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Espace
de représentation.

...On
avait vu qu'un cylindre était une surface développable. Prenez
maintenant une feuille de papier. C'est une surface plane, euclidienne. Ses
géodésiques sont des droites. Tracez quelques droites sur cette
feuille, puis chiffonnez-la.

...Si
vous pouviez rigidifier cette surface plane chiffonnée, vous vous apercevriez
que cette opération n'a nullement modifié la distribution de
ses géodésiques, que vous pourriez tracer de nouveau avec votre
ruban adhésif. Vous avez simplement joué avec le mode de représentation
de ce plan dans son espace de plongement tridimensionnel.

Une façon moins
compliquée de procéder consiste à transformer une tôle
en...tôle ondulée :

Géodésiques
: inchangées.

...Les
objets géométriques existent indépendamment de la façon
dont nous nous les représentons, indépendamment de leur espace
de représentation .

...Nous
sommes censé habiter dans une "hypersurface quadridimensionnelle" :
l'espace temps. La Relativité Générale consiste à
essayer de construire sa géométrie, en tant que solution d'une
équation de champ, puis à "lire" cette géométrie,
en analysant les géodésiques de l'hypersurface. Il est évident
qu'il n'est plus question alors d'espace de représentation. Pour ce
faire il faudrait disposer d'une vision dans cinq dimensions, que nous ne
possédons pas.

...En
pratique, nous utilisons des coordonnées qui sont celles de l'espace
euclidien, de projection. Imaginons que nous recherchions une solution géométrique
propre à décrire l'espace temps au voisinage d'un corps massif
et à l'intérieur de celui-ci. Nous allons supposer que le système
possède la symétrie sphérique. De plus nous supposerons
que ce système est stationnaire (ou quasi-stationnaire).

...Nous
utiliserons alors les coordonnées sphériques (r ,
q , j) . En deux dimensions, nous n'en aurons que deux et notre symétrie
sera circulaire. Nous utiliserons alors le système des coordonnées
polaires du plan :

...Ce
modèle du corps émoussé est une image didactique 2d d'une
solution stationnaire qui existe effectivement en Relativité Générale
et qui a été inventée par l'autrichien Schwarzschild,
en 1917, en tant que solution particulière de "l'équation d'Einstein"
:

S = c T

déjà présentée plus haut. Cette solution est
intelligente et subtile. Au plan calcul, elle n'est pas simple à construire.
Cette précision pour tenter de dissiper un mythe : celui d'un Einstein,
génie isolé dans le monde de son temps, peuplé d'ignorants.

...A
partir de cette solution on montre alors qu'il existe, autour d'une masse
possédant la symétrie sphérique des géodésiques
planes , situées dans des plans, et on sait calculer leur forme
: r = f (q). Ces trajectoires (ou du moins leur
projection dans notre espace mental de représentation, euclidien) sont
"quasi Keplériennes" et les lois de Kepler apparaissent alors comme
une approximation, lorsque la masse qui crée cette géométrie
(dans la vision newtonienne, cette "force") reste modérée, c'est
à dire que la courbure locale, dans cette masse, reste faible.

...Cette
solution est un des pivots de la Relativité Générale
et, bien que cela ne puisse pas être évoqué par de simples
images didactiques comme celles que nous offrons au lecteur, c'est elle qui
permet de prévoir et de calculer par exemple l'avance du périhélie
de Mercure. Einstein se servit de cette solution pour expliquer cet effet,
déjà connu et récolta du même coup tous les lauriers
de ce qu'on appela désormais "la théorie d'Einstein". Pourquoi
Schwarzschild n'exploita-t-il pas lui-même sa découverte ? Parce
qu'il tint absolument à s'engager et à partir sur les tranchées,
où il fut gazé et mourut peu après.

...On
n'est d'ailleurs pas très sûr que cette célèbre
équation d'Einstein est bien de lui. Apparemment elle lui aurait été
suggérée par le grand mathématicien Hilberth. Einstein
n'accueillit pas non plus avec enthousiasme la découverte ultérieure
du russe Friedmann, qui découvrit, lui, la solution instationnaire
de l'équation de champ permettant de décrire l'évolution
de l'univers. Même chose, en 1921 pour les travaux du jeune mathématicien
Kaluza, dont les travaux, redécouverts, constituent maintenant le point
de départ de la théorie des supercordes. Ces choses sont scientifiquement
de peu d'intérêt et ne diminuent en rien la valeur d'Einstein,
mais montrent que l'esprit sportif ne va pas forcément avec la valeur
scientifique d'un individu.

Dans la solution développée
par Schwarzschild, techniquement, l'espace est en deux parties. A l'intérieur
de l'astre la densité de matière r est
supposée constante. Le tenseur énergie-matière T,
qui en dépend, est également non nul. A l'extérieur
r et
T sont nuls.

...Cette
géométrie composite est donc solution de deux équations
différentes, avec ou sans second membre. La densité de matière
présente une discontinuité à la surface de l'astre (c'est
également le cas pour le couple solution de Schwarzschild "intérieure"
et solution de Schwarzschild "extérieure". Dans ce cas l'astre est
une sphère de densité constante et celle-ci tombe brutalement
à zéro à la surface de l'astre). Mais la continuité
des géodésiques peut néanmoins être assurée,
à travers des conditions mathématiques dont l'image a été
donnée plus haut (raccord tronc de cône-calotte sphérique).

...Lorsque
la masse devient importante et les effets de courbure prononcés, les
trajectoires s'écartent alors plus nettement du modèle képlérien,
par exemple au voisinage d'une étoile à neutrons. Ci-après
l'avance du périhélie autour d'un tel astre (autour du soleil
l'ellipse trajectoire de Mercure avance de 0,15 degré par siècle).

...La
formule et le programme qui permettent de calculer ces trajectoires n'ont
d'ailleurs rien de compliqué. Nous les donneront un jour sur ce site,
pour les curieux.

...En
ce moment nous posons quelques jalons géométriques en vue de
discussions ultérieures, tout en rappelant que les modèles indiquées
n'ont qu'un caractère indicatif. .

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