Sebuah aksioma baru tentang grup **
--- **
...Souriau tinggal di sebuah apartemen di Aix tua. Pintu yang mengarah ke jalan sangat indah. Di ruang masuk terparkir kendaraan yang agak aneh: sebuah kursi berjalan zaman dulu milik pemilik tempat tinggal, seorang wanita yang, menurut saya, adalah seorang arkeolog. Kursi itu diletakkan di dinding. Tinggal mencari dua orang penjaga, memasukkan dua batang kayu panjang ke dalam cincin, lalu duduk untuk berkeliling. Bukaan kursi dilengkapi kaca: kaca samping bisa diturunkan, bukan dengan engkol, melainkan dengan menggerakkan tali kulit, seperti pada gerbong kereta api masa kecil saya.
...Sungguh menakjubkan. Saya sadar bahwa saya belum pernah naik kursi berjalan. Dalam masa pengangguran seperti sekarang, saya yakin banyak orang bisa mencari nafkah dengan menyediakan layanan kursi berjalan pertama yang rutin di Aix tua. Cukup membuat kendaraan menyerupai kursi zaman dulu. Ini pasti tidak terlalu sulit. Lalu, dapatkan dua pakaian bordir dan dua wig, lalu maju saja. Rute: Cours Mirabeau. Itu sudah cukup. Setelah itu, tinggal berimajinasi, bermimpi sedikit.
...Jean-Marie tinggal sendirian bersama kucingnya, Pioum, di apartemennya yang luas penuh ukiran emas dan panel kayu. Pioum sangat menggemaskan. Namun saya tidak terlalu tertarik pada kucing. Tapi kucing ini sangat ramah dan penuh kasih.
Kita biasanya bekerja di dapur, satu lantai di atas. Ruangan kecil di bawah atap yang sempit, kontras dengan ruang-ruang besar di lantai bawah. Setiap kali Jean-Marie berusaha membuat saya minum minuman kesukaannya: Fernet-Branca, yang dibuat dari artichoke, menurut saya sangat buruk, tetapi dia menganggapnya memiliki segala kebaikan.
...Ketika keluar kota, ia membawa GPS-nya, yang tak pernah lepas darinya. Sungguh menarik melihat diri sendiri diarahkan oleh satelit yang berjarak 40 ribu kilometer dari jalan tempat kita berjalan. Agar sinyal lebih baik, Souriau cenderung berjalan sejajar dengan jalan, mata terus tertuju pada layar kristal cair. Efektif, tampaknya, tetapi tetap cukup berbahaya.
...Saya merasa kita bersenang-senang bersama. Suatu malam Desember, saya mengunjunginya, dan berikut adalah percakapan yang terjadi.
-
Aku akan bicara tentang grup. Ingat aksioma-aksionya?
-
Ya, ada enam. Yaitu:
1 - Ada elemen a, b, c... yang termasuk dalam himpunan E
2 - Ada operasi internal, dinotasikan o ("lingkaran"), yang memungkinkan menggabungkan dua elemen dari suatu himpunan.
a termasuk dalam himpunan E
b termasuk dalam himpunan E
a o b termasuk dalam himpunan E
3 - Operasi ini bersifat asosiatif:
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - Ada elemen netral e sehingga:
a o e = e o a = a
5 - Setiap elemen a dalam himpunan memiliki invers, dinotasikan a⁻¹, sehingga:
a⁻¹ o a = a o a⁻¹ = e
Itu lima?
-
Akhirnya, lima, empat, atau satu. Tidak ada aturan mutlak dalam penomoran aksioma. Kita bisa menggabungkan aksioma 1 dan 2 menjadi satu:
-
Ada elemen a, b, c, dst., yang termasuk dalam himpunan E, dilengkapi dengan operasi komposisi internal yang memenuhi:
a termasuk dalam himpunan E
b termasuk dalam himpunan E
a o b termasuk dalam himpunan E
Ini setara.
-
Baik, lima, empat, tidak masalah. Apa maksudmu?
-
Aku akan menghilangkan aksioma 4 dan 5 yang menyatakan elemen netral dan invers, lalu menggantinya dengan aksioma sandwich. Secara keseluruhan, aksioma-aksionya adalah:
1 - Ada elemen a, b, c... yang termasuk dalam himpunan E
2 - Ada operasi internal, dinotasikan o ("lingkaran"), yang memungkinkan menggabungkan dua elemen dari suatu himpunan.
a termasuk dalam himpunan E
b termasuk dalam himpunan E
a o b termasuk dalam himpunan E
3 - Operasi ini bersifat asosiatif:
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - Misalkan tiga elemen a, b, c yang termasuk dalam himpunan E.
