Lentille gravitationnelle due à une matière à masse négative.
En relativité générale classique, la géométrie (stationnaire) de l'espace-temps, à l'intérieur et autour d'une sphère remplie de matière à densité constante, entourée d'un vide, est décrite par deux métriques jointes. La première est la « métrique de Schwarzschild interne » :
avec la condition :
et la seconde est la « métrique de Schwarzschild externe » :
La lentille gravitationnelle classique est calculée à l'aide de la seconde, où m, une constante d'intégration simple, est choisie positive. Alors la trajectoire plane d'une particule massive est donnée par
où
φ est l'angle polaire, et u l'inverse de la distance radiale r par rapport au centre géométrique du système. Les photons obéissent à :
où c est la vitesse de la lumière, h et l sont des paramètres de trajectoire. Cela donne le schéma classique de la figure 10-a
où la masse centrale est réduite à un simple point-masse. Maintenant, examinons (16) et (18). Nous pouvons changer le signe de la densité de masse
et de R
s
en R
s
. Alors nous obtenons :
(16bis)
Ces solutions peuvent être reliées et décrire la géométrie à l'intérieur et à l'extérieur d'une sphère remplie de masse négative. La première est solution de
l'équation de champ
La seconde provient de
S = 0 . Comme introduit en 1995 dans la référence
[3]
, nous obtenons un effet de lentille négatif. Voir la figure 10-b
Fig.
10-a
: Effet de lentille gravitationnelle positive
Fig.
10-b
: Effet de lentille gravitationnelle négative
Remarquez que nous pouvons maintenant utiliser la solution interne, car les photons peuvent traverser un amas de masse négative, selon notre hypothèse (comme les neutrinos traversent le Soleil. Mais nous n'avons pas de télescopes utilisant les neutrinos). Examinons maintenant l'impact sur les observations. La première est la réduction de la luminosité des galaxies à grand décalage vers le rouge, due à l'effet de lentille gravitationnelle négative causé par des amas de matière jumelle. En effet, nous trouvons de nombreuses galaxies faibles à grande distance. L'interprétation classique consiste à dire que les galaxies naines se forment en premier, puis fusionnent pour donner des objets plus lourds. La lentille négative fournit une explication alternative. Maintenant, montrons que la lentille négative, due à la matière jumelle environnante, peut expliquer les effets de lentille forte observés autour des galaxies et des amas de galaxies. Premièrement, remarquez qu'une distribution homogène de matière, qu'elle soit à densité positive ou négative, n'induit pas de lentille gravitationnelle. Seules les distributions non homogènes le font. Imaginons schématiquement une galaxie imbriquée dans un certain type de trou dans une distribution homogène de matière jumelle. Voir la figure 11-a.
Fig.
11
: Combinaison des effets de lentille positive (due à l'objet confiné) et négative (due à la matière jumelle environnante). Renforcement de l'effet global.
Nous avons schématisé le renforcement de l'effet gravitationnel dû à la matière jumelle entourant une masse sphéroïdale M (galaxie sphéroïdale ou amas sphéroïdal de galaxies). Comme montré dans la section 18, le champ gravitationnel dû à un trou sphéroïdal dans une distribution de masse négative à densité constante est équivalent au champ dû à une sphère à densité constante remplie de masse positive (figure 11-b). Sur la figure 11-c, nous avons schématisé la contribution de la masse positive Mà l'effet de lentille gravitationnelle. L'effet principal (figure 11-c) est dû au trou, qui concentre les rayons lumineux. Sur la figure 11-a, nous trouvons les deux effets combinés. En conclusion, l'observation d'effets de lentille gravitationnelle forte au voisinage des galaxies ou des amas de galaxies n'est pas la preuve définitive qu'une matière noire invisible à masse positive soit présente. Il existe une interprétation alternative : l'objet pourrait être entouré de matière négative, qui concentre les rayons lumineux.
Matière exotique ou géométrie exotique ?
Comme dit plus haut, les physiciens ont du mal à accepter l'idée que la masse négative puisse exister dans notre univers. En outre, le modèle standard classique ne fournit pas toutes les réponses. Par exemple, personne ne sait où est allée la matière antiprimordiale, de sorte que la moitié de l'univers est manquante. La question est devenue si embarrassante que les scientifiques choisissent aujourd'hui simplement de l'éviter. En 1967, A. Sakharov a suggéré qu'un « univers jumeau » aurait été créé lors du Big Bang dit « prétendu », où la flèche du temps pourrait être inversée ([33],[34],[35]&[36]). L'idée d'un couple d'univers interagissant uniquement par force gravitationnelle est en cours d'étude, voir un article récent de Nima-Arkani Ahmed (Département de Physique de l'Université de Berkeley), Savas Domopoulos (Département de Physique de l'Université de Stanford) et Georgi Dvali (Département de Physique de l'Université de New York), référence [43] et les références [37] à [42].
Supposons que l'univers soit un revêtement à deux feuillets d'une variété M4.
Fig.
12
: Revêtement à deux feuillets d'une variété
.
Nous obtenons une application point à point reliant deux « points conjugués » Met
M, pouvant être décrits par un même système de coordonnées
Nous pouvons attribuer à ce revêtement à deux feuillets non simplement connexe une structure métrique (similaire au fibré à deux points d'une variété M4). Nous pouvons attribuer à une variété un nombre quelconque de métriques distinctes. Chaque métrique définit un espace métrique.
La variété sous-jacente donne une application point à point reliant tous les points de ces espaces métriques. Nous obtenons deux espaces métriques couplés Fet
F.
Ici, nous prenons deux métriques riemanniennes ayant la même signature hyperbolique
(+ - - - )
. Nous appelons ces métriques
g
et
g
.
À partir de ces deux métriques, nous pouvons construire des systèmes de géodésiques, mais, comme Fet
Fsont déconnectés, les deux familles de géodésiques sont déconnectées. En conclusion, si ces métriques donnent des géodésiques nulles et si l'on suppose que la lumière se propage le long d'elles dans les deux feuillets, toute structure d'un feuillets sera
géométriquement invisible
de l'autre.
