क्यूब के उलटने का केंद्रीय (बहुफलकीय) मॉडल
क्यूब के उलटने का केंद्रीय मॉडल
31 दिसंबर 2001
आप सभी ने शायद वेबसाइट के बाएं तरफ एक अजीब वस्तु के अनंत रूप से घूमते हुए देखा होगा। इसके बारे में क्या है?
एक दिन, जब मेरे पास समय होगा, मैं वेबसाइट पर गोले के उलटने का विवरण डालूंगा, जैसे मैंने जनवरी 1979 के अंक में "पूर ला साइएंस" में इसे चित्रित किया था, अर्थात इसके ... 22 वर्ष पहले। इसके लिए निश्चित रूप से बहुत विस्तार और परिचय की आवश्यकता होगी। गोले को उलटने का क्या अर्थ है? गोले का अर्थ आम आदमी के लिए और गणितज्ञ-ज्यामितिज्ञ के लिए अलग-अलग है। आम आदमी के लिए, यह तीन आयामों में एक बिंदु O से दूरी R पर स्थित बिंदुओं का स्थान है। ज्यामितिज्ञ भी एक "विकृत गोला" या एक तरह की "आलू" के लिए "गोला" शब्द का उपयोग करता रहेगा। इन सभी अवधारणाओं को अधिक सटीक रूप से समझने के लिए, "द टॉपोलॉजिकॉन" नामक कार्टून वाले CD Lanturlu प्राप्त करें। लेकिन गणितज्ञ और आगे बढ़ता है। जब किसी सतह को "नियमित" कहा जाता है, तो इसके प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्श तल परिभाषित किया जा सकता है। इससे पहले ही "मूल गोले" के अनंत रूप से विकृत रूप में अनंत आलू के रूप में विचार करना संभव हो जाता है, जबकि इस सतह का क्षेत्रफल किसी भी हो सकता है। फिर भी, एक "भौतिक ब्रह्मांड" में, जो व्यक्ति इस गोले को विकृत करता है, उसे इसके खुद को छेदने की असंभवता का सामना करना पड़ता है। यदि इस छेदने या भी स्पर्श करने की अनुमति नहीं है, तो हम गोले S2 के "डुबोए जाने" की बात करेंगे। लेकिन गणितज्ञ अपने लिए सभी अधिकार रखता है। उसके लिए गोला एक "काल्पनिक वस्तु" है जहां तलों के छेदने की अनुमति है। नीचे दिए गए चित्रों का अनुक्रम एक ऐसे गोले को दिखाता है जो "खुद को छेद चुका है।" इस गोले के इस प्रतिनिधित्व को हम "इमर्शन" कहते हैं।
एक इमर्शन में आत्म-प्रतिच्छेदन या सेल्फ-प्रतिच्छेदन का समुच्चय होता है (यहां एक सरल वृत्ताकार वक्र)। स्पर्श तल को निरंतर बदलना होगा। फिर भी, जब आप ऊपर दिए गए चित्रों को देखते हैं, तो आप देखते हैं कि इस क्रिया में गोले के एक हिस्से (हरे रंग से दर्शाया गया) को बाहर की ओर घुमाया जा रहा है। इस उलटने को पूरा करने के लिए इस तरह के भूमध्यरेखीय बॉडिन को दबाना आवश्यक होगा। यह अप्रारंभिक रूप से समस्याग्रस्त प्रतीत होता है। इस दबाव से स्पर्श तल की निरंतरता खत्म हो जाएगी। इसलिए इस क्रिया में एक ऐसा चरण शामिल होगा जो इमर्शन नहीं होगा।
एक दिन अमेरिकी गणितज्ञ स्टीफन स्मेल साबित कर दिया कि "S2 गोले की केवल एक इमर्शन वर्ग है।" इस रहस्यमय वाक्य का निष्कर्ष यह था कि हमें गोले के इमर्शन के एक अनुक्रम को जोड़ने की अनुमति है जिससे "मानक गोले" से उसके "विपरीत" प्रतिनिधित्व में जाया जा सके, जिसमें सभी बिंदुओं को उनके विपरीत बिंदु से बदल दिया गया हो। संक्षेप में... एक उलटा गोला, दोनों ओर। राउल बॉट स्मेल के मास्टर थे। जब तक स्मेल की शुद्ध रूप से गणितीय प्रमाण अपराजेय प्रतीत होता था, तब तक कोई भी इस कार्य को कैसे करना है, इसके बारे में नहीं जानता था। बॉट लगातार स्मेल से कहते थे, "मुझे दिखाओ कि आप इसे कैसे करेंगे," जिसके लिए स्मेल अपने प्रसिद्ध बाल के साथ जवाब देते थे, "मुझे इसके बारे में कोई आइडिया नहीं है।" स्मेल को बाद में फील्ड के पुरस्कार मिला, जो गणित के लिए नोबेल पुरस्कार के समान है। इस बीच, आप शायद यह सोचेंगे कि नोबेल ने कभी गणित के लिए पुरस्कार क्यों नहीं बनाया। उत्तर सरल है: उनकी पत्नी एक गणितज्ञ के साथ चली गई थी।
