इटैलियन: एंड्रिया सम्बुसेटी, रोम विश्वविद्यालय
यहां क्लिक करें
1:1 पैमाने पर मॉडल के ड्राइंग को दिखाने के लिए, जिसे प्रिंट करके काटा जा सकता है।
दो अलग-अलग रंगों के ब्रिस्टल कार्ड पर चार प्रतियां फोटोकॉपी करके, आप स्वयं मॉडल बना सकते हैं,
जिसके लिए आपको माउंटिंग के निर्देशों का पालन करना होगा।
आपने निश्चित रूप से इस वेबसाइट के शुरुआती पृष्ठ के बाएं ओर अपनी निरंतर घूमती हुई अजीब वस्तु को देखा होगा। यह क्या है?
एक दिन, जब मुझे समय मिलेगा, मैं इस वेबसाइट पर गोले के उलटने का वर्णन स्थापित करूंगा, जैसा कि मैंने जनवरी 1979 के Pour la Science संख्या में इसे चित्रित किया था, अर्थात... 22 साल पहले! इसके लिए बहुत विवरणों और एक परिचय की आवश्यकता होगी। "गोले को उलटना" का क्या अर्थ है? आम आदमी के लिए गोला एक ऐसा स्थान है जहां एक निश्चित बिंदु O से दूरी R पर स्थित बिंदु होते हैं। लेकिन ज्यामितिज्ञ अभी भी एक "विकृत गोला", जैसे एक आलू, के लिए भी "गोला" कहते रहेंगे। इन अवधारणाओं को अधिक सटीक रूप से समझने के लिए, आपको Lanturlu के CD में फैंटम "टॉपोलॉजिकॉन" प्राप्त करना चाहिए। लेकिन गणितज्ञ और अधिक आगे बढ़ते हैं। जब किसी बिंदु पर एक स्पर्श तल परिभाषित किया जा सकता है, तो एक सतह को "नियमित" कहा जाता है। इससे पहले ही गोले के अनंत नियमित विकृतियों के असंख्य रूपों के बारे में सोचना संभव हो जाता है, जैसे आलू के अनंत आकार, जिसमें सतह का क्षेत्रफल भी अनियमित रूप से बदला जा सकता है। इसके बावजूद, हमारे भौतिक ब्रह्मांड में, गोले को उलटने की कोशिश करने वाला व्यक्ति अपनी सतह को आत्म-पार करने में असमर्थ होगा। जब इस मान्यता को लागू किया जाता है, अर्थात सतह के आत्म-पार या यहां तक कि स्पर्श करने की अनुमति नहीं है, तो गणितज्ञ गोले S2 के "एम्बेडिंग" की बात करते हैं। लेकिन गणितज्ञ हमेशा सब कुछ करने की अनुमति लेते हैं। उनके लिए गोला एक "काल्पनिक" वस्तु है, जिसमें एक तल के आत्म-पार करना संभव माना जाता है। नीचे दिए गए ड्राइंग के अनुक्रम एक आत्म-पार करते गोले को दिखाते हैं। ऐसी प्रतिनिधित्व, जिसमें आत्म-पार की अनुमति है, को "इमर्शन" कहा जाता है।
इमर्शन के पास आत्म-प्रतिच्छेदन का एक सेट होता है (यहां एक सरल वृत्ताकार वक्र है)। हालांकि, स्पर्श तल को निरंतर बदलना चाहिए। इस प्रारंभिक बात के बाद, जब आप ऊपर दिए गए ड्राइंग को देखते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है कि यह सतह के एक हिस्से को बाहर ले जाता है (हरे रंग में दर्शाया गया)। उलटने को पूरा करने के लिए, इस तरह के एक भाग को दबाना होगा। यहां एक समस्या दिखाई देती है: इस दबाव से स्पर्श तल की निरंतरता नष्ट हो जाएगी, और ऐसा रूपांतरण में एक ऐसा चरण होगा जो एक इमर्शन नहीं होगा।