En relativité générale classique, on considère un seul feuillets, associé à l'équation de champ (équation d'Einstein)
Alors, les solutions non stationnaires, correspondant à des conditions homogènes et isotropes, donnent les modèles de Friedmann. Les solutions stationnaires, tout en ayant une symétrie sphérique, donnent la solution de Schwarzschild interne (16), à partir de l'équation
où
Test un champ tensoriel constant, à l'intérieur d'une sphère dont le rayon est r
o
.
La solution de Schwarzschild externe (18) provient de
S = 0
avec une symétrie sphérique également.
Le choix d'une équation de champ est un choix a priori. Si les solutions métriques sont asymptotiquement plates et lorentziennes, cela garantit la validité de la relativité restreinte dans le vide. Si l'on fait un développement en série autour d'une métrique lorentzienne, dans des conditions stationnaires, l'équation de champ peut être identifiée à l'équation de Poisson.
En outre, l'approximation newtonienne fournit la loi de Newton d'interaction. Les modèles de Friedmann, correspondant aux solutions de l'équation de champ, fournissent un décalage vers le rouge, qui est observé. Localement, la déviation des rayons lumineux au voisinage du Soleil ainsi que la précession du périhélie de Mercure sont également observées. Mais récemment, certaines incohérences entre les modèles de Friedmann et les mesures de la constante de Hubble amènent aujourd'hui les cosmologistes à réintroduire une constante cosmologique non nulle, correspondant à une mystérieuse « force répulsive du vide ».
Revenons maintenant à la structure à deux feuillets. Introduisons deux champs tensoriels
Tet
Tsupposés décrire les contenus des feuillets Fet
F. À partir des métriques
g et
g
, nous pouvons définir des tenseurs géométriques
Set
S. Nous pouvons relier les quatre tenseurs
S,
S,
T,
Ten un système de deux équations de champ couplées, inspirées de l'équation d'Einstein
Première interprétation géométrique du phénomène de matière noire.
Considérons les équations de champ couplées suivantes :
Elles sont fondamentalement identiques, de sorte que
g
identifie à
g
: l'image d'une géodésique du feuillets Fdevient une géodésique du feuillets
F. Nous obtenons deux « univers parallèles », qui interagissent uniquement par force gravitationnelle. La matière noire pourrait être composée d'atomes, de neutrons, de protons, de photons, identiques aux nôtres, sauf que nous ne pouvons pas observer la matière jumelle du point de vue géométrique. Si nous étudions l'approximation newtonienne, nous obtenons l'équation de Poisson suivante :
Dans ce modèle :
-
la matière attire la matière
-
la matière jumelle attire la matière jumelle
-
la matière et la matière jumelle s'attirent mutuellement.
Mais cela ne résout pas toutes les données observationnelles : même si une matière noire géométriquement invisible se trouvait dans la portion adjacente de notre univers, près de l'amas Abell 1942, cela n'explique pas pourquoi ce champ attractif n'aurait pas capturé nos propres galaxies et gaz, situés dans notre feuillets de l'univers. C'est pourquoi nous traitons le système d'équations suivant (référence
[ 3 ]
et
[ 4 ]
) :
Deuxième interprétation géométrique du phénomène de matière noire.
Considérons le système suivant d'équations de champ couplées :
Remarquez que cela n'implique pas nécessairement
g
= -
g
. L'approximation newtonienne soutient les hypothèses de la section 3. Nous obtenons l'équation de Poisson suivante :
Nous préférons considérer que l'univers jumeau, le feuillets jumeau, est rempli de matière à masse intrinsèquement positive, et que le signe moins dans l'équation de champ lui donne l'apparence d'une masse négative pour un observateur situé dans notre feuillets. Nous pouvons alors l'appeler « masse apparente ». La symétrie du système (29) plus (30) rend la définition d'énergies positives et négatives purement arbitraire. Que devient le contrôle classique local de la RG ? Dans ce nouveau modèle :
-
la matière attire la matière,
selon la loi de Newton. -
la matière jumelle attire la matière jumelle selon la loi de Newton.
-
la matière et la matière jumelle se repoussent selon une « loi anti-newtonienne ».
Le système solaire est une région très dense de l'univers. Dans la portion adjacente du feuillets jumeau, la matière jumelle est repoussée. Alors le système est très proche de :
La première équation identifie à l'équation d'Einstein, de sorte que toutes les vérifications classiques s'appliquent. Et les gravitons ? Quel chemin suivent-ils ? La réponse se compose de deux arguments :
-
Les équations de champ fournissent une description macroscopique de l'univers, qui ignore l'existence de particules et ne donne que des systèmes de géodésiques.
-
D'ailleurs : qu'est-ce qu'un graviton ?
Remarquez qu'il a été récemment mis en évidence [49] une accélération anormale à longue portée (négative) pour les sondes spatiales Pioneer 10 et Pioneer 11, à grande distance du Soleil (40-60 UA). Une accélération non modélisée, dirigée
vers
le Soleil, (8,09 ± 0,20) × 10⁻⁸ cm/s² pour Pioneer 10 et (8,56 ± 0,15) × 10⁻⁸ cm/s² pour Pioneer 11, a été observée et décrite comme une force de traînée visqueuse non comprise. De manière similaire, une accélération non modélisée vers le Soleil a été trouvée pour la sonde Ulysse (12 ± 3) × 10⁻⁸ cm/s². Voir la discussion complète dans cet article intéressant. Les auteurs disent :
Le paradigme est évident : s'agit-il de matière noire ou de modification de la gravité ? ». Comme ils le soulignent, si la matière noire est invoquée pour l'explication, cela correspondrait à une quantité totale de matière noire > 3 × 10⁻⁴ masse solaire, ce qui serait en conflit avec la précision des éphémérides. Un modèle de neutrino en 3D n'a pas non plus résolu le problème [50]. D'autres tentent de modifier la loi de Newton, en ajoutant une force de Yukawa [51]. Mais « cette accélération anormale est trop grande pour avoir échappé à la détection dans les orbites planétaires, particulièrement pour la Terre et Mars ». Alors ils se concentrent sur les données des sondes Viking disponibles et concluent : « Mais une grande erreur entraînerait une incohérence avec les éphémérides planétaires globales… si l'accélération radiale anormale agissant sur les engins spatiaux tournants a une origine gravitationnelle, elle n'est pas universelle. Cela signifie qu'elle affecterait plus fortement les corps de la plage de 1000 kg que les corps de taille planétaire par un facteur 100 ou plus (…), ce qui serait une étrange violation du principe d'équivalence ». Une interprétation alternative de ce phénomène encore énigmatique serait l'action d'une distribution faiblement répulsive de matière jumelle entre les étoiles, à l'intérieur des galaxies, qui formerait, comme pour la structure en spirale, une barrière potentielle faible. À étudier.
