गोले का उलटना और क्लीन की बोतल का डूबना

गोले का उलटना

7 दिसंबर 2004

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प्रस्तावना।

हम इसके बाद बंद सतहों, जैसे गोला, टोरस और कुछ अन्य के बारे में विचार करेंगे। ये वे सतहें हैं जिन्हें आम आदमी के अर्थ में समझा जाता है, अर्थात ये दो आयामों के वस्तुएँ हैं जिन्हें तीन आयामों के यूक्लिडियन स्थान R3 में दर्शाया जाता है, जो हमारे चिंतन के लिए एक मानसिक स्थान है। इन सतहों के कई प्रकार के प्रतिनिधित्व हो सकते हैं। यदि वे खुद को नहीं काटती हैं, तो हम उन्हें स्थापित (R3 में) कहेंगे। यदि वे एक दूसरे को काटती हैं, तो हम प्रवेश के बारे में बात करेंगे और इस काटने को एक स्व-अंतर्विरोधी समुच्चय (self-intersection) के रूप में दर्शाया जाएगा।

हमारे स्थापन में हम मान लेंगे कि स्पर्श तल निरंतर बदलता है और सतह में विचलन जैसे शीर्ष एक शंकु के जैसे नहीं होगा। हमारी सतहें नियमित होंगी।

प्रवेश के मामले में, हम इस बात की आवश्यकता करेंगे कि स्व-अंतर्विरोधी रेखाओं के अनुदिश एक दूसरे को काटने वाली दोनों सतहों के स्पर्श तल भिन्न हों।

गणितज्ञ के द्वारा धारण किए गए ज्यामिति का विश्व भौतिक विश्व से काफी अलग है। यह तथ्य कि सतहें अपने आप को काट सकती हैं, उसे कोई बाधा नहीं बनता है। भौतिक विश्व ऐसी चीज की अनुमति नहीं देता है। लेकिन यह मेटाफिजिकल विश्व में संभव हो जाता है। इसलिए बाइबिल में पढ़ा जाता है कि जब मृत लोग पुनर्जीवित होंगे, तो वे "महिमामय शरीर" के रूप में होंगे। उन्हें किसी भी चीज के माध्यम से गुजरने की अनुमति होगी और सिद्धांत रूप में वे अपने आप को भी काट सकते हैं। इसलिए, जब अंतिम न्याय का समय आए, यदि आप महिमामय शरीर के रूप में रोम में घूम रहे हैं, आप भटक गए हैं और आप पाया नवोना की खोज कर रहे हैं, तो आप अपना रास्ता एक अन्य पुनर्जीवित मनुष्य से पूछने के लिए प्रेरित हो सकते हैं, जिसका रूप आपके समान है। मान लीजिए कि आप जिस व्यक्ति से पूछ रहे हैं, वह उस स्थान के विपरीत दिशा में जा रहा है। सामान्य भौतिक अंतरिक्ष में, आपको सही दिशा दिखाने के लिए उसे अपने आप को घुमाना होगा ताकि उसकी उंगली उस दिशा में इशारा करे। लेकिन यदि वह महिमामय शरीर के रूप में चल रहा है, तो इस घूमने की आवश्यकता नहीं होगी। वह अपनी उंगली को अपने नाभि पर इशारा कर सकता है और अपने आप को काट सकता है। जब उसका हाथ अपनी पीठ से बाहर आएगा, तो उसे आपको कहना बचेगा "वहाँ से जाएँ।" अपने पेट के माध्यम से अपना हाथ धकेलने से उसने अपने शरीर के आवरण में दो वृत्तों के रूप में स्व-अंतर्विरोधी समुच्चय का निर्माण कर लिया होगा, जो जब वह अपनी सामान्य रूप में वापस आएगा तो गायब हो जाएगा।

यदि कोई मानव अपना मुँह बंद कर ले, नाकों पर एक बिल्ली के लिए बाँध दे ताकि वे बंद हो जाएँ और उसके अन्य प्राकृतिक छेदों को अनदेखा कर दिया जाए, तो उसका शरीर का आवरण S2 गोले के टोपोलॉजी को अपना लेगा। मान लीजिए कि एक पुनर्जीवित व्यक्ति इस महिमामय शरीर के रूप में है जिसके प्राकृतिक छेद बंद हैं। हम जानते हैं कि वह अपने आप को काट सकता है, अर्थात उसका शरीर का आवरण एक स्थापन स्थिति से एक प्रवेश स्थिति में जा सकता है। इस तरह के एक आध्यात्मिक समस्या उठी जो यह जानने के लिए थी कि क्या एक पुनर्जीवित व्यक्ति महिमामय शरीर के रूप में अपने आप को उलट सकता है बिना झुकाव के।

