f5101 Representasi analitik permukaan Boy J.P. Petit dan J. Souriau .
**...**Berikut ini adalah reproduksi sebuah catatan yang diterbitkan di Comptes Rendus Akademi Ilmu Pengetahuan Paris, ditandatangani oleh J.P. Petit dan J. Souriau, tahun 1981.
**...**Karya ini memiliki sejarah. Hingga munculnya album saya, Topologicon, terbitan Belin, dalam seri Aventures d'Anselme Lanturlu, pada tahun 1985, representasi permukaan Boy dalam literatur khusus sangat sedikit. Di berbagai tempat hanya ditemukan foto model yang dibuat dari plester atau kawat kandang ayam. Charles Pugh dari Departemen Matematika Universitas Berkeley adalah ahli terkemuka dunia dalam penggunaan kawat kandang ayam. Bahkan, dengan bahan ini ia memenangkan hadiah besar secara finansial ketika membuat model-model yang menggambarkan pembalikan bola menurut Bernard Morin, model-model yang kemudian didigitalisasi oleh Nelson Max untuk diubah menjadi film yang tersebar di seluruh departemen matematika di dunia.
**...**Namun saya merasa bahwa kawat kandang ayam tetap merupakan bahan yang kurang mulia, terutama untuk topik ilmiah tingkat tinggi seperti ini. Setelah mengenal seorang seniman plastik bernama Max Sauze, saya belajar teknik menggunakan kawat tembaga yang lentur namun kokoh, yang dengan cekatan disambung oleh Max, berusaha tidak terlalu memanaskannya agar tidak menimbulkan ketegangan tak diinginkan dalam material.
**...**Teman saya Jacques Boulier, yang juga dikenal sebagai Vasselin, saat itu menjadi dosen di Beaux Arts Aix-en-Provence. Suatu tahun, ia menawarkan saya untuk menggantikan salah satu profesor yang sedang berada di luar negeri, yang saya terima, dengan bekerja paruh waktu bersama Sauze. Sementara saya menciptakan objek-objek tersebut, Max menyambungkannya. Para mahasiswa kami, yang berkumpul di sekitar kami dengan rasa penasaran, berusaha meniru kami sebaik mungkin. Di tahun itu, sayap sekolah Beaux Arts Aix-en-Provence berubah menjadi semacam pabrik produksi massal permukaan matematis.
**...**Jika Anda ingin mencobanya, ini tidak sulit. Anda hanya perlu gulungan kawat tembaga dengan diameter sekitar 1,5 mm (maksimal 2 mm), dan tang pemotong. Dengan alat-alat ini, Anda bisa menggambarkan dua keluarga kurva yang membentuk permukaan apa pun.
**...**Masalahnya adalah membuat bentuk objek secara tepat. Untuk itu, penting untuk bisa meluncurkan titik-titik sambungan, di mana "meridian" dan "paralel" saling berpotongan. Solusi yang baik adalah mengikat kedua kawat logam dengan benang jahit. Kencang cukup untuk memberi kestabilan pada objek, namun tetap licin agar bisa dilakukan deformasi dan penyesuaian.
**...**Hanya ketika Anda merasa objek sudah sesuai secara matematis dengan harapan Anda, barulah Anda menyerahkan objek tersebut kepada seseorang yang mahir menggunakan solder perak dan mampu menyambung tanpa memanaskan batang-batangnya—kemampuan yang dikuasai Max dengan sangat baik.
**...**Suatu hari saya membawa prototipe permukaan Boy, setelah menemukan cara agar meridian dan paralel saling berpasangan. Ternyata, kita bisa membuat meridian tampak sangat mirip dengan keluarga elips.
**...**Max menyalin objek itu dengan hati-hati. Saya kemudian datang ke rumah Souriau. Anaknya (yang tak akan pernah punya kesabaran untuk menyelesaikan gelar fisika) sedang bermain dengan Apple II milik ayahnya. Saya berkata padanya:
-
Jérôme, apakah kamu ingin memiliki publikasi matematika murni di namamu?
-
Ya, mengapa tidak? Siapa yang harus dibunuh untuk itu?
-
Tidak ada yang perlu dibunuh. Lihat objek ini. Ambil jangka sorong, ukur elips-elips ini, dan coba buat representasi semi-empiris dari permukaan ini.
-
Bisa dicoba, berikan...
**...**Dua hari kemudian, sudah selesai. Artikel itu cepat diterima oleh Comptes Rendus Akademi Ilmu Pengetahuan Paris dan diterbitkan dengan nama kami: J.P. Petit dan J. Souriau.
**...**Namun karena ayahnya bernama Jean-Marie dan anaknya bernama Jérôme, semua matematikawan yakin bahwa ini adalah hasil kerja sama antara Souriau ayah dan saya.
**...**Gambar permukaan di komputer menggunakan program BASIC sederhana beberapa baris mengejutkan banyak matematikawan yang mengira akan lebih rumit. Kejadian ini berdampak negatif. Matematikawan Bernard Morin memiliki mahasiswa doktoral bernama Apéry, putra dari Apéry-pria, penulis teorema tak terlupakan bahwa jumlah kubik bilangan bulat adalah bilangan irasional. Dan lain-lain...