La question de la puissance répulsive du vide. Une réponse alternative.
Lorsque nous regardons l'équation (29), nous voyons que
Tagit comme une « constante cosmologique ». Elle représente la « puissance répulsive de l'univers jumeau », qui peut jouer un rôle dans les solutions couplées non stationnaires. L'hypothèse d'homogénéité et d'isotropie donne aux métriques riemanniennes la forme bien connue de Robertson-Walker, comme suit :
Les distances radiales entre points conjugués (même u, une « distance radiale » sans dimension, par rapport à un point arbitraire) ne sont pas automatiquement égales :
r = Ru .......................
r = Ru
Le choix des coordonnées reste libre, dans chaque feuillets, où nous pouvons définir des temps cosmiques différents :
.
t
et
t R = c T R R = c T R
Nous mettons les équations de champ sous leurs formes sans dimension, en utilisant :
Ensuite, ces tenseurs, écrits sous leurs formes sans dimension :
En fin de compte, nous obtenons quatre équations différentielles du second ordre couplées (au lieu de deux, dans l'approche classique) :
Nous avons besoin d'hypothèses supplémentaires. Supposons que les deux univers aient des « vies parallèles » pendant leur époque radiative, c'est-à-dire :
ce qui impose des indices de courbure négatifs (k = k = -1). Après le
La solution extérieure de Schwarzschild (18) provient de
S = 0
avec également une symétrie sphérique.
Le choix d’une équation de champ constitue une décision a priori. Si les solutions métriques sont asymptotiquement plates et lorentziennes, cela garantit la validité de la relativité restreinte dans le vide. Si l’on développe une expansion en série autour d’une métrique lorentzienne, en conditions stationnaires, l’équation de champ peut être identifiée à l’équation de Poisson.
De plus, l’approximation newtonienne fournit la loi d’interaction newtonienne. Les modèles de Friedman, correspondant aux solutions de l’équation de champ, fournissent un décalage vers le rouge, observé. Localement, la déviation des rayons lumineux à proximité du Soleil ainsi que l’avance du périhélie de Mercure sont également observées. Toutefois, récemment, certaines incohérences entre les modèles de Friedman et les mesures de la constante de Hubble ont conduit les cosmologistes à réintroduire une constante cosmologique non nulle, correspondant à une mystérieuse « force répulsive du vide ».
Reprenons maintenant la structure à deux feuillets. Introduisons deux champs tensoriels
Tet
T, supposés décrire le contenu des feuillets Fet
F. À partir des métriques
g et
g, nous pouvons définir les tenseurs géométriques
Set
S. Nous pouvons relier les quatre tenseurs
S,
S,
Tet
Tdans un système de deux équations de champ couplées, inspiré de l’équation d’Einstein (9).
Première interprétation géométrique du phénomène de matière noire.
Considérons les équations de champ couplées suivantes :
Fondamentalement, elles sont identiques, de sorte que
g s’identifie à
g : l’image d’une géodésique du feuillet Fdevient une géodésique du feuillet
F. Nous obtenons ainsi deux « univers parallèles », qui interagissent uniquement via la force gravitationnelle. La matière noire pourrait être constituée d’atomes, de neutrons, de protons, de photons, identiques aux nôtres, sauf que nous ne pouvons pas observer la « matière jumelle » sur des bases géométriques. Si nous étudions l’approximation newtonienne, nous obtenons l’équation de Poisson suivante :
Dans ce modèle :
- la matière attire la matière,
- la matière jumelle attire la matière jumelle,
- la matière et la matière jumelle s’attirent mutuellement.
Cependant, cela ne résout pas l’ensemble des données observationnelles : même si une certaine matière noire géométriquement invisible se situait dans la région adjacente à notre univers, près du amas Abell 1942, cela n’expliquerait pas pourquoi ce champ de force attractif ne capturerait pas nos propres galaxies et gaz, situés dans notre propre feuillet de l’univers. C’est pourquoi nous considérons le système d’équations suivant (références [3] et [4]) :
10)
Deuxième interprétation géométrique du phénomène de matière noire.
Considérons le système d’équations de champ couplées suivant :
Remarquons que cela n’implique absolument pas
g = –
g. L’approximation newtonienne confirme les hypothèses de la section 3. Nous obtenons l’équation de Poisson suivante :
Nous préférons considérer que l’univers jumeau, le feuillet jumeau, est rempli de matière à masse intrinsèquement positive, et que le signe moins dans l’équation de champ lui confère l’apparence d’une masse négative pour un observateur situé dans notre feuillet. Nous pouvons donc parler de « masse apparente ». La symétrie du système (29) + (30) rend la définition des énergies positives et négatives purement arbitraire. Qu’en est-il de la vérification locale classique du RG ? Dans ce nouveau modèle :
- la matière attire la matière, selon la loi newtonienne ;
- la matière jumelle attire la matière jumelle, selon la loi newtonienne ;
- la matière et la matière jumelle se repoussent mutuellement, selon une « anti-loi newtonienne ».
