेगा, मैं वेबसाइट पर गोले के उलटने का विवरण स्थापित करूंगा, जैसा कि मैंने जनवरी 1979 के पोर ला साइएंस के अंक में चित्रित किया था, यानी इसके ... 22 साल पहले। यह निश्चित रूप से बहुत विस्तृत विवरण और परिचय की आवश्यकता होगी। गोले को उलटना क्या मतलब है? एक गोले का अर्थ मनुष्य के लिए और गणितज्ञ-ज्यामितिज्ञ के लिए अलग-अलग है। आम आदमी के लिए, गोला तीन आयामों के अंतरिक्ष में एक बिंदु O से दूरी R पर स्थित बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित होता है। ज्यामितिज्ञ भी "गोले" शब्द का उपयोग एक विकृत गोले या एक तरह की "आलू" के लिए करता है। इन सभी अवधारणाओं को अधिक सटीक रूप से समझने के लिए, आपको लैंटुर्लु डीसी डी ले टॉपोलॉजिकॉन बैंड डेसिन के साथ लाएं। लेकिन गणितज्ञ और आगे बढ़ता है। जब किसी सतह को "नियमित" कहा जाता है, तो इसके प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्श तल परिभाषित किया जा सकता है। यह पहले से ही एक अनंत गोले के आकार में अनंत तरीकों से बदलाव की अनुमति देता है, जबकि सतह का क्षेत्रफल किसी भी हो सकता है। फिर भी, एक "भौतिक ब्रह्मांड" में, जो व्यक्ति इस गोले को बदल रहा है, उसे इसके खुद के अंदर घुसने की असंभवता का सामना करना पड़ता है। यदि इस तरह के घुसने या स्पर्श करने की अनुमति नहीं है, तो हम गोले S2 के "डुबोने" की बात करेंगे। लेकिन गणितज्ञ अपने लिए सभी अधिकार लेता है। उसके लिए गोला एक "काल्पनिक" वस्तु है जहां तलों के एक दूसरे को पार करना संभव है। नीचे दिए गए चित्रों का अनुक्रम एक ऐसे गोले को दिखाता है जो "खुद को पार कर गया है।" इस गोले के इस प्रतिनिधित्व को हम "इमर्शन" कहते हैं।
एक इमर्शन में आत्म-प्रतिच्छेदन या सेल्फ-इंटरसेक्शन का एक समुच्चय होता है (यहां एक सरल वृत्ताकार वक्र)। स्पर्श तल को निरंतर बदलना चाहिए। फिर भी, जब आप ऊपर दिए गए चित्रों को देखते हैं, तो आप देखते हैं कि इस क्रिया के द्वारा गोले के एक हिस्से (हरे रंग से दर्शाया गया) को बाहर की ओर घुमाया जा रहा है। इस तरह के उलटने को पूरा करने के लिए इस तरह के एक बेलनाकार भाग को दबाना आवश्यक होगा। यह अप्रारंभिक रूप से समस्याग्रस्त लगता है। इस दबाव से स्पर्श तल की निरंतरता खत्म हो जाएगी। इसलिए इस क्रिया में एक ऐसा चरण शामिल होगा जो "इमर्शन नहीं होगा।"
एक दिन अमेरिकी गणितज्ञ स्टीफन स्मेल ने साबित किया कि "S2 गोले की केवल एक ही इमर्शन वर्ग है।" इस रहस्यमय वाक्य का निष्कर्ष यह था कि गोले के इमर्शन के एक अनुक्रम को जोड़ा जा सकता है, जिससे मानक गोले से उसके "विपरीत बिंदु" प्रतिनिधित्व में जाया जा सकता है, जिसमें सभी बिंदु अपने विपरीत बिंदु से बदल दिए गए हों। संक्षेप में ... एक उलटा गोला, दोनों ओर। राउल बॉट स्मेल के मालिक थे। जितना शाब्दिक रूप से अपराजित स्मेल का प्रमाण लगता था, उतना ही कोई भी इस क्रिया को कैसे करेगा, इसके बारे में नहीं जानता था। बॉट निरंतर स्मेल से कहते थे, "मुझे दिखाओ कि आप इसे कैसे करना चाहते हैं," जिसके लिए स्मेल अपने प्रसिद्ध बाल के साथ जवाब देते थे, "मुझे इसके बारे में कोई आइडिया नहीं है।" बाद में स्मेल को फील्ड पुरस्कार मिला, जो गणित के लिए नोबेल पुरस्कार के बराबर है। इस बीच, आप शायद यह पूछेंगे कि नोबेल ने कभी गणित के लिए पुरस्कार क्यों नहीं बनाया। उत्तर सरल है: उसकी पत्नी एक गणितज्ञ के साथ चली गई थी।