एक दिन अमेरिकी गणितज्ञ स्टीफन स्मेल ने साबित किया कि "S2 गोले की एक ही इमर्शन वर्ग है।" यह रहस्यमय वाक्य का निष्कर्ष यह था कि एक ऐसे रूपांतर के माध्यम से गोले को "मानक" से उसके "एंटीपोडल" प्रतिनिधित्व में ले जाया जा सकता है, जहां प्रत्येक बिंदु अपने विपरीत बिंदु के साथ बदल दिया जाता है: सरल शब्दों में... एक उलटा गोला। राउल बॉट स्मेल के नेतृत्व में थे। इस तथ्य की औपचारिक साबिती इतनी स्पष्ट लगी कि कोई भी इस उलटने की क्रिया को वास्तविक रूप से करने में सक्षम नहीं लगता था। बॉट स्मेल से लगातार पूछते रहे, "मुझे बताइए कि आप इसे कैसे करने की सोच रहे हैं"; जिस पर स्मेल, जिनकी बात बहुत सीधी थी, जवाब देते थे, "मुझे इसके बारे में कोई धारणा नहीं है।" बाद में स्मेल को गणित के नोबेल के बराबर माने जाने वाला फील्ड पुरस्कार मिला। बीच में, आप शायद पूछेंगे कि गणित के लिए नोबेल पुरस्कार क्यों नहीं है। उत्तर सरल है: उनकी पत्नी एक गणितज्ञ के साथ भाग गई थी।
इस तरह की चीजें बहुत सालों तक ऐसी ही रहीं, जब तक कि अमेरिकी गणितज्ञ एंथनी फिलिप्स ने 1967 में साइंटिफिक अमेरिकन में इस उलटने की पहली, बहुत जटिल वर्जन प्रकाशित नहीं की। दूसरा वर्जन 1970 के शुरुआती दशक में फ्रांसीसी गणितज्ञ (अंधे) बर्नार्ड मोरिन द्वारा खोजा गया। मैंने इस रूपांतरण के अनुक्रम के ड्राइंग बनाने में पहला था, जिसके बारे में मैंने आपको यहां एक नजदीकी लेख के रूप में घोषणा कर दी थी, जो बहुत विस्तृत होगा। हालांकि, यह सब हमें एक विचार की ओर ले जाता है। सतहों को बहुफलकीय रूप में दर्शाया जा सकता है। एक घन या चतुष्फलक गोले के बहुफलकीय प्रतिनिधित्व माने जा सकते हैं, जिसका अर्थ है कि इन वस्तुओं में एक ही टॉपोलॉजी है। इस बिंदु पर, मेरे Topologicon को देखें। इसके अलावा, यह स्पष्ट हो जाता है कि यदि गोले को उलटा जा सकता है, तो घन को भी उलटा जा सकता है। बर्नार्ड मोरिन द्वारा खोजी गई रूपांतरण (जिसे मैंने जनवरी 1979 के Pour la Science में लेख में चित्रित किया था) के माध्यम से एक मध्यवर्ती मॉडल है। इस अनुक्रम में एक सममिति है। मैं इसे "चार कान वाला मध्यवर्ती मॉडल" कहता हूं। मैं अगले कुछ बातों को आगे बढ़ा रहा हूं। हालांकि, जैसे गोले को बहुफलकीय रूप में दर्शाया जा सकता है, उसी तरह इस रूपांतरण के आगे के चरणों को भी बहुफलकीय रूप में दर्शाया जा सकता है। जो चीज आप मेरे शुरुआती पृष्ठ पर घूमते देख रहे हैं, वह गोले के उलटने के मध्यवर्ती मॉडल का बहुफलकीय रूप है, जिसे मैंने लगभग दस साल पहले खोजा था। ऐसे बहुफलकीय मॉडल का आकर्षण यह है कि उन्हें समतल सतहों के साथ बनाया जा सकता है। उन्हें कागज और कैंची से भी बनाया जा सकता है। नीचे दिए गए ड्राइंग को देखें (मैं यहां अपने मित्र क्रिस्टोफ तार्डी का आभार व्यक्त करता हूं, जिन्होंने सही आकार के तत्व तैयार किए)।
बड़ा
यह एक माउंटिंग योजना है, जिसका एक सामान्य दृश्य यहां दिखाया गया है। लेकिन इसे प्रिंट करने के लिए आपको डिकॉजेज पृष्ठ पर जाना चाहिए। उसे प्रिंट करें। फिर, अपनी प्रिंटर पर सामान्य कागज पर प्रिंट की गई इस प्रति के साथ, इसकी चार प्रतियां बनाएं, दो हरे रंग के ब्रिस्टल कार्ड पर और दो पीले रंग के पर। इन काटने योग्य शीटों के माध्यम से आप घन के उलटने के मध्यवर्ती मॉडल को बना सकते हैं।
काटने योग्य तत्वों पर अक्षरों के जोड़े हैं: a, b, c, d, e, f आदि... बस उस शीट को मोड़ें ताकि समान अक्षर एक साथ आएं, फिर उन्हें पारदर्शी टेप से जोड़ दें। आगे दिए गए ड्राइंग चार तत्वों में से एक को जोड़ने के तरीके को दिखाते हैं। सबसे पहले, आपको चार तत्वों में से एक को मोड़ने का तरीका यहां दिखाया गया है:
यहां चार तत्वों में से दो हैं, जो अलग-अलग कोणों स