Le Système solaire constitue une région très dense de l’univers. Dans la région adjacente du feuillet jumeau, la matière jumelle est repoussée. Ainsi, le système est très proche de :
La première équation s’identifie à l’équation d’Einstein, de sorte que toutes les vérifications classiques s’appliquent. Qu’en est-il des gravitons ? Quelle trajectoire suivent-ils ? La réponse repose sur deux arguments :
- Les équations de champ fournissent une description macroscopique de l’univers, qui ignore l’existence des particules et ne fournit que des systèmes de géodésiques.
- En outre : qu’est-ce qu’un graviton ?
Remarquons que récemment [49], une accélération anormale à longue portée (négative) a été mise en évidence pour les sondes Pioneer 10 et Pioneer 11, à grande distance du Soleil (40–60 UA). Une accélération non modélisée, dirigée vers le Soleil, de (8,09 ± 0,20) × 10⁻⁸ cm/s² pour Pioneer 10 et (8,56 ± 0,15) × 10⁻⁸ cm/s² pour Pioneer 11, a été observée et décrite comme une « force de traînée visqueuse non comprise ». De même, une accélération non modélisée vers le Soleil a été détectée pour la sonde Ulysses : (12 ± 3) × 10⁻⁸ cm/s². Voir la discussion complète dans cet article intéressant. Les auteurs affirment :
« Le paradigme est évident : s’agit-il de matière noire ou d’une modification de la gravité ? ». Comme le soulignent les auteurs, si la matière noire est invoquée pour expliquer ce phénomène, cela correspondrait à une masse totale de matière noire > 3 × 10⁻⁴ masse solaire, ce qui contredirait la précision des éphémérides planétaires. Un modèle à 3 neutrinos n’a pas non plus résolu le problème [50]. D’autres cherchent à modifier la loi de Newton en ajoutant une force de Yukawa [51]. Mais « cette accélération anormale est trop importante pour avoir échappé à la détection dans les orbites planétaires, notamment pour la Terre et Mars ». Les auteurs se concentrent alors sur les données disponibles des sondes Viking et concluent : « Une erreur importante entraînerait une incohérence avec l’ensemble des éphémérides planétaires… Si l’accélération radiale anormale agissant sur les engins spatiaux à rotation est d’origine gravitationnelle, elle n’est pas universelle. Autrement dit, elle doit affecter les corps de l’ordre de 1000 kg plus fortement que les corps de taille planétaire d’un facteur 100 ou plus (…), ce qui constituerait une violation étrange du principe d’équivalence ». Une interprétation alternative de ce phénomène encore énigmatique serait l’action d’une distribution faiblement répulsive de matière jumelle, située entre les étoiles, à l’intérieur des galaxies, qui formerait, comme pour la structure en spirale, une barrière de potentiel faible. À investiguer.
11)
La question de la force répulsive du vide. Une réponse alternative.
En examinant l’équation (29), nous voyons que
Tagit comme une « constante cosmologique ». Elle représente la « force répulsive de l’univers jumeau », qui pourrait jouer un rôle dans les solutions couplées non stationnaires. L’hypothèse d’homogénéité et d’isotropie conduit aux métriques riemanniennes à la forme bien connue de Robertson-Walker, comme suit :
Les distances radiales entre points conjugués (même u, une « distance radiale » adimensionnelle par rapport à un point arbitraire) ne sont pas automatiquement égales :
r = Ru
.......................
r = Ru
Le choix des coordonnées reste libre dans chaque feuillet, où l’on peut définir des temps cosmiques différents :
t et t
et
t R = c T R R = c T R
Nous exprimons les équations de champ sous forme adimensionnelle, à l’aide de :
Ensuite, les tenseurs, écrits sous forme adimensionnelle :
Finalement, nous obtenons quatre équations différentielles couplées du second ordre (au lieu de deux, dans l’approche classique) :
Nous devons introduire une hypothèse supplémentaire. Supposons que les deux univers aient des « vies parallèles » pendant leur epoch radiative, c’est-à-dire :
ce qui impose des indices de courbure négatifs (k = k' = –1). Après le découplage, nous négligeons les termes de pression (univers poussiéreux) :
à partir desquels nous obtenons immédiatement :
En introduisant la conservation de la masse dans les deux feuillets :
le système devient :
Remarquons que R = R' entraîne R'' = R'' = 0.
D’autre part, si les deux univers étaient « entièrement couplés », c’est-à-dire R/R' = constante, cette solution particulière correspondrait aux modèles de Friedmann, avec des « évolutions parallèles ». Mais nous considérons qu’ils sont couplés par le champ gravitationnel, via (54-a) et (54-b), ce qui montre que l’expansion linéaire est instable. Par exemple, si R > R', alors R'' > 0 et R'' < 0.
Le système peut être résolu numériquement. La solution typique correspond à la figure 13. Les valeurs numériques ont été choisies afin de satisfaire les conditions initiales de la simulation numérique VLS. La loi d’évolution, pour l’époque radiative, sera justifiée dans la section 15.
Fig. 13 : Évolution des paramètres d’échelle de l’univers et de l’univers jumeau.
Nous voyons que ce système de deux univers interagissant par la force gravitationnelle est instable. Si un univers accélère davantage, poussé par son jumeau, l’autre ralentit. L’accélération observée de notre univers est donc causée par la « force répulsive de son univers jumeau ». Les histoires des deux univers diffèrent. La nôtre est plus froide et plus raréfiée. Le jumeau est plus chaud et plus dense. Cela justifie l’hypothèse de la section 2, qui détermine le VLS.
Quelle pourrait être l’évolution de notre univers jumeau ? Comme nous l’avons vu, il est rempli d’amas énormes de matière jumelle, qui ressemblent à d’énormes proto-étoiles, dont le temps de refroidissement est nettement plus long que l’âge de l’univers. La fusion nucléaire ne se produit pas dans l’univers jumeau. Nous pensons qu’après la première nucléosynthèse, il reste rempli d’hydrogène et d’hélium. Le phénomène de la vie n’existerait pas dans l’univers jumeau.