इस स्थिति को कई वर्षों तक बनाए रखा गया, जब तक कि अमेरिकी गणितज्ञ एंथनी फिलिप्स ने 1967 में साइंटिफिक अमेरिकन में इस उलटने का पहला संस्करण प्रकाशित नहीं किया, जो भयंकर रूप से जटिल था। दूसरा संस्करण 1970 के दशक के शुरुआत में फ्रांसीसी गणितज्ञ (अंधे) बर्नार्ड मोरिन द्वारा खोजा गया। मैंने इस रूपांतरण के अनुक्रम को पहले बनाया था, जैसा कि मैंने पहले ही कहा है, यह वेबसाइट पर एक अगले लेख का विषय होगा, जो वास्तव में काफी लंबा है। हालांकि, यह हमें एक अतिरिक्त निष्कर्ष पर ले जाता है। सतहों को बहुफलकीय प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। एक घन या चतुष्फलक को गोले के बहुफलकीय प्रतिनिधित्व के रूप में लिया जा सकता है, जब तक कि इन वस्तुओं की समान टॉपोलॉजी हो। इस बिंदु पर, मेरी बीडी ले टॉपोलॉजिकॉन को देखें। इसके अलावा, यह समझ में आता है कि यदि गोले को उलटा जा सकता है, तो घन को भी उलटा जा सकता है। बर्नार्ड मोरिन द्वारा खोजी गई इस परिवर्तन विधि (जिसे मैंने 1979 के पोर ला साइएंस के जनवरी अंक में चित्रित किया था) के माध्यम से एक केंद्रीय मॉडल है। इस अनुक्रम में एक सममिति है। इसे हम "चार कानों वाला केंद्रीय मॉडल" कहते हैं। फिर से, मैं आगे बढ़ रहा हूं। लेकिन जैसे गोले को बहुफलकीय प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, उसी तरह इन परिवर्तनों के लगातार चरणों के लिए भी ऐसा हो सकता है। जो वस्तु आप मेरे लॉगिन पेज पर घूमते हुए देख रहे हैं, वह गोले के उलटने के केंद्रीय मॉडल का बहुफलकीय संस्करण है, जिसे मैंने लगभग दस साल पहले खोजा था। इन बहुफलकीय मॉडलों का लाभ यह है कि उन्हें समतल सतहों के साथ बनाया जा सकता है। आप उन्हें काटने के आधार पर भी व्यवस्थित कर सकते हैं। नीचे दिए गए चित्र को देखें (मैं इस बात के लिए मेरे मित्र क्रिस्टोफ टार्डी का आभार व्यक्त करता हूं, जिन्होंने सही आकार वाले तत्व तैयार किए हैं)।
**यह एक छोटे आकार में आपके प्रिंटर से निकलने वाला चित्र है, जिसे उपयोग नहीं किया जा सकता है। **
एक A4 पृष्ठ पर इस आकृति को प्रिंट करने के लिए आपको एक मोटे कागज A4 पर चार प्रतियां बनानी होंगी, दो पृष्ठ एक रंग में, दो पृष्ठ दूसरे रंग में।
यह एक काटने का डिजाइन है जिसकी आपको यहां एक सामान्य दृश्य मिलती है। लेकिन इसे प्रिंट करने के लिए आपको बेहतर होगा कि आप काटने के पृष्ठ पर जाएं। उसे प्रिंट करें। फिर, अपने प्रिंटर के सामान्य कागज पर प्रिंट किए गए इस नमूने के साथ एक फोटोकॉपी केंद्र पर जाएं और इस चित्र की चार प्रतियां बनाएं, दो हरे ब्रिस्टल कागज पर और दो पीले कागज पर। आप इस काटने के साथ घन के उलटने के केंद्रीय मॉडल को बना सकते हैं।
आपके काटे गए तत्वों पर आपको अक्षरों के जोड़े मिलेंगे: a, b, c, d, e, f आदि। आपको बस उन्हें एक दूसरे के साथ मि