**...**Saya tidak tahu hal ini. Kemajuan kami membuat Morin gelisah, apalagi karena saya secara polos menyatakan bahwa metode ini seharusnya memungkinkan deskripsi permukaan empat telinga yang membuatnya terkenal—permukaan yang dibuat dengan kawat kandang ayam oleh Pugh, lalu didigitalisasi oleh Max, dan seterusnya.
Morin mengerutkan dahi:
- Tidak, itu mustahil!
**...**Kita bahas nanti. Saya tetap yakin sebaliknya. Namun kalimat ini adalah balasan dari pernyataan terkenal yang dilontarkan Archimedes kepada prajurit Romawi yang mengganggunya dalam meditasi—Noli tangere circuleos meos!
Dalam bahasa Prancis: "Jangan sentuh lingkaran-lingkaran saya!"
Di sini, lebih tepatnya: "Jangan sentuh elips-elips saya!"
**...**Setelah itu, Apéry memanfaatkan temuan saya—bahwa permukaan Boy bisa dilengkapi sistem meridian elips—untuk membuat persamaan implisit pertama dari objek tersebut:
f(x,y,z) = 0
**...**Morin marah melihat saya muncul sebagai pengacau dalam karya matematikanya sendiri, sehingga memaksa Apéry menyebutkan dalam disertasinya bahwa Sauze yang menemukan ide elips ini. Max tidak membantah, tetapi itu tidak benar. Bukti ada di ruang bawah tanah saya: model yang saya bawa ke Max agar dibuat rapi.
**...**Akhirnya, semua ini agak konyol. Cerita ini hanya ingin menunjukkan bahwa matematikawan tidak lebih cerdas daripada fisikawan.
**...**Politeknisi Colonna, pelopor dalam bidang gambar sintetis, menggunakan semua persamaan kami tanpa menyebut asal-usulnya. Namun ada detail lucu: jika Anda melihat gambar permukaan Boy di layar komputer, dan itu adalah "milik kita", maka pasti akan muncul tiga lipatan kecil di dekat kutubnya—kesalahan penyesuaian persamaan. Jérôme, putra Souriau, membuatnya terburu-buru, dan seharusnya ada sedikit sentuhan akhir dengan besi di dekat kutub. Namun tetap bisa dilakukan oleh siapa saja yang mau.
**...**Seri cerita tentang permukaan Boy belum berakhir. Untuk melengkapi, perlu disebutkan satu tokoh: Carlo Bonomi, seorang miliarder Italia. Saya mengenalnya saat melakukan ekspedisi ke Segitiga Bermuda (tapi ini kisah lain). Saat itu kami berlayar cepat di kapal pesiar mewahnya, yang begitu mewah hingga membuat napas tercekat, mencari piramida tenggelam yang disebutkan oleh Charles Berlitz dalam salah satu bukunya. Kami tidak menemukan piramida itu, dan nyaris saja dimakan hiu-hiu yang berkeliaran di tempat itu. Jika Anda punya Atlas, lokasi "Piramida Atlante" yang dimaksud berada di barat daya sebuah terumbu bernama Cay Sal Balk, sejauh 80 km selatan Kuba.
**...**Di antara dua penyelaman dan dua makan malam dengan kaviar, saya menawarkan kepada Bonomi untuk mensponsori produksi massal permukaan Boy. Ide itu disukainya dan terus berlanjut. Katakanlah, permukaan Boy yang menghiasi ruang matematika di Palais de la Découverte Paris dibayar oleh Bonomi dan dibuat oleh Sauze. Sang finansier berencana membuat pameran dengan membuat objek-objek dari emas murni. Namun rencana itu tidak terlaksana. Karena keheningannya yang lama, saya menelepon kantornya di Milan. Sayangnya, terlibat skandal loge P2, ia ditahan, dan ketertarikannya pada topologi mengalami kerusakan permanen.
**...**Pelapis dua lembar dari permukaan Boy, gambar dari proyeksi P2, adalah bola S2 (lihat Topologicon). Pugh membuat pelapis ini dengan dua lapis kawat kandang ayam, objek yang sangat istimewa, meskipun saya harus mengakui bahwa secara pribadi lebih suka kawat tembaga dan representasi meridian-paralel. Tapi bahkan dalam matematika murni:
- De gustibus et coloribus non disputandum.
**...**Sebelum menampilkan catatan ini, satu cerita terakhir. Charles Pugh telah membuat tujuh model dari kawat kandang ayam, yang membuatnya memenangkan hadiah besar, menggambarkan tahapan pembalikan bola secara berurutan—akan dibahas nanti ketika saya punya lima menit untuk mengunggahnya ke situs—dan model-model itu digantung di langit-langit kantin departemen matematika Universitas Berkeley.