12)
Loi de Newton et équation de Poisson.
Dans la relativité générale classique, la loi de Newton et l’équation de Poisson peuvent être dérivées de l’équation de champ d’Einstein, en considérant une solution métrique presque stationnaire et presque lorentzienne. Ici, nous avons deux métriques perturbées, écrites en coordonnées adimensionnelles h (temps) et zᵃ (espace). En développant les deux équations de champ en série, et en considérant un univers presque uniforme, nous obtenons :
Introduisons un potentiel gravitationnel adimensionnel :
Définissons un opérateur laplacien adimensionnel :
Nous obtenons ainsi une équation de Poisson adimensionnelle :
La méthode classique d’identification conduit à la loi de Newton. Dans le feuillet F :
Dans le feuillet F' :
Le potentiel gravitationnel agit différemment sur une particule test (m = +1), selon le feuillet auquel elle appartient. En général, une particule (m = +1) située dans le feuillet Fcontribue au potentiel gravitationnel (adimensionnel) de la manière suivante.
Comme nous pouvons le constater, le système d’équations de champ couplées détermine entièrement la dynamique du système, correspondant à l’approximation newtonienne, introduite comme hypothèse au début de l’article. Dans ce modèle, les vitesses de la lumière c et c' peuvent être différentes (et nous pensons qu’elles le sont). En utilisant les grandeurs dimensionnelles introduites dans la section 11, nous pouvons revenir aux lois dimensionnelles, comme suit :
La loi de Newton, exprimée dans les deux feuillets, devient :
L’équation de Poisson peut être exprimée indifféremment dans les deux feuillets.
13)
Courbures scalaires.
Quelle est la signification géométrique du système (29) + (30) ? Les courbures scalaires Ret R' sont opposées. Nous pouvons donner une image pédagogique de ce nouveau cadre géométrique. Tout d’abord, rappelons que la structure correspond à un revêtement à deux feuillets d’une variété. Nous obtenons deux feuillets distincts, avec des métriques couplées g et g'. Elles ne sont pas indépendantes, puisqu’elles sont solutions du système d’équations de champ. Elles génèrent chacune leur propre système de géodésiques, et l’image, dans le feuillet F, d’une géodésique du feuillet Fn’est pas une géodésique de ce feuillet jumeau F'. La lumière suit des géodésiques nulles dans les deux feuillets, mais aucune géodésique nulle ne relie les deux, de sorte que la structure d’un feuillet est géométriquement invisible pour un observateur situé dans l’autre. Supposons maintenant qu’une masse soit présente dans le feuillet F, tandis que la région adjacente du feuillet F' est vide. Le système d’équations de champ correspondant serait :
Supposons que cette distribution de masse corresponde à une sphère de rayon r₀, remplie de matière à densité constante, et entourée de vide. Alors, la géométrie, dans le feuillet F, stationnaire, correspond à deux solutions de Schwarzschild liées (interne et externe). Elles sont solutions de l’équation (68). Dans le feuillet F, nous obtenons une géométrie conjuguée, avec courbure scalaire opposée R' = –R. À l’extérieur de la sphère (et à l’extérieur de l’espace adjacent correspondant dans le feuillet F'), R = R' = 0. À l’intérieur, les courbures scalaires sont constantes. Le modèle pédagogique correspond à un « posicone » émoussé, associé à un « négacone » émoussé, comme illustré à la figure 15. Dans un « posicone » émoussé, la partie centrale est une portion de sphère.
Fig. 14 : Une masse est présente dans le feuillet F. Courbure négative induite dans le feuillet F'. Dans un « négacone » émoussé, la région associée correspond, dans cette image pédagogique en 2D, à une selle de cheval. Ci-dessous, un plan figurant la manière dont un observateur situé dans le feuillet Fconçoit ce phénomène. Il peut observer à la fois la masse M (disque gris) et la trajectoire d’une masse se déplaçant dans son propre feuillet, « attirée par cette masse » ; cette trajectoire, dans cette représentation euclidienne, correspond à la projection d’une géodésique du « posicone » émoussé. L’observateur ne peut pas voir la trajectoire d’une particule de « matière jumelle », se déplaçant dans le feuillet jumeau F' et repoussée par la masse.
Maintenant, supposons que la masse soit située dans le feuillet F', dans l’espace jumeau. Les situations sont inversées. Voir figure 15. Selon cette image pédagogique en 2D, le feuillet Fest formé comme un négacone émoussé, tandis que le feuillet F' ressemble à un posicone émoussé. La géométrie de F, proche du centre géométrique du système, évoque la région voisine d’un amas de matière jumelle situé au centre d’une « cellule » dans le VLS. La lumière voyageant dans notre feuillet peut le traverser, mais est diffusée. Comme évoqué dans la section 3 et à la figure 7, cela implique que les diamètres des amas ne peuvent pas dépasser une certaine valeur, à déterminer, afin de concorder avec les observations disponibles. Ci-dessous : deux représentations planes montrant les projections euclidiennes (la manière dont un observateur pourrait concevoir le phénomène, selon qu’il soit situé dans
Version originale (anglais)
Lentille gravitationnelle due à une matière à masse négative.
avec la condition :
et la seconde est la « métrique de Schwarzschild externe » :
où
et de R
s
en R
s
. Alors nous obtenons :
(16bis)
l'équation de champ
La seconde provient de
S = 0 . Comme introduit en 1995 dans la référence
[3]
, nous obtenons un effet de lentille négatif. Voir la figure 10-b
Fig.
10-a
: Effet de lentille gravitationnelle positive
Fig.
10-b
: Effet de lentille gravitationnelle négative
Fig.
11
Matière exotique ou géométrie exotique ?
Fig.
12
: Revêtement à deux feuillets d'une variété
.
