गोले का उलटना और क्लीन की बोतल का डूबना
गोले का उलटना
7 दिसंबर 2004
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प्रस्तावना।
हम इसके बाद बंद सतहों के बारे में विचार करेंगे, जैसे गोला, टोरस और कुछ अन्य। ये वे सतहें हैं जिन्हें आम आदमी के अर्थ में समझा जाता है, अर्थात वे दो आयामों के वस्तुएँ हैं जिन्हें तीन आयामों के यूक्लिडियन स्थान R3 में दर्शाया जाता है, जो हमारे चिंतन के लिए अंतर्दृष्टि के स्थान के रूप में है। इन सतहों के कई प्रकार के प्रतिनिधित्व किए जा सकते हैं। यदि वे खुद को नहीं काटती हैं, तो हम उन्हें स्थापित (R3 में) कहेंगे। यदि वे काटती हैं, तो हम प्रविष्टि के बारे में बात करेंगे और इस कटाव का अर्थ होगा एक स्व-अंतर्विष्ट समुच्चय (self-intersection) की उपस्थिति।
हमारे स्थापनाओं में हम मानते हैं कि स्पर्श तल निरंतर बदलता है और सतह विशिष्टताओं के उदाहरण है, जैसे शंकु के शीर्ष के रूप में हो सकता है। हमारी सतहें नियमित होंगी।
प्रविष्टि के मामले में, हम इस बात की आवश्यकता करेंगे कि स्व-अंतर्विष्ट रेखाओं के अनुदिश एक दूसरे को काटने वाली दो तलों के स्पर्श तल भिन्न हों।
गणितज्ञ के द्वारा समझे गए ज्यामिति का दुनिया भौतिक दुनिया से बहुत अलग है। सतहों के खुद को पार करने के तथ्य से उन्हें कोई बाधा नहीं होती है। भौतिक दुनिया ऐसी चीज की अनुमति नहीं देती है। लेकिन यह मेटाफिजिकल दुनिया में संभव हो जाता है। इसलिए बाइबिल में पढ़ा जाता है कि जब मृत लोग पुनर्जीवित होंगे, तो उन्हें "महिमामय शरीर" के रूप में होना होगा। उन्हें अब किसी भी चीज के माध्यम से गुजरने में सक्षम होना होगा और सिद्धांत रूप में उन्हें खुद को भी पार करने में सक्षम होना होगा। इसलिए, जब अंतिम न्याय का समय आएगा, यदि आप रोम में महिमामय शरीर के रूप में घूम रहे हैं, आप भटक गए हैं और आप पाया नावोना खोज रहे हैं, तो आप एक अन्य पुनर्जीवित मनुष्य से रास्ता पूछने के लिए प्रेरित हो सकते हैं, जिसका आकार आपके समान है। मान लीजिए कि आपके जिस व्यक्ति से आप पूछ रहे हैं, वह उस स्थान के विपरीत दिशा में जा रहा है। भौतिक अंतरिक्ष में, आपको सही रास्ता दिखाने के लिए उसे अपने आप को घुमाना होगा ताकि उसकी उंगली उस दिशा में इशारा करे। लेकिन यदि वह महिमामय शरीर के रूप में चल रहा है, तो इस घूर्णन की आवश्यकता नहीं होगी। वह अपनी उंगली को अपने पेट में इशारा कर सकता है और खुद को पार कर सकता है। जब उसका हाथ अपनी पीठ से बाहर निकलेगा, तो उसे आपको कहने के लिए बस यह कहना होगा, "वहाँ से होकर जाइए।" अपने पेट में अपना हाथ धकेलने से उसके शरीर के आवरण में दो वृत्तों का एक स्व-अंतर्विष्ट समुच्चय बन जाएगा, जो जब वह अपनी सामान्य व्यवस्था में लौटेगा, तो गायब हो जाएगा।
यदि कोई मनुष्य मुँह बंद कर ले, नाक को बाँध दे ताकि वह बंद हो जाए और उसके अन्य प्राकृतिक छेदों को अनदेखा कर दिया जाए, तो उसका शरीर का आवरण S2 गोले के टोपोलॉजी को अपनाता है। मान लीजिए कि एक पुनर्जीवित व्यक्ति ऐसे छेदों के साथ महिमामय शरीर के रूप में है। हम जानते हैं कि वह खुद को पार कर सकता है, अर्थात उसका शरीर का आवरण एक स्थापना स्थिति से एक प्रविष्टि स्थिति में जा सकता है। इस तरह की आध्यात्मिक समस्या उठी कि क्या एक महिमामय शरीर में पुनर्जीवित व्यक्ति बिना झुर्रियों के अपने आप को उलट सकता है।
थोड़ा सा नोट। जादूगर जादुई "वृत्तों" का उपयोग करते हैं जो "जादुई तरीके से" एक दूसरे में घुस सकते हैं। हम इस तरह के एक "जादुई जाल" के उपयोग से सतहों का प्रतिनिधित्व करने की कल्पना कर सकते हैं जहाँ दो तल, जिन्हें यहाँ काले और गुलाबी रंग में दर्शाया गया है, आसानी से एक दूसरे को पार कर सकते हैं।
जादुई जाल
हालांकि, हमें स्वीकार करना होगा कि गणित और जादू में अक्सर बहुत अंतर नहीं होता है। मैंने लगभग बीस वर्ष पहले एक कार्टून बनाया था: द टॉपोलॉजिकॉन। यह अब बिक्री के लिए उपलब्ध नहीं है और एक संग्रह के रूप में छोड़ दिया गया है। एक पृष्ठ पर हम इस तरह की चीज देख सकते थे:
बेलिन प्रकाशन ने इस संग्रह को छोड़ने का निर्णय लेना बहुत दुखद है। यह कहना चाहिए कि जब उत्पादन