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हम बर्गमैन समूह के कोणीय संवेग के घटकों को लिखने वाले नहीं हैं। संक्षेप में, बर्गमैन समूह के कोणीय संवेग को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:
J B = { एक स्केलर m, और कोणीय संवेग के अन्य घटक }
संयुग्मी क्रिया
यह बताती है कि कोणीय संवेग के विभिन्न घटक कैसे परिवर्तित होते हैं। लेकिन यह संयुग्मी क्रिया सरल संबंध से शुरू होती है:
(63)
m' = m
बर्गमैन समूह की संयुग्मी क्रिया अपने कोणीय संवेग पर द्रव्यमान को संरक्षित करके शुरू होती है, जिसके परिणामस्वरूप द्रव्यमान एक शुद्ध भौतिक ज्यामितीय स्थिति में उभरता है।
पोइंकारे समूह के अपने कोणीय संवेग अंतरिक्ष Jp पर संयुग्मी क्रिया का निर्माण।
यदि आप पहले से ही बहुत भ्रमित हो गए हैं, तो इसे छोड़ दें। यह सामान्य है और पन्नों के साथ यह और अधिक कठिन होता जाएगा। इस बिंदु पर मैं अब निर्धारित नहीं कर सकता कि यह लेख किसके लिए है। निश्चित रूप से यह सैद्धांतिक भौतिकी के विद्यार्थियों या गणितज्ञों के लिए है, लेकिन निश्चित रूप से किसी नल या चांदी वाले के लिए नहीं। लेकिन एक बड़े विद्यालय या भौतिकी की स्नातक कक्षा का छात्र, जो लगातार चलता रहे, इसे अनुसरण कर सकता है। ये सिर्फ मैट्रिक्स हैं।
सब कुछ (4,4) आकार के मैट्रिक्स समूह से शुरू होता है, जो लोरेंत्ज समूह है, जिसका तत्व L है।
इनकी परिभाषा एक मैट्रिक्स G से अक्षय रूप से निर्धारित होती है:
(64)
निम्नलिखित द्वारा:
(65)
t L G L = G
जहाँ t L मैट्रिक्स L के प्रतिलोम को दर्शाता है।
मैट्रिक्स L एक समूह बनाती है।
प्रमाण
.
तत्व तत्व लगभग L = 1 है:
मान लीजिए कि L1 और L2 समुच्चय के दो तत्व हैं। जांचें कि गुणन L1 L2 समूह में है या नहीं। यदि ऐसा है:
t (L1 L2) G L1 L2 = G
लेकिन:
t (A B) = t B t A
इसलिए:
t (L1 L2) G L1 L2 = t L2 t L1 G L1 L2 = t L2 (t L1 G L1) L2 = t L2 G L2
अब मैट्रिक्स L का व्युत्क्रम निकालें। हम L की अक्षय परिभाषा से शुरू करते हैं:
t L G L = G
हम दाईं ओर L⁻¹ से गुणा करते हैं:
t L G L L⁻¹ = G L⁻¹ ⇒ t L G = G L⁻¹
अब बाईं ओर G से गुणा करते हैं:
G t L G = G G L⁻¹ ⇒ G t L G = L⁻¹
इसलिए मैट्रिक्स L का व्युत्क्रम है:
L⁻¹ = G t L G
अतः:
(66)
स्थान-समय सदिश। मैट्रिक्स G मिंकोव्स्की मेट्रिक्स से आती है, जिसे निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है (c = 1 के साथ):
(67)
अभ्यास: दिखाएं कि मैट्रिक्स व्युत्क्रम निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:
(68)
अब हम एक स्थान-समय स्थानांतरण सदिश परिभाषित करते हैं:
(69)
जिसके आधार पर हम पोइंकारे समूह के तत्व gp बनाते हैं:
(70)
अभ्यास: दिखाएं कि यह एक समूह बनाता है और व्युत्क्रम मैट्रिक्स निकालें:
(71)
नीचे दिए गए "समूह के स्पर्श रेखा सदिश, इसके 'ली बीजगणित' का तत्व":
(72)
इसके आधार पर हम विपरीत क्रिया की गणना करेंगे:
(73)
d g p' = g p⁻¹ x d g p x g p
गणना की सुविधा के लिए, हम नोट करते हैं कि:
(74)
G d L एक विषम-सममित मैट्रिक्स है। इसे हम निम्नलिखित रूप में नाम देते हैं:
(75)
इसलिए:
(76)
हम निम्नलिखित रखते हैं:
(77)
इस सामग्री के आधार पर हम विपरीत क्रिया निर्मित करेंगे:
(78)
d g p' = g p⁻¹ x d g p x g p
सभी गणना के बाद हमें निम्नलिखित अनुप्रयोग प्राप्त होगा:
(79)
यदि आप इस मैट्रिक्स गणना के भाग को छोड़ना चाहते हैं, तो समीकरण (80) पर जाएं, पृष्ठ के नीचे
(79a)
(79b)
इससे विपरीत क्रिया के तत्व प्राप्त होते हैं:
(79c)
लेकिन:
(79d)
इसलिए:
(79e)
लेकिन GG = 1
इसलिए:
(79f)
जिससे हम अनुप्रयोग प्राप्त करते हैं:
(79g)
जो अभी तक खोजी गई विपरीत क्रिया है, अनुप्रयोग:
(80)
"समूह और भौतिकी" के उप-सारांश की ओर लौटें