M, pouvant être décrits par un même système de coordonnées
F.
Ici, nous prenons deux métriques riemanniennes ayant la même signature hyperbolique
(+ - - - )
. Nous appelons ces métriques
g
et
g
.
géométriquement invisible
de l'autre.
où
o
.
La solution de Schwarzschild externe (18) provient de
S = 0
avec une symétrie sphérique également.
Tet
Tsupposés décrire les contenus des feuillets Fet
F. À partir des métriques
g et
g
, nous pouvons définir des tenseurs géométriques
Set
S. Nous pouvons relier les quatre tenseurs
S,
S,
T,
Première interprétation géométrique du phénomène de matière noire.
Considérons les équations de champ couplées suivantes :
Elles sont fondamentalement identiques, de sorte que
g
identifie à
g
: l'image d'une géodésique du feuillets Fdevient une géodésique du feuillets
Dans ce modèle :
-
la matière attire la matière
-
la matière jumelle attire la matière jumelle
-
la matière et la matière jumelle s'attirent mutuellement.
[ 3 ]
et
[ 4 ]
) :
Deuxième interprétation géométrique du phénomène de matière noire.
Considérons le système suivant d'équations de champ couplées :
Remarquez que cela n'implique pas nécessairement
g
= -
g
-
la matière attire la matière,
selon la loi de Newton. -
la matière jumelle attire la matière jumelle selon la loi de Newton.
- D'ailleurs : qu'est-ce qu'un graviton ?
vers
La question de la puissance répulsive du vide. Une réponse alternative.
Lorsque nous regardons l'équation (29), nous voyons que
r = Ru .......................
r = Ru
.
t
et
t R = c T R R = c T R
Ensuite, ces tenseurs, écrits sous leurs formes sans dimension :
ce qui impose des indices de courbure négatifs (k = k = -1). Après le
Version originale (anglais)
Gravitational lensing due to negative mass matter.
In classical general relativity the (steady) geometry of space-time, in and around a sphere filled by constant density matter, and surrounded by void is described by two joined metrics. The first is the "internal Schwarzschild metric" :
with the condition :
and the second the "external Schwarzschild metric":
Classical gravitational lensing is computed with the second, where m, a simple integration constant, is chosen positive. Then the plane trajectory of a massive particle is given by
where
phi is the polar angle, and u the inverse of radial distance r, with respect to the geometric centre of the system. The photons obey :
where c is the light velocity, h and l paths parameters. This gives the classical schema of figure 10-a
where the central mass is reduced to a simple mass-point. Now, have a look to (16) and (18). We can change the sign of the mass density
and R
s
into R
s
. Then we get the :
(16bis)
These solution can be linked and describe the geometry in and out a sphere filled by negative mass. The first is solution of
the field equation
The second comes from
S
= 0 . As introduced in 1995 in reference
[3]
we get a negative lensing effect. See figure 10-b
Fig.
10-a
: Positive gravitational
Fig.
10-b
:
Negative gravitational
lensing effect
lensing effect
Notice we may now use the internal solution for photons can cross a negative mass clump, according to our assumption (like neutrinos can cross the sun. But we have no telescopes using neutrinos). Now, examine the impact on observations. The first one is the reduction of the luminosity of large redshift galaxies, by negative gravitational lensing effect due to twin matter clumps. As the matterfact, we find many faint galaxies at large distance. The classical interpretation consists to say that dwarfs galaxies form first, then merge to give heavier objetcs. Negative lensing provides an alternative explanation. Now, let us show that negative lensing, due to surrounding twin matter, can explain observed strong lensing effects, around galaxies and clusters of galaxies. First, notice than any homogeneous distribution of matter, with positive or negative density, does not induce gravitational lensing. Only non-homogeneous distribution dot it. Let us figure schematically a galaxy imbedded in some sort of hole in an homogeneous twin matter distribution. See fig. 11-a.
Fig.
11
: Combination of
positive (due to the confined object) and negative (due to the surrounding twin matter) lensing effects. Reinforcement of the global effect.
We have schematised the reinforcement of the gravitational effect due to twin matter surrounding a spheroidal mass M ( spheroidal galaxy or spheroidal cluster of galaxies). As shown in section 18 the gravitational field due to a spheroidal hole in a constant density negative mass distribution is equivalent to the field due to a constant density sphere, filled by positive mass (figure 11-b). On figure 11-c we have figured the contribution of the positive mass Mto the gravitational lensing effect. The main effect (figure 11-c) is due to the hole, which focuses the light rays. On figure 11-a we find the two effects, combined. As a conclusion the observation of strong gravitational lensing effects at the vicinity of galaxies or clusters of galaxies is not the final proof that some positive mass invisible dark matter is present. There is an alternative interpretation : the object could be surrounded by negative matter, which focusses the light rays.
Exotic matter or exotic geometry ?
As said above, physicists have difficulty to stand the idea that negative mass could exist in our universe. By the way, the classical standard model does not bring all the answers. For example, nobody knows where the primeval antimatter is gone, so that half part of the universe is missing. The question became so embarrassing that today scientists just choose to avoid it. In 1967 A.Sakharov suggested that some "twin universe" would have been created during the so-called Big Bang, where the arrow of time could be reversed ([33],[34],[35]&[36]) . The idea of a couple of universes interacting only through gravitational force is in progress, see a recent paper of Nima-Arkani Ahmed (Dept. of Phys. of Berkeley U.), Savas Domopoulos (Dept. of Phys of Stanford U.) and Georgi Dvali (Dept. of Phys. Of new-York Univ.), reference [43] and references [37] to [42] .
Assume the universe is the two-folds cover of a M4 manifold.
Fig.
12
: Two folds cover of a manifold
.
We get a point-to-point mapping, linking two "conjugated points" Mand
M, which can be described by a same system of coordinates
We can give this non simply connected two-folds cover a metric structure (similar to the two-points bundle of a manifold M4). We can give a manifold any number of distinct metrics. Each defines a metric space.