एक छोटी टिप्पणी। जादूगर जादुई "वृत्तों" का उपयोग करते हैं जो जादुई तरीके से एक दूसरे को छेद सकते हैं। हम इस तरह के एक "जादुई जाल" के उपयोग से सतहों का प्रतिनिधित्व करने की कल्पना कर सकते हैं जहाँ दो चादरें, जिन्हें यहाँ काले और गुलाबी रंग में दर्शाया गया है, बिना किसी कठिनाई के एक दूसरे को काट सकती हैं।

जादुई जाल

हालांकि, हमें स्वीकार करना होगा कि गणित और जादू में अक्सर बहुत अंतर नहीं होता है। मैंने लगभग बीस वर्ष पहले एक कार्टून बनाया था: टॉपोलॉजिकॉन। यह अब बिक्री के लिए उपलब्ध नहीं है और एक संग्रह के रूप में छोड़ दिया गया है। एक पृष्ठ पर यह देखा जा सकता है:

बहुत दुख की बात है कि बेलिन प्रकाशन ने इस संग्रह को छोड़ देने का फैसला किया। इसके लिए उत्पादन लागत लगभग एक यूरो से अधिक नहीं थी, और इसे 13 यूरो (पोस्ट के साथ) बेचना, जो डिजिटल विक्रय के माध्यम से होता है, एक लाभ मार्जिन के रूप में 12 यूरो देता है, अर्थात विक्रय मूल्य के 92 प्रतिशत से अधिक लाभ, जो वास्तव में एक बहुत अस्पष्ट व्यावसायिक रणनीति थी, खासकर काले-सफेद के लिए।

R3 में स्थापित S2 गोले पर विचार करें। हम मान लेते हैं कि इसकी बाहरी सतह धूप रंग की है और आंतरिक भाग पुराने गुलाबी रंग का है। हम दो विपरीत बिंदुओं पर दबा सकते हैं, जिन्हें हम इच्छानुसार "उत्तरी ध्रुव" और "दक्षिणी ध्रुव" कहेंगे, जब तक कि वे एक बिंदु पर स्पर्श नहीं करते। इसे एक बिस्कुट के साथ किया जा सकता है। जब गणितीय बिस्कुट की बात आती है (हमें नहीं पता कि क्या बिस्कुट भी महिमामय शरीर के रूप में पुनर्जीवित होते हैं या नहीं), तो दोनों ध्रुवीय क्षेत्र, एक बिंदु पर स्पर्श करने के बाद, एक स्व-अंतर्विरोधी वक्र के रूप में एक दूसरे को काट सकते हैं जो एक वृत्त के आकार का होता है। इसके आगे बताया जाएगा कि इस सतह ने डीओ प्रकार की आपदा झेली है।

फिर भी, आप बिस्कुट, गोला को उलटने की कोशिश करने के लिए प्रेरित हो सकते हैं, इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए। लेकिन तब एक गुंजाइश बन जाएगी, जो एक बुरी झुकाव में बदल जाएगी, या अधिक सटीक रूप से एक उलटी सतह (चित्र d)।

1950 के दशक के अंत में, यह गंभीर सवाल कि क्या मेटाफिजिकल बिस्कुट को बिना किसी झुकाव के उलटा जा सकता है, अनिर्णित रहा। ईमानदारी से कहें तो, सभी लोग मानते थे कि यह बिल्कुल असंभव था। लेकिन 1957 में एक गणितज्ञ, स्टीफन स्मेल (जिन्हें अन्य कार्य के लिए फील्ड पुरस्कार मिला था), दिखाया कि S2 गोले के R3 में विभिन्न प्रवेश एक एकल समुच्चय बनाते हैं और हमेशा एक निरंतर प्रवेश बदलाव के अनुक्रम (जिसे नियमित होमोटोपी भी कहा जाता है) का पता लगाना संभव है जो एक स्थिति से दूसरी स्थिति में जाने की अनुमति देता है। निष्कर्ष यह था कि हमें नियमित प्रवेश के अनुक्रम के माध्यम से सामान्य S2 गोले के स्थापन से विपरीत स्थापन तक जाने की अनुमति होनी चाहिए। सरल शब्दों में कहें तो: हमें बिना झुकाव के गोले को उलटने की अनुमति देनी चाहिए, बशर्ते उसे अपने आप को उलटने की अनुमति दी जाए।

स्मेल के मास्टर का नाम राउल बॉट था। उन्होंने अपने छात्र से पूछा कि इसे कैसे करन