गणितीय आपदा के गोले का उलटना

गोले का उलटना

8 दिसंबर 2004

पृष्ठ 4

बर्नार्ड मोरिन की रूपरेखा

1979 में बी. मोरिन और जे.पी. पिट के लेख का पीडीएफ संस्करण डाउनलोड करने के लिए

गोले का उलटना (2.8 मेगाबाइट)

हम एक गोले से शुरू करते हैं जिसका ग्रे रंग का भाग बाहर की ओर है और गुलाबी रंग का भाग अंदर की ओर है। बी और सी में हम इसके ध्रुवों को स्पर्श करते हैं। फिर नैप्स एक "कोहनी की आपदा" के अनुसार एक-दूसरे में घुसते हैं। एक बंद वक्र का निर्माण होता है जो आत्म-प्रतिच्छेदन करता है। नीचे और दाईं ओर तीन आधे काटे इस प्राप्त व्यवस्था को बेहतर समझने में मदद करते हैं। इस चरण में गोला एक वृत्ताकार "पंखा" जैसा दिखता है, जिसमें एक "बॉडिन" और एक डबल दीवार वाला "फर्श" होता है।

पहला चरण: एक "कोहनी की आपदा"। आत्म-प्रतिच्छेदन वाले बंद वक्र का निर्माण

दूसरी संक्रिया: नई कोहनी की आपदा, दूसरे बंद वक्र का निर्माण।

दूसरा आत्म-प्रतिच्छेदन वाला बंद वक्र का निर्माण।

इसके लिए "पंखा" को घुमाकर एक घूर्णन गति के साथ मोड़ा गया, जिससे बॉडिन के दो विपरीत हिस्सों को स्पर्श करने में सफलता मिली। नीचे दी गई छवि दो आपदाओं के परिणामस्वरूप बनी "मंडारिन के टुकड़ों" के निर्माण का परिणाम है।

दो "मंडारिन के टुकड़ों" के निर्माण के बाद

बाईं ओर हमने मॉडल में कटाव किए हैं। केंद्र में दो सिलेंडरों के अंतर्स्थापन का तरीका दिखाया गया है, जिनकी स्थानीय काट ग्रीक अक्षर "गामा" के आकार को प्रभावित करती है। हम याद करते हैं कि "मंडारिन के टुकड़ों" के निर्माण की आपदा एक "लकड़ी" को दो ऐसे समतलों से काटकर होती है जो एक द्विमात्रिक कोण बनाते हैं। प्रत्येक बेलनाकार संरचना जिसका काट गामा के आकार का है, उसमें गोलाकार काट और द्विमात्रिक कोण दोनों शामिल होते हैं। छवि i को ध्यान से देखें। j में हमने पूर्ण आत्म-प्रतिच्छेदन संरचना बनाई है। सबसे बड़ा बंद वक्र उस पहली "कोहनी की आपदा" से आता है जिसने गोले को "पंखा" में बदल दिया था। मंडारिन के दो टुकड़ों के निर्माण के बाद हमें एक अधिक जटिल संरचना मिलती है जिसका j एक उपसंहति है। j" में देखा जा सकता है कि इस संरचना को एक चतुष्फलक के दो असंलग्न किनारों पर जोड़े गए दो "मंडारिन के टुकड़ों" के जैसा माना जा सकता है।

जब मैं एनिमेशन बना पाऊंगा तो यह सब बहुत आसान हो जाएगा। तकनीकी दृष्टिकोण से मुझे कोई समस्या नहीं है। यह सिर्फ समय की बात है। बहुत कम लोग हैं जो अंतरिक्ष में देख सकते हैं, अर्थात रेखाओं, बिंदुओं, रंगों, छायाओं और प्रतिबिंबों के उपयोग से बने कोड को पढ़ सकते हैं और भी उनके मन में गति के सुझाव के आधार पर रूपांतरणों को जोड़ सकते हैं। मुझे आशा है कि एक दिन मुझे इन सभी चीजों को करने का समय मिलेगा। इस बीच ध्यान दें कि हम बहुफलक मॉडलों का उपयोग कर सकते हैं, जैसा कि मैंने किया था जब मैंने दिखाया था कि एक क्रॉसकैप को बॉय की सतह में कैसे बदला जा सकता है। यही भविष्य है। लेकिन इन मॉडलों को खोजना होगा। आगे आप बर्नार्ड मोरिन द्वारा कल्पित इस रूपांतरण के मुख्य मॉडल की अनुकूलित बहुफलक रूपरेखा और एक काटे जाने वाले कागज से इसे खुद बनाने के तरीके को देखेंगे।

