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(positive) Courbure.****
Lorsque nous traçons un triangle, à l’aide de notre ruban adhésif, sur un plan, la somme des valeurs des angles est de 180°. Il s’agit d’une surface euclidienne. Nous dirons qu’elle ne contient aucune courbure. Elle est véritablement une surface plane. La somme des angles de notre triangle est la somme euclidienne. Lorsque nous avons tracé le triangle sur notre cône, notre « posicone », et que le sommet S était à l’extérieur, la somme était encore de 180°. À l’inverse, lorsque le sommet était à l’intérieur, la somme était de 180° plus l’angle q (l’angle de découpe que nous avons pu réaliser pour construire notre posicone, voir figure (8)).
Ce sommet est un point particulier de la surface, un point conique, et nous dirons qu’il contient une certaine courbure (positive) concentrée. C’est un point de courbure concentrée (positive).
Nous pouvons maintenant effectuer deux découpes, correspondant aux angles q1 et q2. Voir figure (13). Nous obtenons alors une surface étrange possédant deux points coniques S1 et S2. Voir figure (14).
(13)
(14)
Vous pouvez maintenant tracer autant de triangles géodésiques que vous le souhaitez, correspondant à différents cas.
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S’ils ne contiennent aucun sommet conique, la somme des angles est de 180°.
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S’ils contiennent le sommet S1, la somme est de 180° plus q1.
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S’ils contiennent les deux sommets, q1 et q2, la somme est de 180° + q1 + q2
(15)
Imaginez maintenant que vous puissiez fabriquer un grand nombre de petits posicones et les coller ensemble, comme indiqué sur la figure (16). Chaque petit posicone correspond à un angle élémentaire Dq. Vous pouvez disposer ces petits cônes de manière régulière. Je veux dire : la distance entre un sommet et les sommets des petits cônes voisins serait presque constante partout.
(16)
Si vos petits cônes deviennent de plus en plus petits, ainsi que leur angle élémentaire associé Dq, vous construirez une portion de surface régulière à densité de courbure constante.
Une sphère est une surface à densité locale de courbure constante. Autrement dit, on dit que la sphère est une surface à courbure constante.
Si vous disposez vos petits cônes différemment, vous pouvez construire une surface à densité locale de courbure variable. Par exemple, un œuf. L’œuf d’une poule est une surface à densité locale de courbure variable. Mais une balle de ping-pong est une surface à densité de courbure constante. C’est ainsi que la poule reconnaît son œuf et fait la différence avec la balle de ping-pong. Elle traçant des géodésiques avec du ruban adhésif, etc...
En réalité, la poule ne dessine pas physiquement des géodésiques sur l’objet. Elle le fait mentalement.
(17)
En relativité générale, on identifie la densité de masse r à la courbure locale.
Bien sûr, le terrain de la relativité générale n’est pas une surface à 2 dimensions. Vous pouvez imaginer une hypersurface à 3 dimensions. Vous pouvez imaginer une hypersphère à 3 dimensions. Mais qui peut imaginer une hypersurface à 4 dimensions ?
D’ailleurs, la courbure à 4 dimensions de l’hypersurface à 4 dimensions appelée « univers » possède des caractéristiques spéciales que nous n’allons pas explorer ici. Cela montre que les modèles didactiques ont leurs limites. Mais ils sont bons pour stimuler l’imagination et ouvrir l’esprit vers des mondes un peu différents.
Version originale (anglais)
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(positive) Curvature.****
When we draw a triangle, using our sticky tape, on a plane, the sum of the angles' value is 180°. This is an euclidean surface. We will say that it contains no curvature. It is really a flat surface. The sum of the angles of our triangle is the euclidean sum. When we drew the triangle on our cone, our "posicone", and when the summit S was outside it, the sum was still 180°. Oppositely, when the summit was inside, the sum was 180° plus the angle q (the cut we managed to build our posicone, see figure (8)).
This summit is a peculiar point of the surface, a *conical *one and we will say that it contains some (positive) concentrated curvature. Its a concentrated (positive) curvature point.
Now we can manage two cuts, corresponding to angles q1 and q2 . See figure (13). Then we get some strange surface with two conical points S1 and S2. See figure (14).
(13)
(14)
Now you can draw as many geodesic triangles you want, correspnding to different cases.
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If they contain no conical summit, the sum of the angles is 180°.
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If they contain the summit S1 , the sum is 180° plus q1.
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If they contain the two summits, q1 and q2, the sum is 180° + q1+ q2
(15)
Imagine now that you can make a large number of tiny posicones and glue them together, as shown on figure (16). Each tiny posicone corresponds to an elementary angle Dq . You can arrange these mini-cones in a regular way. I mean : the distance between a summit and summits of the neighbours' mini cone would be almost constant everywhere.
(16)
If your mini-cone get smaller and smaller, as well as their associated elementary angle Dq , you will build a portion of regular surface with constant curvature density.
A sphere is a surface with constant local curvature density. In a simpler way, on says that the sphere is a constant curvature surface.
If you arrange your mini-cones differently, you can build a variable local curvature density surface . For an example an egg. The egg of a hen is a variable local curvature density surface. But a ping-pong ball is a constant curvature density surface. That's so that the hen recognizes its egg and makes the difference with the ping-pong ball. It draws geodesics with sticky tape, and so on...
In fact, the hen does not physically figure geodesics on the object. It does it mentally .
(17)
In general relativity one identifies mess density r to local curvature.
Of course the general relativity playground is not a 2d surface. You can imagine a 3d hypersurface. You can imagine a 3d hypersphere. But who can imagine a 4d hypersurface ?
By the way, the 4d curvature of the 4d hypersurface called "universe" has special features we are not going to explore here. This shows that didactical models are limited. But they are good to stimulate the imagination and to open the mind towards somewhat different worlds.