गोले का उलटना

गोले का उलटना

7 दिसंबर 2004

पृष्ठ 3

मूल आपदाएँ।

हमने पहले ही कहा था कि हम जिन अंतर्कल्पनाओं के बारे में बात कर रहे थे, उनमें स्पर्श तल उनके आत्म-प्रतिच्छेदन समुच्चय के अनुदिश अलग-अलग रहते थे, जब उनमें आत्म-प्रतिच्छेदन होते थे। ऐसी स्थिति में चार मूल आपदाओं के माध्यम से एक अंतर्कल्पना से दूसरी अंतर्कल्पना में जाना संभव है। मॉरिन ने इन आपदाओं के नाम दिए थे, जो नीचे दिए गए चित्रों में दिखाए गए हैं। पहली आपदा एक बंद वक्र के निर्माण के लिए जिम्मेदार है (और उसके विनाश के लिए, जो विपरीत क्रिया है)। यह तब होता है जब आप अपने कोहनी को एक बाल्टी में पानी में डालते हैं ताकि उसका तापमान जांच सकें (बाएं ओर)। चित्र a4: सतहें एक बिंदु पर स्पर्श करती हैं। a5 में आत्म-प्रतिच्छेदन की वक्र का निर्माण हुआ है। आगे के पाठ में हम इस क्रिया को "कोहनी की आपदा" कहेंगे।

"कोहनी की आपदा": एक बंद वक्र का निर्माण और विनाश

दूसरी आपदा "मंडरिन के टुकड़े" की है:

"मंडरिन के टुकड़े" के निर्माण-विनाश की आपदा

यदि आप इन चित्रों को ध्यान से देखें, तो बाएं से दाएं देखने पर आप देखेंगे कि एक परवलयिक बेलन एक द्विपृष्ठ के पास आता है। आत्म-प्रतिच्छेदन समुच्चय दो अलग-अलग परवलयाकार वक्रों से बना है, जो अधिक स्पष्ट रूप से द्विपृष्ठ के किनारे के साथ बना है। बीच के चित्र में द्विपृष्ठ का किनारा बेलन की एक जनक रेखा के स्पर्श करता है। यह किनारा उस बिंदु पर बेलन के स्पर्श करता है। आत्म-प्रतिच्छेदन समुच्चय दो परवलयाकार वक्रों से बना है, जो एक बिंदु पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं और द्विपृष्ठ के किनारे के साथ बने हैं। दाएं चित्र में: परवलयिक बेलन अपना गति जारी रखता है। आत्म-प्रतिच्छेदन वक्र बदल गया है। यह द्विपृष्ठ के किनारे और परवलयाकार वक्रों से बना है, जो द्विपृष्ठ के किनारे पर दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। इसे विपरीत रूप से भी देखा जा सकता है: परवलयिक बेलन स्थिर है और दो "कटाई के समतल" गति कर रहे हैं। दाएं चित्र दो कुल्हाड़ी के मारे या दो दांतों वाले चाकू से काटे गए टुकड़े की तरह दिखता है। छल्ले को भी दिखाया गया है। मॉरिन ने इसे एक "मंडरिन के टुकड़े" के समान बताया, जो एक बहुत ही स्पष्ट छवि है।

तीसरी आपदा "पैंट की आपदा" है।

"पैंट की आपदा"

चित्र बहुत स्पष्ट हैं। आप बाएं से दाएं एक पैंट को पानी में उतार रहे हैं। बाएं ओर पक्षी जांघों के बीच से नीचे जाता है, लेकिन मछली एक जांघ में ही बंद है। दाएं ओर मछली निकल जाती है, लेकिन पक्षी के लिए जाने वाला रास्ता गायब हो गया है। बीच में मध्यवर्ती स्थिति। महत्वपूर्ण बात यह है कि प्रतिच्छेदन वक्र में स्थानीय रूप से परिवर्तन होता है, जो एक "सर्जरी" कहलाता है, जिसमें वक्र के चापों के जुड़ाव में बदलाव आता है। इस परिवर्तन को अच्छी तरह समझने की कोशिश करें, क्योंकि यह गोले के उलटने के अनुकूलन में सबसे कठिन और देखने में भी सबसे कठिन वाला होगा। इस आपदा के बारे में ध्यान रखें कि यह एक रास्ते को बंद करती है और उसके लंबवत दिशा में दूसरा रास्ता खोलती है।