Pertimbangkan persamaan:
a o y o b = c
Persamaan ini memiliki solusi unik.
Inilah yang saya sebut aksioma sandwich, di mana "ham" y diletakkan di antara elemen a dan b, sedangkan c adalah entitas sandwich. Aksioma ini berarti:
Kita selalu bisa mengeluarkan ham dari sandwich.
*
Dan saya katakan bahwa aksioma-aksioma ini mendefinisikan grup, karena setara dengan yang sebelumnya.
-
Solusi unik y adalah elemen dari himpunan E, karena operasi bersifat internal dan asosiatif.
-
Tentu saja, itu jelas.
-
Tapi lebih baik jika diucapkan. Saya tidak tahu bagaimana kamu akan kembali ke dua aksioma yang menyatakan elemen netral dan eksistensi invers, tetapi saya paham apa yang mendorongmu memikirkan ide ini.
-
Saya berpikir, "untuk apa?"
-
Persis. Untuk apa memiliki elemen netral? Dalam bentuknya, itu berarti "jika saya punya himpunan E dan elemen netral, saya bisa menggabungkan semua elemen himpunan ini dengan elemen tersebut dan hasilnya tetap sama". Saya tidak peduli. Demikian juga, untuk apa invers sebagai sesuatu yang terpisah? Saat melakukan perhitungan pada grup, atau pada objek acak, kita selalu menyelesaikannya dengan perkalian kanan atau kiri oleh elemen atau inversnya agar muncul a o a⁻¹ atau a⁻¹ o a, yang diganti dengan e, lalu b o e atau e o b yang diganti dengan b. Aksioma sandwich kamu bersifat "fungsional".
-
Jika kamu mau. Mari kita bahas teorema-teorema yang muncul dari aksioma sandwich. Yang pertama adalah:
I - Ada elemen netral yang, ketika dikomposisikan dengan dirinya sendiri, menghasilkan dirinya sendiri:
e = e o e
II - Elemen netral ini unik.
Bukti:
Mulai dari aksioma sandwich. Persamaan
a o y o b = c
memiliki solusi unik y.
Ini juga berlaku jika b = c = a, sehingga
a o y o a = a
memiliki solusi unik. Kalikan kanan dengan y:
a o y o a o y = a o y
Sebut a o y = e
...Ini adalah elemen dari himpunan, karena a dan y termasuk dalam himpunan dan operasi bersifat internal. Jadi ada elemen dalam himpunan sehingga:
e o e = e
...Teorema I terbukti. Mari kita bahas keunikan, teorema II. Jika tidak unik, maka akan ada elemen lain dalam himpunan, sebut saja f, yang memenuhi:
f o f = f
Kita punya:
e o e = e
Kalikan kanan dengan f:
e o e o f = e o f
Kalikan kembali kanan dengan e:
e o e o f o e = e o f o e
Gunakan asosiatifitas:
e o ( e o f ) o e = e o f o e
Ini dua sandwich. Sebut mereka:
p = e o ( e o f )
q = e o f o e
...Menurut aksioma sandwich, kita bisa "mengeluarkan ham", artinya menghitung ekspresi ( e o f ) dan f yang akan sama, karena p = q. Jadi:
( e o f ) = f
...Ulangi dari pernyataan yang diberikan pada elemen kedua f:
f o f = f
...Kalikan kanan dengan e, dua kali kiri:
e o f o f = e o f
e o e o f o f = e o e o f
...Gunakan asosiatifitas:
e o ( e o f ) o f = e o e o f
...Dengan menggunakan aksioma sandwich sekali lagi, kita simpulkan bahwa:
e o f = e
sehingga:
e = f
Teorema III: Jika saya mengambil elemen e "sama dengan kuadratnya", maka berarti
a o e = a
Bukti:
Kita tetap gunakan aksioma sandwich. Mulai dari definisi e:
e o e = e
Kalikan kanan secara berturut-turut dengan a dan e:
e o e o a o e = e o a o e
Gunakan asosiatifitas.
e o ( e o a ) o e = e o a o e
Jadi:
e o a = a
Dari:
e o e = e
dan kalikan kiri secara berturut-turut dengan a dan e:
e o a o e o e = e o a o e
dan gunakan asosiatifitas.
e o ( a o e ) o e = e o a o e
dari sini:
a o e = a
Teorema III terbukti.
Mari kita bahas teorema IV
(eksistensi invers, dinotasikan a⁻¹).
