क्लीन के टोर का उलटना

टोर का उलटना

5 दिसंबर 2004

पृष्ठ 6

टोर का गैर-त्रिवियल उलटना
जे.पी.पिटी:
सीएएस एकेडमी डी साइएंस, टोम 293, 5 अक्टूबर 1981 की बैठक, श्रृंखला 1, पृष्ठ 269-272

मैं ड्राइंग के आगे के चरणों को प्रस्तुत करने पर ही संतुष्ट रहूंगा, उन पर टिप्पणी नहीं करूंगा।

गैर-त्रिवियल टोर का उलटना। परिवर्तन का पहला भाग

गैर-त्रिवियल टोर का उलटना। परिवर्तन का दूसरा भाग

जब हम चित्र v तक पहुंचते हैं, तो हम देखते हैं कि अब ग्रे संरचना और गुलाबी संरचना को मिलाना आसान हो जाता है, जिससे यह वस्तु क्लीन की बोतल का दो-परती आवरण बन जाती है।

इस स्थिति में उलटना एक दूसरे के सामने वाले परतों के आदान-प्रदान से होता है। नीचे दिए गए चित्र में इसी ड्राइंग को रंग कोडिंग के साथ दिखाया गया है।

क्लीन की बोतल का दो-परती आवरण, रंग कोडिंग के साथ

(यह ड्राइंग मेरी सीएनआरएस के वार्षिक रिपोर्ट का हिस्सा नहीं है। इसे आप टॉपोलॉजिकॉन में पाएंगे)

टोर के विभिन्न प्रकारों के परिवार

1957 में स्टीफन स्मेल ने सिद्ध किया था कि गोले के अंतर्निहित रूपों का केवल एक ही परिवार है, और कि इन सभी को एक निरंतरता (होमोटॉपी) द्वारा जोड़ा जा सकता है। इन सभी का निर्माण एक समूह बनाते हैं, जिसका तत्व वस्तु को अपरिवर्तित छोड़ना है। यह सवाल उठा कि क्या टोर के लिए भी यही स्थिति होगी? गणितज्ञ आयोन जेम्स और एमरी थॉमस ने दिखाया कि टोर के अंतर्निहित रूप चार भागों में विभाजित हैं, जिनके बीच एक नियमित होमोटॉपी द्वारा जाना असंभव है।

चार प्रकार के टोर

"मानक टोर", जो पृष्ठ के केंद्र में बनाया गया है, b में दिखाए गए वस्तु के समान परिवार में आता है। मैंने 1980 में टोर के उलटने के अपने विकास में इसे अन्यथा सिद्ध किया था। जिस परिवार का उल्लेख a में किया गया है, वह एक ऐसे टोर को दर्शाता है जिसे 360 डिग्री के विक्षेपण (व्रिलिंग) के अधीन किया गया है। यह मानक टोर के समान दिखता है, लेकिन दोनों को उनके नक्शा प्रणाली के आधार पर परिभाषित किया जाता है, जिसमें दो प्रकार की वक्रों का उपयोग किया जाता है। मानक टोर में हम दो वृत्तों के समूहों का उपयोग करते हैं, जिन्हें देशांतर और अक्षांश के रूप में माना जाता है। टोर a पर हमें इस वृत्तों के समूह को विपरीत दिशा में घुमाने वाले दूसरे समूह के साथ पूरा करना होगा। इसका अर्थ है कि एक नियमित होमोटॉपी के द्वारा टोर a के जाल (मेरिडियन वृत्तों और अक्षांश वृत्तों के साथ) को मानक टोर के जाल के साथ मिलाना असंभव है। इसी तरह ये वस्तुएं अलग-अलग हैं। इन सभी वस्तुओं को निश्चित रूप से क्लीन की बोतल के दो-परती आवरण के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है।

ज्यामिति के उपकरणों की शक्ति यह है कि वे यह भविष्यवाणी कर सकते हैं कि क्या संभव है और क्या नहीं। मानक टोर को b वाले टोर में बदलना: हां। c से d में जाना: नहीं।

इससे बेकार के समय बर्बाद करने से बचा जा सकता है और अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि ऐसी चीजों की खोज करने के लिए प्रेरित किया जा सकता है जो आसान नहीं हैं, जैसे गोले को उलटना। यह सभी विज्ञानों में सच है। कभी-कभी लोग वर्षों या यहां तक कि शताब्दियों तक उपयोगी विधियों को छोड़ देते हैं, बस इसलिए कि उन्हें असंभव लगता है। मैंने अपने जीवन के कुछ वर्षों का समय एक गैस में अतिध्वनिक गति से चल रही वस्तु के चारों ओर ध्वनि तरंगों के अपने अपने उन्मूलन के लिए लैप्लास के बल क्षेत्र और "MHD" के माध्यम से एक सिद्धांत बनाने में लगाया। एक छात्र ने मेरे निर्देशन में इस विषय पर अपनी डॉक्टरेट की थीसिस लिखी और हमने इन कार्यों को विभिन्न पाठक-समीक्षा वाली पत्रिकाओं और वैज्ञानिक सम्मेलनों में प्रकाशित किया। यह विषय अब तक लगभग तीस वर्ष बाद ही उभरने लगा है। अमेरिकियों के पास ऐसे हाइपरसोनिक विमान होने की आशंका है जो मैच 10 पर उड़ सकते हैं बिना किसी ध्वनि तरंग के उत्पन्न किए (विशेष रूप से बैंग्स के पीछे वाली हवा के पुनर्संपीड़न से उत्पन्न भारी तापीय तनावों के बिना)। यही लोकप्रिय अवधारणा है ऑरोरा के बारे में, जो ध्रुवीय उत्सर्जन के स्थान पर उड़ता है, लगभग 80 से 150 किमी की ऊंचाई पर। ऑरोरा भविष्य के अंतरिक्ष लॉन्चरों की पूर्वसूची भी है, जो हवा पर आधारित होंगे और सीएनईस के रॉकेटों की तुलना में बहुत अधिक किफायती होंगे। फ्रांस में ऐसी शोध की शुरुआत करना असंभव रहा (मुझे 1975 में यह विचार आया था), क्योंकि लोग, विशेष रूप से सीएनआरएस में, इसे पूरी तरह अव्यवहारिक मानते थे। मेरे अनुसार, इसके परिणामस्वरूप अमेरिका के मुकाबले तीस वर्ष की देरी हुई है, जो पूरी तरह अतीत हो गई है।


ब्लैग ए टैबैक

पूर्णता के लिए, हमें गोले के उलटने के उन संस्करणों का उल्लेख करना चाहिए जिनका केंद्रीय वस्तु ब्लैग ए टैबैक है। जब मैं युवा था, तब यह वस्तु आम थी, लेकिन आज इसे बहुत कम मिलता है। इन अनुक्रमों के पहले ड्राइंग जॉर्ज फ्रैंसिस ने बनाई थी। कुछ वर्षों से मैं इन संस्करणों के एक बहुफलकीय संस्करण पर काम कर रहा हूं, जिसने पहले ही एक बहुत सुंदर मॉडल बनाया है। लेकिन आपको दिखाने के लिए मुझे इस पर फिर से हाथ लगाना होगा। उम्मीद है कि जल्द ही, क्योंकि यह वह वस्तु है जो मैंने कभी भी निर्माण की है, जो सबसे अधिक आकर्षक है।

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