The underlying manifold gives a point-to-point mapping, linking all the points of these metric spaces. We get two coupled metric spaces Fand
F.
Here we take two riemanian metrics with the same hyperbolic signature
(+ - - - )
. We call the metrics
g
and
g
.
From these two metrics we can build geodesics systems but, as Fand
Fand disconnected, the two families of geodesics are disconnected. As a conclusion, if these metrics give null-geodesics and if one assume that light travels along them in both folds, any structure of a given fold will be
geometrically invisible
from the other one.
In classical General Relativity one considers a single fold, associated to the field equation (Einstein equation)
Then, non-steady solutions, corresponding to homogeneous and isotropic conditions give the Friedman models. Steady-state solutions, while spherical symmetry gives the internal Schwarzschild solution (16), from the equation
where
Tis a constant tensor field, inside a sphere whose radius is r
o
.
The external Schwarzschild solution (18) comes from
S = 0
with spherical symmetry too.
The choice of a field equation is an a priori choice. If metric solutions are asymptotically flat, Lorentzian, it ensures the validity of Special relativity in vacuum. If one makes an expansion into a series around a Lorentz metric, in steady state conditions, the field equation can be identified to Poisson equation
In addition, the Newtonian approximation provides the Newton law of interaction. Friedman models, corresponding to solutions of the field equation, provide a redshift, which is observed. Locally, the bending of light rays at the vicinity of the sun as well as the precession of Mercury's perihelion are observed too. But recently some discrepancy between Friedman models and Hubble's constant measurements lead today the cosmologists to reintroduce a non-zero cosmological constant, corresponding to some mysterious "repulsive power of vacuum".
Now, return to the two-folds structure. Introduce two tensor fields
Tand
Twhich are supposed to describe the contents of folds Fand
F. From metrics
g a
nd
g
we can define derive geometric tensors
Sand
S. We can link the four tensors
S,
S,
T,
Tinto a system of two coupled field equations, inspired by Einstein equation
First geometrical interpretation of the dark matter phenomenon.
Consider the following coupled field equations:
Basically, they are identical, so that
g
identifies to
g
: the image of a geodesic of fold Fbecomes a geodesic of fold
F. We get two "parallel" universes, which interact only through gravitational force. Dark matter can be composed by atoms, neutrons, protons, photons, identical to ours, except we cannot observe twin matter on geometrical grounds. If we study the Newtonian approximation, we get the following Poisson equation :
In this model :
-
matter attracts matter
-
twin matter attracts twin matter
-
matter and twin matter attract each other.
But this does not solve all the observational data : even if some geometrically invisible dark matter would lie in the adjacent portion of our universe, near by the Abell 1942 cluster, this does not explain why this attractive force field would not capture our own galaxies and gas, lying in our fold of the universe. That's for we deal with the following set of equations (reference
[ 3 ]
and
[ 4 ]
) :
Second geometrical interpretation of the dark matter phenomenon.
Consider the following coupled field equations system :
Notice this definitively not imply
g
= -
g
. The Newtonian approximation supports the assumptions of section 3. We get the following Poisson equation :
We prefer to consider that the twin universe, the twin fold, is filled by intrinsically positive mass matter and that the minus sign in the field equation gives it the appearance of a negative mass for an observer located in our fold. Then we may call it "apparent mass". The symmetry of system (29) plus (30) makes the definition of positive and negative energies purely arbitrary. What about the classical local check of the RG ? In this new model :
-
matter attracts matter,
through Newton law. -
twin matter attracts twin matter through Newton law.
-
matter and twin matter repel each other through an "anti-Newton
law".
The solar system is a very dense portion of the universe. In the adjacent portion of the twin fold, twin matter is pushed away. Then the system is very close to :
The first equation identifies to Einstein equation, so that all the classical verifications fit. . What about gravitons ? Which path do they follow ? The answer is composed by two arguments :
-
Field equations provide macroscopic description of the universe, which
ignores the existence of particles and just gives geodesic systems. -
By the way : what's a graviton ?
Notice that recently [
49], anomalous long-range (negative) acceleration has been evidenced for space probes Pioneer 10 and Pioneer 11, at long distance from the sun (40-60 AU). An unmodelled acceleration, directed
towards
the Sun, (8.09
±
0.20 )
x 10 -8
cm/s 2
for Pioneer 10 and (8.56
±
0.15)
x 10 -8
cm/s 2
for Pioneer 11, was evidenced and described as a
not-understood viscous drag force
. Similarly, and unmodelled acceleration towards the sun was found for
the probe Ulysse (12
±
3 )
x 10 -8
cm/s 2
. See complete discussion in this interesting paper. The authors say :
The paradigm is obvious : s is it dark matter or modification of gravity
. As the pointed out, if dark matter is called for explanation, it would correspond to a total dark matter amount > 3
x 10 -4
solar mass, which would be in conflict with the accuracy of the ephemeris. A 3d neutrino model also did not solve the problem
[
50]. Others try to modify the Newton law, adding a Yukawa force
[
51]. But
this anomalous acceleration is too large to have gone undetected in planetary orbits, particularly for Earth and Mars
. Then they focus on available Viking probes data and conclude :
But a large error would cause inconsistency with the overall planetary ephemeris . if the anomalous radial acceleration acting on spinning spacecraft is gravitational in origin, it is not universal. That is, it must affect bodies in the 1000 kg range more that bodies of planetary size by a factor 100 or more ( ), which would be a strange violation of the equivalence principle
. An alternative interpretation of this still puzzling phenomenon would be the action of weak repulsive twin matter distribution between stars, inside galaxies, which would form, as for spiral structure, a weak potential barrier. To be investigated.
The question of the repulsive power of vacuum. An alternative answer.