Pernyataan: untuk suatu elemen dalam himpunan, ada satu dan hanya satu elemen yang merupakan solusi dari persamaan:
a o y o a = a
Kita sebut elemen ini a⁻¹ dan menyebutnya invers dari a. Elemen ini memenuhi sifat:
a o a⁻¹ = e
a⁻¹ o a = e
Bukti.
Kehadiran dan keunikan elemen ini adalah konsekuensi langsung dari aksioma sandwich, jika dinyatakan sebagai:
Ketika dua potongan roti identik satu sama lain dan identik dengan sandwich, maka ham-nya adalah invers dari potongan roti (atau sandwich).
a o y o a = a
Kita bisa gunakan asosiatifitas dalam dua cara:
( a o y ) o a = a
a o ( y o a ) = a
Kita tahu bahwa:
e o a = a
a o e = a
Jadi solusi y memenuhi:
a o y = e
y o a = e
Tunjukkan bahwa solusi ini unik. Jika tidak, ada solusi lain
a o z = e
z o a = e
Kalikan persamaan pertama dengan y di kiri:
y o a o z = y o e
( y o a ) o z = y
tapi y o a = e, jadi:
z = y
Kita sebut solusi ini a⁻¹, solusi dari persamaan unik:
a o a⁻¹ o a = a
Dengan demikian, kumpulan aksioma baru menghasilkan sifat-sifat yang sama dengan yang secara klasik mendefinisikan grup.
Jadi, kita bisa mendefinisikan grup menggunakan kumpulan aksioma baru ini:
Definisi grup.
1 - Ada elemen a, b, c... yang termasuk dalam himpunan E
2 - Ada operasi internal, dinotasikan o ("lingkaran"), yang memungkinkan menggabungkan dua elemen dari suatu himpunan.
a termasuk dalam himpunan E
b termasuk dalam himpunan E
a o b termasuk dalam himpunan E
3 - Operasi ini bersifat asosiatif:
a o b o c = ( a o b ) o c = a o ( b o c )
4 - Misalkan tiga elemen a, b, c yang termasuk dalam himpunan E.
Pertimbangkan persamaan:
a o y o b = c
Persamaan ini memiliki solusi unik.
Jika elemen-elemen dalam himpunan E, dilengkapi operasi komposisi internal, memenuhi empat aksioma ini, saya katakan mereka membentuk grup.
Teorema: Elemen netral adalah invers dari dirinya sendiri. Definisi baru elemen netral, menggunakan satu persamaan, menghasilkan bukti berbeda untuk sifat ini.
e o e = e
Ini adalah definisi elemen khusus e. Namun aksioma sandwich membuat persamaan ini identik dengan sifat (bukan definisi) dari invers.
Teorema lain: invers dari invers sama dengan elemen itu sendiri:
(a⁻¹)⁻¹ = a
a⁻¹ o a = e
a o a⁻¹ = e
a adalah invers dari a⁻¹. Dari sini diperoleh sifatnya.
Tunjukkan bahwa:
( a o b )⁻¹ = b⁻¹ o a⁻¹
Hitung:
a o b o b⁻¹ o a⁻¹ dan b⁻¹ o a⁻¹ o a o b
Tunjukkan bahwa kedua kuantitas ini sama dengan e.
a o ( b o b⁻¹ ) o a⁻¹
= a o e o a⁻¹
= a o a⁻¹
= e
Sama untuk ekspresi lainnya.
-
Ini pendekatan berbeda terhadap konsep grup.
-
Ontologi grup.
-
Jika kamu mau.
-
Tapi sesuatu mengatakan pada saya bahwa hal ini akan terbukti produktif.
-
Sekarang, lupakan semua, bahkan aksioma sandwich. Pertimbangkan himpunan E yang dilengkapi operasi komposisi internal o yang bersifat asosiatif. Anggap dalam himpunan ini ada elemen yang, ketika dikomposisikan dengan semua elemen lain, berperan sebagai elemen netral:
a o e = e o a = a - Apakah unik?
-
Jika ada, maka pasti unik, bisa dibuktikan.
-
Ah iya, benar.
-
Saya katakan dua elemen a dan b saling terkait oleh hubungan invers jika
a o b = b o a = e
Jika kita punya a, maka b adalah inversnya. Saya katakan bahwa jika kita batasi himpunan pada subhimpunan elemen yang memiliki invers, maka subhimpunan ini membentuk grup. Ini cara membangun grup. Dengan kata lain, kita pilih dari himpunan, elemen-elemen yang memenuhi sifat ini, dan saya katakan bahwa itu cukup untuk menyatakan bahwa subhimpunan ini membentuk grup.
