क्लीन के टोर का उलटना

टोर का उलटना

9 दिसंबर 2004

पृष्ठ 6

टोर का गैर-त्रिविम उलटना
जे.पी.पीटी :
अकादमी डी साइएंस के रिपोर्ट, टोम 293, 5 अक्टूबर 1981 की बैठक, श्रृंखला 1, पृष्ठ 269-272

मैं ड्राइंग के आगे के चरणों को प्रस्तुत करने पर ही संतुष्ट रहूंगा, उन पर टिप्पणी नहीं करूंगा।

टोर का गैर-त्रिविम उलटना। परिवर्तन का पहला भाग

टोर का गैर-त्रिविम उलटना। परिवर्तन का दूसरा भाग

जब हम आकृति v तक पहुंचते हैं, तो हम देखते हैं कि अब ग्रे और गुलाबी संरचना को मिलाना आसान हो जाता है, और इस वस्तु को क्लीन की बोतल का दोहरा आवरण बना दिया जा सकता है।

इस समय उलटना दृष्टिकोणों के आदान-प्रदान द्वारा होता है। नीचे उसी ड्राइंग को रंग कोडिंग के साथ दिखाया गया है।

क्लीन की बोतल का दोहरा आवरण, रंग कोडिंग के साथ

(यह ड्राइंग मेरी सीएनआरएस के वार्षिक रिपोर्ट का हिस्सा नहीं है। आप इसे टॉपोलॉजिकॉन में पाएंगे)

टोर के विभिन्न परिवार

1957 में स्टीफन स्मेल ने सिद्ध किया था कि गोले के अंतर्निहित आकृतियों का केवल एक ही परिवार है, और कि इन सभी को एक अनुक्रमण द्वारा जोड़ा जा सकता है। इन्होंने एक समूह बनाया जिसका तटस्थ तत्व वस्तु को उसी स्थिति में छोड़ना था। लोगों ने पूछा कि क्या टोर के लिए भी ऐसा ही हो सकता है? गणितज्ञ आयोन जेम्स और एमरी थॉमस ने दिखाया कि टोर के अंतर्निहित आकृतियां चार महाद्वीपों में विभाजित हैं, जिनके बीच एक नियमित अनुक्रमण द्वारा नहीं जाया जा सकता।

टोर के चार परिवार

"मानक टोर", जो पृष्ठ के केंद्र में दिखाया गया है, b में दिखाए गए वस्तु के समान परिवार में आता है। मैंने 1980 में टोर के उलटने के अपने ढंग में इसे अनुक्रमित किया था। जिस परिवार का उल्लेख किया गया है, वह एक टोर है जिसमें 360° का विक्षेपण हुआ है। यह मानक टोर के समान दिखता है, लेकिन दोनों को उनके नक्शा प्रणाली के आधार पर परिभाषित किया जाता है, दो प्रकार के वक्रों के उपयोग से। मानक टोर में हम दो वृत्तों के समूहों का उपयोग करते हैं जिन्हें मेरिडियन और समानांतर माना जाता है। टोर a पर हमें वहां चिपके वृत्तों के समूह को एक दूसरे समूह के साथ पूरा करना होगा जो विपरीत दिशा में घूमता है। इससे यह साबित होता है कि एक नियमित अनुक्रमण के उपयोग से टोर a के जाल को मानक टोर के जाल (मेरिडियन वृत्त + समानांतर वृत्त) के साथ मिलाना असंभव है। इसी अर्थ में ये वस्तुएं अलग-अलग हैं। इन सभी वस्तुओं को निश्चित रूप से क्लीन की बोतल का दोहरा आवरण बनाकर व्यवस्थित किया जा सकता है।

ज्यामितिज्ञ के उपकरणों की शक्ति यह भविष्यवाणी करने में है कि क्या संभव है और क्या नहीं। मानक टोर को आकृति b के टोर में बदलना: हाँ। c से d तक जाना: नहीं।

यह बेकार समय बर्बाद करने से बचाता है और विशेष रूप से ऐसी चीजों की खोज करने के लिए प्रेरित करता है जो बिल्कुल स्पष्ट नहीं हैं, जैसे गोले को उलटना। यह सभी विज्ञानों में सच है। कभी-कभी लोग वर्षों या यहां तक कि शताब्दियों तक उपयोगी विधियों को छोड़ देते हैं, बस इसलिए कि वे उन्हें असंभव समझते हैं। मैंने अपने जीवन के कुछ वर्षों को एक गैस में अतिध्वनिक गति से चल रही वस्तु के चारों ओर ध्वनि लहरों के अपने उन्मूलन के लिए लैप्लास के बल क्षेत्र, "MHD" के उपयोग से एक सिद्धांत बनाने में लगाए। एक छात्र ने मेरे निर्देशन में इस विषय पर अपनी डॉक्टरेट की थीसिस लिखी और हमने इन कार्यों को विभिन्न पाठक-समीक्षा वाली पत्रिकाओं और वैज्ञानिक सम्मेलनों में प्रकाशित किया। यह विषय अब तक तीस वर्षों बाद शुरू हो रहा है। अमेरिकियों के पास हाइपरसोनिक विमान होने का संदेह है जो मैच 10 पर उड़ सकते हैं बिना किसी ध्वनि लहर के निर्माण के (विशेष रूप से इन "बैंग्स" के पीछे वायु के पुनर्संपीड़न से जुड़ी भयंकर तापीय तनावों के बिना)। यही लोकप्रिय मिथक है ऑरोरा के बारे में, जो उन ऊंचाइयों पर उड़ता है जहां उत्तरी ध्रुवीय चमक उत्पन्न होती है, 80 से 150 किमी की ऊंचाई के बीच। ऑरोरा भविष्य के अंतरिक्ष लॉन्चरों की पूर्वसूचना भी है, जो हवा पर आधारित होंगे और सीएनईस की रॉकेट्स की तुलना में बहुत अधिक किफायती होंगे। फ्रांस में ऐसी खोजों को शुरू करना असंभव रहा (मैंने इन विचारों को 1975 में विकसित किया था), क्योंकि लोग, विशेष रूप से सीएनआरएस में, इन्हें पूरी तरह से अनुचित समझते थे। मेरे अनुसार, यह परिणाम अमेरिका के मुकाबले तीस वर्ष की देरी का है, जो पूरी तरह से बराबर नहीं की जा सकती।


ब्लैग ए टैबैक

पूर्णता के लिए, हमें गोले के उलटने के उन संस्करणों का उल्लेख करना चाहिए जिनमें मुख्य वस्तु एक ब्लैग ए टैबैक है। जब मैं युवा था तब यह एक आम वस्तु थी, लेकिन आज इसे बहुत कम देखा जाता है। इन अनुक्रमों को सबसे पहले जॉर्ज फ्रांसिस ने बनाया था। कुछ वर्षों से मैं इन संस्करणों के एक बहुभुजीय संस्करण पर काम कर रहा हूं, जिसने पहले ही एक बहुत सुंदर मॉडल बनाया है। लेकिन आपको दिखाने के लिए, मुझे इस पर फिर से हाथ लगाना होगा। आशा है जल्द ही, क्योंकि यह वह वस्तु है जो मैंने कभी भी निर्माण की है उसमें से सबसे आकर्षक है।

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