When we look to equation (29) we see that
Tacts like a "cosmological constant". It figures the "repulsive power of the twin universe", which can play a role in non-steady coupled solutions. Assumption of homogeneity and isotropy gives the Riemanian metrics the well-known Robertson-Walker form, as follows :
The radial distances between conjugated points (same u, an non-dimensional "radial distance", with respect to an arbitrary point) are not automatically equal :
r = Ru
.......................
r = Ru
The choice of coordinates remains free, in each fold, where we can define different cosmic times :
.
t
et
t R = c T R R = c T R
We put the field equations into their non-dimensional forms, using :
Following, these tensors, written in their non-dimensional forms :
At the end, we get four second order coupled differential equations (instead two, in the classical approach). :
We need some additional hypothesis. Assume that the two universes have "parallel lives" during their radiative epoch, i.e :
which impose negative curvature indexes ( k = k
= -1 ). After decoupling we neglect the pressure terms (dust universes) :
from which we get immediately :
Introducing the mass-conservation in both folds :
the system becomes :
Notice that
R = R
gives
R" =
R"
= 0.
On another hand, if the two universes were "fully coupled", i.e.
R /R
= constant, this peculiar solution would correspond to Friedmann models, with "parallel evolutions". But we consider that they are coupled by gravitational field, through (54-a) and (54-b), which shows that the linear expansion is unstable. If, for an example, if
R>
Rthen
R" > 0
and
R"
< 0 .
The system can be numerically solved. The typical solution corresponds to figure
13. The numerical values have been chosen in order to fit the initial condition
for VLS numerical simulation. The law of evolution, for the radiative epoch will be justified in section 15.
Fig.
13
: The evolution of the scale parameters of the universe and twin universe.
We see that this system of two universes interacting through gravitational force is unstable. If one universe goes faster, pushed by his twin, the other one slows down. The observed acceleration of our universe is then caused bay the "repulsive power of its twin universe". The histories of the two differ. Ours is cooler and more rarefied. The twin is warmer and denser. This justifies the assumption of section 2, which determines the VLS.
What could be the evolution of our twin universe ? As we have seen, it is filled by huge clumps of twin matter which look like huge proto-stars, whose cooling time is fairly larger than the age of the universe. Fusion does not occur in the twin universe. We think after first nucleo-synthesis, it remains filled by hydrogen and helium. Life phenomenon would not exist in the twin universe.
Newtons law and Poisson equation.
In classical General Relativity the Newton law and the Poisson equation can be derived from Einstein field equation, considering an almost steady state and almost Lorentzian metric solution. Here, we have two perturbed metrics, written in non-dimensional coordinates
h
(time) ,
z a
(space)
Expanding the two field equations into series, and considering an almost uniform universe we get
Introduce a non-dimensional gravitational potential :
Defining a non-dimensional Laplacian operator :
we get a non-dimensional Poisson equation :
The classical method of identification gives the Newton law. In fold F :
In fold
F:
The gravitational potential acts differently on a
(m = +1 ) test-particle. Depends the fold it belongs to. In general a (m= +1) particle located in fold Fgives the following contribution the the (non-dimensional) gravitational potential.
As we can see, the system of coupled field equations determines completely the dynamics of the system, corresponding to Newtonian approximation, as introduced as an hypothesis in the beginning of the paper. In the model the velocities of light c and
c
may be different (and we think they are). Using the dimensional quantities introduced in section 11 we may return to dimensional laws, as following :
The Newton law, expressed in the two folds, becomes :
The Poisson equation can be expressed indifferently in both folds 13)
Scalar curvatures .
What is the geometrical meaning of the system (29) plus (30) ? The scalar curvatures Rand
Rare opposite. We may give a didactic image of this new geometrical framework. First, remember that the structure corresponds to a two-folds cover of a manifold. We get two distinct folds, with coupled metrics
g
and
g
. They are note independent, for they are solution of the field equation system. They produce their own system of geodesics and the image, in fold
F, of a geodesic of fold Fis not a geodesic of that twin fold
F. Light follows null-geodesics in both folds, but no null-geodesic links the two, so that the structure of one fold are geometrically invisible for an observer located in the other one. Assume now a mass is present un fold F, while the adjacent portion of fold
Fis empty. The corresponding field equations system would be :
Assume this mass distribution corresponds to a sphere with radius r
o
, filled by constant density material, and surrounded by void. Then the geometry, in fold F, is steady state is assumed, corresponds to two linked Schwarzschild solutions (internal and external). They are solutions of equation (68). In fold
Fwe get a
conjugated geometry
, with opposite scalar curvature
R
= - R. Outside the sphere (and outside the corresponding adjacent space in fold
F) R =
R
= 0. Inside the scalar curvatures are constant. The didactic model corresponds to a blunt posicone, associated to a blunt negacone, as shown on figure 15. In a blunt posicone the central portion is a portion of a sphere.
Fig
.14 :
A mass is present in the fold F. Induced negative curvature in fold
FIn un blunt negacone the associated region corresponds, in this 2d didactic image, to a horse saddle. Below, a plane which figures how an observer located in fold Fconceives this. He can observe both the mass M (grey disk) and the path of a mass cruising in his fold, attracted by this mass , this path, in this Euclidean representation corresponding to the projection of a geodesic of the blunt posicone. The observer cannot see the path of a particle of twin matter, cruising in the twin fold
Fand repelled by the mass.
Now, assume the mass is located in the fold
F, in the twin space. The situations are reversed. See on figure 15. Following this 2d didactic image, the fold Fis shaped as a blunt negacone, while the fold
Flooks like a blunt posicone.The geometry of F, close to the geometrical centre of the system evokes the vicinity of a twin matter clump located at the centre of a cell in the VLS. Light travelling in our fold can cross it, but it is sprayed. As evoked in section 3 and on figure 7 it implies that the clumps diameters could not be larger than a certain value, to be computed, in order to fit the available observations. Below : two plane representations showing Euclidean projections (how an observer could conceive the phenomenon, when located in fold For in fold
F).
Fig
.15 :
A mass of twin matter is present in the fold
F, while the fold Fis empty.
It produces a negative (induced) curvature in F.
Paper's Summary