Perlu dibuktikan bahwa sifat ini bersifat internal.
-
Maksudmu apa?
-
Misalkan dua elemen a dan a' yang memenuhi sifat, artinya:
a o b = b o a = e
a' o b' = b' o a' = e
a memiliki invers b
a' memiliki invers b'. Mereka berada dalam subhimpunan yang dimaksud. Perlu dibuktikan bahwa a o a' juga memiliki invers.
Hilangkan tanda "lingkaran", yang berat.
a' o b' = e
Kalikan kiri dengan a dan kanan dengan b:
a a' b' b = a e b = a b = e
Jadi:
( a a' )( b' b ) = e
Kembali dari:
b a = e
Kalikan kiri dengan b' dan kanan dengan a':
b' b a a' = b' e a' = b' a' = e
( b' b )( a a' ) = e
Jadi elemen yang diperoleh dari komposisi a dan a', yang memiliki invers, juga memiliki invers.
-
Tersisa membuktikan bahwa subhimpunan ini benar-benar membentuk grup.
-
Dan untuk itu, saya akan menunjukkan bahwa subhimpunan ini memenuhi aksioma sandwich, artinya:
a y b = c
memiliki solusi unik y.
-
Saya mengerti. Secara aksioma, kamu melakukan kebalikan dari sebelumnya. Sebelumnya kamu memberi aksioma sandwich dan menunjukkan bahwa ini mengimplikasikan eksistensi invers. Sekarang kamu mengasumsikan semua elemen dalam himpunan memiliki invers, lalu menggunakan sifat ini untuk mendapatkan kembali aksioma sandwich.
-
Cara terbaik membuktikan bahwa persamaan memiliki solusi unik adalah dengan membangunnya. Kalikan persamaan di atas dengan a⁻¹ di kiri dan b⁻¹ di kanan.
a⁻¹ a y b b⁻¹ = a⁻¹ c b⁻¹
( a⁻¹ a ) y ( b b⁻¹ ) = a⁻¹ c b⁻¹
y = a⁻¹ c b⁻¹
- Jadi y memang solusi dari persamaan:
a y b = c
Dengan memasukkan solusi yang dibangun, kita peroleh:
a ( a⁻¹ c b⁻¹ ) b = c
...Dengan melakukan ini, kita mengasumsikan bahwa kita bisa bermain dengan tanda kurung, memperluas asosiatifitas. Kita sudah mengasumsikan (salah satu aksioma) bahwa dua elemen bisa dipisahkan dalam urutan operasi:
a o b o ( c o d ) = a o ( b o c ) o d = ( a o b ) o c o d = ( a o b ) o ( c o d )
Ini menunjukkan bahwa diperbolehkan memasukkan tiga elemen antara dua tanda kurung. Tapi kita terima ini tanpa bukti.
Aplikasi:
...Pertimbangkan himpunan bilangan real dengan perkalian x sebagai operasi komposisi. Operasi ini bersifat internal, tetapi bukan grup menurut kumpulan aksioma baru ini. Karena persamaan yang mendefinisikan elemen e:
e o e = e
memiliki dua solusi:
e = +1 dan e = -1
...Pertimbangkan konstruksi sebelumnya. Kita punya himpunan (bilangan real), operasi komposisi, asosiatif (perkalian). Himpunan ini memiliki elemen netral 1, yang tidak didefinisikan sebagai solusi dari
e o e = e
melainkan sebagai elemen yang, ketika dikomposisikan dengan semua elemen lain dalam himpunan (termasuk dirinya sendiri), menghasilkan elemen itu sendiri, artinya definisi klasik:
Untuk semua a yang termasuk dalam himpunan E, berlaku:
e o a = a o e = a
Jika kita mulai dari definisi klasik invers:
a o a⁻¹ = a⁻¹ o a = e
...Kita telah menunjukkan bahwa subhimpunan elemen yang memiliki invers membentuk grup. Jadi bilangan real tanpa nol membentuk grup.
Ambil matriks persegi berukuran (n,n). Mereka memiliki elemen netral:
dengan nol di luar diagonal utama, yang diisi angka "1".
Matriks inversibel membentuk grup, yang disebut Grup Linear GL(n).
-
Saya suka semua ini.
-
Hmmm... ini hanya variasi dari aksioma klasik. Saya telah mempresentasikannya dalam sebuah seminar epistemologi di Grenoble, seminggu lalu.
LANJUTAN