मैंने इन चीजों को अधिक आगे क्यों नहीं बढ़ाया? मैं कहूंगा: कारण कम अवसरों के कारण। ऐसे कार्यों को प्रकाशित करने के लिए कोई गणितीय पत्रिका नहीं है। हमने 1975-78 में पेरिस की एकेडमी डी साइएंस के कॉम्प्ट रेंडूस में कुछ नोट्स के माध्यम से इसे कर लिया था, जो शायद बहुत लोगों ने पढ़ा होगा। लेकिन यह इसलिए हुआ क्योंकि एकेडमिशियन एंड्रे लिचनरोविच इन कार्यों में व्यक्तिगत रूप से रुचि रखते थे। वे अब नहीं हैं। चूंकि ये कार्य 1975 में पूर्ण रूप से पूर्ण हो गए थे, तो मेरे ड्राइंग्स से एनिमेशन फिल्म बनाना उचित था। चूंकि मैं एनिमेशन ड्राइंग में काम कर चुका था, मैं इस उद्यम को संयोजित करने में सक्षम था। लेकिन सीएनआरएस में वित्तपोषण खोजना असंभव था, और अंततः अमेरिकी गणितज्ञ नेल्सन मैक्स ने मेरे सहकर्मी चार्ल्स प्यू के निर्मित मॉडलों पर आधारित एक शक्तिशाली कंप्यूटर का उपयोग करके पहली फिल्म बनाई। लेकिन यह न तो पहली, न ही आखिरी बार थी जब फ्रांसीसी लोगों के प्रयासों को कोई प्रतिक्रिया नहीं मिली और वे बेहतर संगठित और बेहतर समर्थित विदेशी सहकर्मियों द्वारा आगे बढ़ गए।

अब हम तीसरे चरण पर जाते हैं, जो समझने में सबसे कठिन है।

दो "पैंट्स की आपदा" की तैयारी

चित्र के में अच्छी तरह से दो "पैंट्स के पैर" दिखाई देते हैं, जिनका विवरण एक अग्रभूमि के' में दिखाया गया है। सफेद तीर "पैंट्स के बीच के रास्ते" को दर्शाता है। यह रूपांतर वास्तव में समझने में कठिन है। मैंने बेहतर समझ के लिए चित्र एम जोड़ा है। एल में मैंने बिंदुकृत रेखा के द्वारा आत्म-प्रतिच्छेदन वक्र का चित्रण किया है, जो एल' में पूर्ण रूप से दिखाई देता है। एक पारगमन (जो सफेद तीर द्वारा लिया गया है) बंद हो जाएगा। इस बंद होने की गति के साथ एक हिस्सा वक्र के प्रतिच्छेदन के ऊपर दो स्थानों पर बढ़ेगा। ये वक्र के छोर एक-दूसरे के स्पर्श करेंगे, प्रत्येक एक मंडारिन के टुकड़ों की रेखा पर। जब स्पर्श होगा, तो सर्जरी होगी। कठिनाई इस बात में है कि जब आपने पिछले पृष्ठ पर चार मूल आपदाओं को देखा है, तो आपको उन्हें अपने गर्दन को घुमाकर अलग-अलग कोणों में लाने में सक्षम होना चाहिए। एन में महत्वपूर्ण क्षण का चित्रण किया गया है जब सर्जरी होती है (रूपांतरण की "मध्य स्थिति") और वक्र के छोरों के जोड़ने के तरीके में परिवर्तन होता है। हम जानते हैं कि यह "पैंट्स की आपदा" एक पारगमन को बंद करती है और दूसरा खोलती है। प्रारंभिक पारगमन सफेद तीर द्वारा दर्शाया गया है। लेकिन एक और पारगमन है जो आप उसी कोण से देख सकते हैं यदि आप मॉडल को ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर 180 डिग्री घुमाएं। इन तीरों में से एक ही है। इन आपदाओं के होने से पहले इस "मोड़े गए पंखे" में घूमना अभी संभव है। जब ये आपदाएं अपना प्रभाव देंगी, तो इस पारगमन को असंभव बना दिया जाएगा। लेकिन दो अन्य पारगमन बन जाएंगे। लेकिन कहां, कौन से अंतरिक्ष के हिस्से प्रभावित हैं? ये पारगमन मंडारिन के टुकड़ों के अंदर को बाहर के साथ जोड़ेंगे। एल' में, आप मंडारिन के टुकड़ों को देखते हैं। अगले चरण पर चलते हैं।

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