चौथी और अंतिम आपदा "एक चतुष्फलक के उलटने" की है:

चतुष्फलक के उलटने वाली आपदा

आत्म-प्रतिच्छेदन वक्र चार "रेखाओं" से बना है, जो एक चतुष्फलक के चारों किनारों के विस्तार हैं। बाएं चित्र में हमने इस चतुष्फलक को अलग कर दिया है, जिसके ग्रे चेहरे बाहर की ओर दिखाई दे रहे हैं। दाएं ओर, विपरीत है: चेहरे गुलाबी हैं। बीच में मध्यवर्ती स्थिति: चतुष्फलक एक बिंदु Q (चारों तलों के प्रतिच्छेदन पर चतुष्प्रतिच्छेदन बिंदु) में सिकुड़ गया है।

इन चार आपदाओं के सहारे हम एक गोले को लगातार अंतर्कल्पनाओं के एक अनुक्रम के माध्यम से उलटने की योजना बनाएंगे। यह विकल्प अंधे गणितज्ञ बर्नार्ड मॉरिन के द्वारा विकसित किया गया था। हमारी मुलाकात की कहानी बहुत दिलचस्प है। एक दिन विश्वविद्यालय के भाषा विभाग के एक तकनीशियन ने मुझसे ज्यामिति पर व्याख्यान देने वाले वक्ता के साथ अपने ड्राइंग कौशल का उपयोग करने के लिए कहा। मैं बिना किसी संदेह के उस बैठक में आया। मैं हमेशा अंतरिक्ष में वस्तुओं को देखने में काफी कुशल रहा हूं, और जब हमारे उच्च गणित के प्रोफेसर ने हमें एक विवरणात्मक ज्यामिति के समस्या के साथ काम करने के लिए कहा, तो मैं छेद की रेखा बनाता और उसी समय परिप्रेक्ष्य दृश्य प्रदान करता था, जबकि वह अपना विवरण तैयार करते थे। लेकिन इस बार स्थिति बिल्कुल अलग हो गई।

मुझे ऊपर दिए गए चित्रों को ड्राइंग करने में कोई कठिनाई नहीं हुई। लेकिन जब गोले के उलटने के एक आरेख में इन्हें शामिल करना था, तो मैं पूरी तरह से भ्रमित हो गया, जब मैं एक दूसरे के पीछे रखे हुए तलों के एक पूरे समूह के सामने आया। बहुत गुस्से में मैं उस अजीब व्यक्ति के पास लौटा, जो भले ही आंखों से बहुत अंधा था, लेकिन आकृतियों के विस्तार में मुझसे ज्यादा आराम से था। उसके कक्षाओं में मैं कई महीनों तक रहा। संवाद बहुत जटिल था। उसके पास केवल शब्दों का ही उपयोग करने का आधार था। मेरे पास या तो उसे मेरे ड्राइंग का वर्णन करना था, या घर लौटकर बनाई गई मॉडल या बाद में स्थान पर बनाई गई मॉडल उसके हाथों में रखना था। इन संवादों को रिकॉर्ड करना बहुत आवश्यक था, जो बहुत ही असंभव लगते थे, जैसे:

- कोशिश करो कि दो वक्र ऐसे मिलें जैसे अंडे फेंटने के लिए एक फ़ूट बने।

इस व्यक्ति की कठिन व्यक्तित्व के बावजूद, ये मुलाकातें मेरे लिए अमूल्य रहीं। मैं अंततः अपने काम की बैठक से पहले दो एस्पिरिन लेने की आदत डाल ली। उसके चरित्र को उसकी पत्नी द्वारा दिए गए उपनाम "बरकत वाली बिजली" के रूप में संक्षेप में बताया जा सकता है, जो हर्गे की कार्टून कहानी "टिंटिन तिब्बत में" का पात्र है। मॉरिन की बदले की भावनाएं बहुत लोकप्रिय और अपरिवर्तनीय थीं। उन्हें कभी-कभी उनके दुश्मनों के बारे में बात करते हुए कहते थे, जो मर चुके थे, और कहते थे:

- कभी-कभी मैं उन्हें आखिरी दुनिया में एक छोटा सा शाप देता हूं, जब मैं सोचता हूं कि अगर यह उन्हें दर्द नहीं देता, तो कम से कम यह उन्हें अच्छा नहीं कर सकता।

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