गोले का उलटना

गोले का उलटना

7 दिसंबर 2004

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मूल आपदाएँ

हमने पहले ही कहा था कि हम जिन अंतर्कल्पनाओं के बारे में बात कर रहे हैं, उनमें उनके स्पर्श समतल उनके आत्म-प्रतिच्छेदन समुच्चय के अनुदिश, जब वे मौजूद हों, एक-दूसरे से अलग रहते हैं। ऐसी स्थिति में चार मूल आपदाओं के माध्यम से एक अंतर्कल्पना से दूसरी अंतर्कल्पना में जाना संभव है। मॉरिन ने इनके नाम दिए थे, जो नीचे दिए गए चित्रों में दर्शाए गए हैं। पहली आपदा एक बंद वक्र के निर्माण के लिए जिम्मेदार है (और उसके विनाश के लिए, जो विपरीत क्रिया है)। यह तब होता है जब आप एक बाल्टी में अपने कोहनी को पानी में डालते हैं ताकि उसका तापमान जांच सकें (बाएं ओर)। चित्र a4: सतहें एक बिंदु पर स्पर्श कर रही हैं। a5 में आत्म-प्रतिच्छेदन का वक्र बन गया है। आगे के पाठ में हम इस क्रिया को "कोहनी की आपदा" कहेंगे।

"कोहनी की आपदा": एक बंद वक्र का निर्माण-विनाश

दूसरी आपदा "मंडरिन के टुकड़े" की है:

एक "मंडरिन के टुकड़े" के निर्माण-विनाश की आपदा

अगर आप इन चित्रों को बाएं से दाएं देखें, तो आप देखेंगे कि एक परवलयाकार बेलन एक द्विपृष्ठ के पास आ रहा है। आत्म-प्रतिच्छेदन समुच्चय दो अलग-अलग परवलयाकार वक्रों से बना है, और स्पष्ट रूप से द्विपृष्ठ के किनारे से बना है। बीच के चित्र में द्विपृष्ठ का किनारा बेलन की एक जनक रेखा के स्पर्श कर रहा है। इस बिंदु पर किनारा बेलन के स्पर्श कर रहा है। आत्म-प्रतिच्छेदन समुच्चय दो परवलयाकार वक्रों से बना है, जो एक बिंदु पर स्पर्श करते हैं और द्विपृष्ठ के किनारे से बने हैं। दाएं चित्र: परवलयाकार बेलन अपनी गति जारी रखता है। आत्म-प्रतिच्छेदन वक्र परिवर्तित हो गया है। इसे द्विपृष्ठ के किनारे और दो परवलयाकार वक्रों से बना है, जो द्विपृष्ठ के किनारे पर दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेदन करते हैं। इसे विपरीत तरीके से भी देखा जा सकता है: परवलयाकार बेलन स्थिर है और दो "काटने के समतल" गति कर रहे हैं। दाएं चित्र दो कुल्हाड़ी के विभाजन या दो दाँतों वाले चाकू से काटने की तरह दिखता है। छल्ला भी दर्शाया गया है। मॉरिन ने इसे एक "मंडरिन के टुकड़े" से तुलना की, जो एक बहुत ही स्पष्ट छवि है।

तीसरी आपदा "पैंट की आपदा" है।

"पैंट की आपदा"

चित्र बहुत स्पष्ट हैं। आप बाएं से दाएं एक पैंट को पानी में उतार रहे हैं। बाएं ओर पक्षी पैंट के नीचे से गुजरता है, लेकिन मछली एक पैंट की लंबाई में ही रहती है। दाएं ओर मछली गुजरती है, लेकिन पक्षी जो रास्ता लेता था, वह गायब हो गया है। बीच में मध्यवर्ती स्थिति। महत्वपूर्ण बात यह है कि प्रतिच्छेदन वक्र का स्थानिक परिवर्तन होता है, जो एक "सर्जरी" कहलाता है, जिसमें वक्र के चापों के जुड़ाव में परिवर्तन होता है। इस परिवर्तन को अच्छी तरह समझने की कोशिश करें, क्योंकि यह गोले के उलटने के अनुक्रम में सबसे कठिन और देखने में भी सबसे कठिन होगा। यह ध्यान रखें कि यह आपदा एक रास्ते को बंद करती है और उसके लंबवत दिशा में दूसरा रास्ता खोलती है।