कई वर्षों तक यही स्थिति बनी रही, जब तक कि अमेरिकी गणितज्ञ एंथनी फिलिप्स ने 1967 में साइंटिफिक अमेरिकन में इस उलटने का पहला संस्करण प्रकाशित नहीं किया, जो भयानक रूप से जटिल था। दूसरा संस्करण 1970 के दशक के शुरुआत में फ्रांसीसी गणितज्ञ (अंधे) बर्नार्ड मोरिन द्वारा खोजा गया। मैंने इस रूपांतरण के अनुक्रम को पहले बनाया था, जैसा कि मैंने पहले कहा है, यह वेबसाइट पर एक अगले लेख का विषय होगा, जो बहुत विस्तृत है। फिर भी, यह हमें एक अतिरिक्त निष्कर्ष पर ले जाता है। सतहों को बहुफलकीय प्रतिनिधित्व के रूप में लिया जा सकता है। एक घन या चतुष्फलक को गोले के बहुफलकीय प्रतिनिधित्व के रूप में लिया जा सकता है, जब तक कि इन वस्तुओं की टॉपोलॉजी समान हो। इस बिंदु पर, मेरी बीडी ले टॉपोलॉजिकॉन को देखें। इसके अलावा, यह समझना संभव हो जाता है कि यदि गोले को उलटना संभव है, तो घन को भी उलटना संभव है। बर्नार्ड मोरिन द्वारा खोजी गई इस रूपांतरण क्रिया (जिसे मैंने जनवरी 1979 के "पूर ला साइएंस" लेख में चित्रित किया था) के माध्यम से एक केंद्रीय मॉडल है। इस अनुक्रम में एक सममिति है। इसे हम "चार कान वाला केंद्रीय मॉडल" कहते हैं। फिर भी, मैं आगे बढ़ रहा हूं। लेकिन जैसे गोले को बहुफलकीय प्रतिनिधित्व के रूप में लिया जा सकता है, वैसे ही इन रूपांतरणों के क्रमिक चरणों के लिए भी ऐसा हो सकता है। आपके घर के लिए घूमती हुई वस्तु वास्तव में गोले के उलटने के केंद्रीय मॉडल का बहुफलकीय संस्करण है, जिसे मैंने लगभग दस वर्ष पहले खोजा था। इन बहुफलकीय मॉडलों का लाभ यह है कि उन्हें समतल सतहों के साथ बनाया जा सकता है। आप उन्हें काटकर भी व्यवस्थित कर सकते हैं। नीचे दिए गए चित्र को देखें (इस बीच, मैं अपने मित्र क्रिस्टोफ तार्डी का आभार व्यक्त करता हूं जिन्होंने सही माप वाले तत्व तैयार किए हैं)।
यह एक छोटे आकार में आपके प्रिंटर से निकलने वाला चित्र है, जिसका उपयोग नहीं किया जा सकता है।
एक A4 कागज पर इस आकृति को प्रिंट करने के लिए आपको इसे A4 मोटे कागज पर चार बार प्रिंट करना होगा, दो शीट एक रंग की, दो शीट दूसरे रंग की।
यह एक ऐसा कटाव है जिसका आपको एक सामान्य दृश्य मिलता है। लेकिन इसे प्रिंट करने के लिए आपको बेहतर होगा कि आप कटाव के पृष्ठ पर जाएं। उसे प्रिंट करें। फिर, अपने प्रिंटर से सामान्य कागज पर प्रिंट किए गए इस उदाहरण के साथ, एक फोटोकॉपी केंद्र पर जाएं और इस चित्र की चार एक जैसी प्रतियां बनाएं, दो हरे ब्रिस्टल पर और दो पीले पर। इस कटाव के साथ, आप घन के उलटने के केंद्रीय मॉडल को बना सकते हैं।
आपके कटे हुए तत्वों पर आपके पास अक्षरों के जोड़े हैं: a, b, c, d, e, f आदि। आपको बस उन्हें एक जैसे अक्षरों को मिलाकर मोड़ना है, फिर उन फलकों को पारदर्शी टेप से जोड़ना ह