**...**Para matematikawan dari seluruh dunia datang berziarah hanya untuk memandangi urutan luar biasa ini. Namun suatu malam, model-model itu dicuri, dan tidak ada yang tahu nasib tujuh objek tersebut—yang pada dasarnya tidak bisa dijual. Siapa yang mau menerima transaksi seperti itu? Kecuali seorang kolektor kaya yang sekaligus pecinta seni dan matematika, yang membiayai operasi ini demi menyimpannya di ruang bawah tanah yang terlindung, hanya untuk menikmati kebanggaan menjadi satu-satunya orang yang bisa melihat keajaiban ke-8 dunia, meskipun dibuat dari kawat kandang ayam.
**...**Pugh, meskipun mahir dalam bahan ini, tidak punya keberanian untuk membuat seri baru.
**...**Seperti yang telah kami katakan di awal situs, kehidupan Werner Boy sendiri tetap misterius. Setelah menciptakan permukaan yang kemudian dinamainya, ia benar-benar menghilang setelah meninggalkan universitas. Meskipun melakukan pencarian, Hilbert tidak bisa menemukannya, bahkan tempat pemakamannya pun tidak diketahui.
**...**Kembali ke matematika. Catatan berikut ini cukup mudah dibaca. Dari rumus 1 hingga 8, setiap siswa SMA yang terjaga bisa membuat gambar-gambar indah dan memverifikasi bahwa potongan-potongan tersebut sesuai dengan Gambar 5.
C.R. Acad. Sc. Paris, t. 293 (5 Oktober 1981) Série 1 - 269
GEOMETRI. - Representasi analitik permukaan Boy. Catatan oleh Jean-Pierre Petit dan Jérôme Souriau, disampaikan oleh André Lichnérowicz.
Ditampilkan representasi analitik permukaan Boy yang memungkinkan penggambaran permukaan tersebut.
1. PENDAHULUAN.
**...**Permukaan yang diciptakan pada tahun 1901 oleh matematikawan Werner Boy, murid Hilbert, sudah sangat dikenal oleh para matematikawan. Permukaan ini bisa menjadi langkah sentral dalam pembalikan bola (lihat [1] dan [2]).
**...**Pada tahun 1979 (J.P.P), saya membuat model dari kawat logam yang menunjukkan posisi garis-garis meridian permukaan. Kerja kedua pada tahun 1980 bersama seniman patung Max Sauze memungkinkan pembuatan model kedua di mana kurva-kurva berada dalam bidang-bidang dan tampak cukup mirip dengan elips. Dari model seperti itu, tampaknya mungkin untuk membuat representasi analitik permukaan dengan topologi permukaan Boy, dengan meridian berupa elips yang melewati satu kutub tunggal.
2. CARA MENGHASILKAN PERMUKAAN BOY MENGGUNAKAN ELIPS.
**...**Tempatkan kutub di titik asal koordinat. Di titik ini permukaan akan menyinggung bidang (XOY). Dengan demikian, sumbu OZ menjadi sumbu simetri tiga lipat (lihat Gambar 1). Kurva meridian adalah elips yang terletak dalam bidang Pm. Misalkan OX1 adalah jejak bidang Pm pada bidang XOY. Sebut m sudut antara (OX, OX1). Dalam bidang Pm, letakkan sumbu OZ1 lain yang tegak lurus OX1. Sebut a sudut antara (OZ, OZ1).
Gambar 1 dan Gambar 2
**...**Parameter pertama dalam representasi analitik ini adalah sudut m. Kita akan menganggap sudut a sebagai fungsi dari m (akan didefinisikan lebih lanjut). Dalam bidang Pm, kita sekarang menggambar elips yang menyinggung di O terhadap OX1 (lihat Gambar 2). Kita ambil sumbu-sumbu elips ini sejajar dengan garis bagi X1OZ1. Sebut A(m) dan B(m) nilai-nilai sumbu elips tersebut. Elips Em dihasilkan oleh parameter bebas kedua q.
**...**Secara ringkas, kita akan mendapatkan koordinat X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) dari titik pada permukaan.
**...**Dalam pendekatan semi-empiris ini, pengukuran yang dilakukan (J.S.) pada model memungkinkan pendekatan fungsi a(m), A(m), dan B(m). Permukaan kemudian digambar oleh komputer "Apple-II", dan diperoleh potongan-potongan pada Z = konstan. Pemeriksaan potongan-potongan ini memungkinkan identifikasi topologis dengan permukaan Boy. Ini hanya bisa dicapai setelah eksperimen numerik (J.S.) yang memungkinkan menghilangkan pasangan singularitas tak diinginkan (munculnya pasangan titik kuspida).
**...**Kami memutuskan untuk menggunakan: (1) A(m) + 10 + 1,41 Sin (6m - π/3) + 1,98 sin (3m - π/6)
(2) B(m) + 10 + 1,41 Sin (6m - π/3) - 1,98 sin (3m - π/6)
(3)
**...**Dalam sistem koordinat X1 O Z1, koordinat pusat elips Em adalah: (4)
(5)
**...**Dalam sistem koordinat yang sama, koordinat titik pada elips adalah: (6)
(7)
dan koordinat x, y, z diberikan oleh:
(8)