चौथी और अंतिम आपदा "एक चतुष्फलक के उलटने" की है:

चतुष्फलक के उलटने की आपदा

आत्म-प्रतिच्छेदन वक्र चार "रेखाओं" से बना है, जो एक चतुष्फलक के चारों भुजाओं के बढ़ाए गए भाग हैं। बाएं चित्र में हमने इस चतुष्फलक को अलग कर दिया है, जो अपने ग्रे चेहरे बाहर की ओर दिखा रहा है। दाएं ओर विपरीत है: चेहरे गुलाबी हैं। बीच में मध्यवर्ती स्थिति: चतुष्फलक एक बिंदु Q में सिकुड़ गया है (चार बार अतिच्छेदन के कारण, क्योंकि यह चार चादरों के प्रतिच्छेदन पर है)।

इन चार आपदाओं के माध्यम से हम एक लगातार अंतर्कल्पनाओं के अनुक्रम के माध्यम से एक गोले को उलटने की योजना बनाएंगे। यह विकल्प अंधे गणितज्ञ बर्नार्ड मॉरिन के द्वारा दिया गया था। हमारी मुलाकात कहानी के लायक है। एक दिन विभाग के एक तकनीशियन ने मुझे एक ज्यामिति पर व्याख्यान देने वाले वक्ता के लिए अपने ड्राइंग कौशल का उपयोग करने के लिए कहा। मैं इस मुलाकात के लिए बिल्कुल बिना संदेह के आया। मैं हमेशा अंतरिक्ष में वस्तुओं को देखने में काफी कुशल रहा हूँ, और जब हमारे उच्च गणित के शिक्षक ने हमें ज्यामितीय विवरण के एक समस्या को हल करने के लिए कहा तो मैं अंतर्कल्पन बनाता और उसी समय परिप्रेक्ष्य में दृश्य बनाता, जबकि वह अपना विवरण प्रस्तुत करते थे। लेकिन इस बार काम अलग तरीके से होने वाला था।

मैं ऊपर दिए गए चित्रों को बनाने में कोई कठिनाई नहीं महसूस की। लेकिन जब गोले के उलटने के एक आरेख में उन्हें शामिल करना था, तो मैं पूरी तरह से भ्रमित हो गया, जब एक दूसरे के पीछे रखी चादरों के पूरे समुच्चय के सामने आया। बहुत घबराया हुआ मैं उस अजीब व्यक्ति के पास लौटा, जो आंखों से वंचित होने के बावजूद इन आकृतियों के विस्तार में मुझसे अधिक सहज महसूस कर रहा था। फिर मैंने कई महीनों तक उसके पाठ लिए। संवाद बहुत जटिल था। उसके पास केवल शब्दों पर निर्भर रहना था। मेरे पास या तो अपने ड्राइंग का वर्णन करना था, या घर आकर या बाद में स्थान पर बनाई गई मॉडल उसके हाथों में रखना था। इन संवादों को रिकॉर्ड करना चाहिए था, जो बिल्कुल असंभव लगते थे, जैसे:

- कोशिश करो कि दो वक्र एक ऐसे फोड़े के रूप में मिलें, जिसे अंडे फेंटने के लिए उपयोग किया जाता है।

इस व्यक्ति की कठिन व्यक्तित्व के बावजूद ये मुलाकातें मेरे लिए अमूल्य रहीं। मैं आखिरकार अपनी कार्य बैठकों से पहले दो एस्पिरिन लेने की आदत डाल ली, बचाव के लिए। उसके चरित्र को उसकी पत्नी द्वारा दिए गए उपनाम से संक्षेप में वर्णित किया जा सकता है: "आशीर्वादित बिजली", जो हर्गे की कार्टून कहानी "टिंटिन तिब्बत में" का चरित्र है। मॉरिन की दुश्मनी भी इतनी लोकप्रिय और अपरिवर्तनीय थी। उसे कभी-कभी अपने कुछ शत्रुओं के बारे में बात करते हुए उन्हें जीवित नहीं रहने के बाद भी कहता:

- कभी-कभी मैं उन्हें आगे के जीवन में एक छोटी सी शाप देता हूँ, जब मैं सोचता हूँ कि अगर यह उन्हें दुख नहीं पहुँचाता, तो कम से कम यह उन्हें कुछ अच्छा नहीं कर सकता।

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