समूह और भौतिकी सह-क्रिया गति संवेग

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(91)

इस सह-क्रिया को मैट्रिक्स रूप में लिखा जा सकता है।

पोइंकारे समूह की मैट्रिक्स है:

(92)

इसका प्रतिलोम है:

(93)

मान लीजिए कि मैट्रिक्स है:

(94)

अर्थात हम आवेग को

(95)

Jp = {

M,

P }

मैट्रिक्स रूप में लिखेंगे और गुणनफल बनाएंगे:

(96)

(97)

(98)

जिसे मैं मैट्रिक्स के रूप में पहचान सकता हूँ:

(99)

इसलिए Jp पोइंकारे समूह का आवेग है, जिसे मैट्रिक्स रूप में लिखा गया है। और सह-क्रिया इस प्रकार लिखी जा सकती है:

(100)

अभ्यास के रूप में, पाठक अभिधारणाओं पर आधारित यह सत्यापित कर सकता है कि यह वास्तव में एक

क्रिया

है।

पोइंकारे समूह का आवेग निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

(101)

यह मैट्रिक्स विषम-सममित है (जिसके कारण इसके मुख्य विकर्ण पर शून्य होते हैं)।

M मैट्रिक्स है:

(102)

इसे स्पष्ट करें:

(103)

यह वास्तव में एक विषम-सममित मैट्रिक्स है, जो शुरू से ही मानी गई थी, जो छह पैरामीटरों पर निर्भर करती है:

(104)

( lx , ly , lz , fx , fy , fz )

अंतिम तीन ( fx , fy , fz) एक सदिश के घटक हैं, सदिश-

स्थानांतरण f

:

(105)

पहले तीन ( lx , ly , lz) एक (3,3) विषम-सममित मैट्रिक्स के स्वतंत्र घटक हैं, जिसे

घूर्णन l

कहते हैं:

(106)

इस प्रकार:

(107)

सदिश

P एक

चतुर्विमीय संवेग-ऊर्जा सदिश

है:

(108)

तब हम पोइंकारे समूह के आवेग को सार्वभौमिक रूप में स्पष्ट कर सकते हैं:

(109)

यह सत्यापित किया जा सकता है कि यह दस घटकों वाला एक वस्तु है (समूह के आयामों की संख्या के बराबर)।

(110)

Jp = { E , p

x

, p

y

, p

z

, f

x

, f

y

, f

z

, l

x

, l

y

, l

z

} = { E ,

p , f , l

}

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