Representasi analitik permukaan Boy

f5101 Representasi Analitik Permukaan Boy J.P. Petit dan J. Souriau .

** ...**Berikut ini adalah reproduksi dari sebuah catatan yang diterbitkan di Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, ditandatangani oleh J.P.Petit dan J.Souriau, yang berasal dari tahun 1981.

**...**Karya ini memiliki sejarah. Hingga terbitnya album saya yang berjudul Topologicon, diterbitkan oleh Editions Belin, dalam seri Aventures d'Anselme Lanturlu, pada tahun 1985, representasi permukaan Boy dalam buku-buku spesialis sangat sedikit. Di sana-sini kita bisa menemukan foto-foto model yang dibuat dari tanah liat atau kawat ayam. Charles Pugh, dari departemen matematika universitas Berkeley, adalah ahli dunia yang tidak diragukan lagi mengenai kawat ayam. Bahkan dengan bahan ini, ia memperoleh sebuah hadiah besar secara finansial, dengan membuat model-model yang menggambarkan balikkan bola menurut Bernard Morin, model-model yang kemudian di digitalisasi oleh Nelson Max untuk diubah menjadi film yang tersebar di seluruh departemen matematika di seluruh dunia.

**...**Tetapi saya merasa bahwa kawat ayam tetap merupakan bahan yang tidak mulia, terutama untuk subjek-subjek ilmiah yang berkualitas tinggi. Setelah mengenal seorang seniman patung bernama Max Sauze, saya mulai mempelajari teknik kawat tembaga yang fleksibel dan kaku, yang Max las dengan keahlian, berusaha tidak terlalu memanaskannya agar tidak menimbulkan ketegangan tak terduga dalam bahan tersebut.

**...**Temanku Jacques Boulier, yang dikenal sebagai Vasselin, saat itu adalah seorang profesor di Beaux Arts Aix en Provence. Suatu tahun dia menawarkan saya untuk menggantikan salah satu profesornya yang pergi ke luar negeri, yang saya lakukan, dengan menangani layanan paruh waktu bersama Sauze. Saat saya menciptakan objek-objek tersebut, Max melasnya. Mahasiswa kami, yang berputar di sekitar kami, tertarik, berusaha meniru kami sebaik mungkin. Tahun itu, sayap sekolah Beaux Arts Aix en Provence menjadi sebuah pabrik produksi permukaan matematika secara massal.

**...**Jika Anda ingin mencobanya, itu tidak terlalu sulit. Anda membutuhkan gulungan kawat tembaga, misalnya berdiameter 1,5 mm, maksimal 2 mm, dan gunting. Dengan itu Anda dapat menggambarkan dua keluarga kurva yang membentuk permukaan apa pun.

**...**Masalahnya adalah bagaimana memodelkan objek-objek ini secara tepat. Untuk itu, baik jika Anda dapat menggeser titik-titik sambungan, di mana "meridian" dan "paralel" berpotongan. Solusi yang baik adalah hanya dengan mengikat dua kawat logam dengan benang jahit. Cukup ketat untuk memberikan kekuatan pada objek, tetapi cukup licin untuk memungkinkan deformasi dan penyesuaian.

**...**Hanya ketika Anda merasa objek tersebut matematis sesuai dengan keinginan Anda, Anda dapat menyerahkannya kepada seseorang yang mahir menggunakan las perak dan yang akan dapat menyolder tanpa memanaskan batangnya, seperti yang dilakukan Max dengan keahlian yang sempurna.

**...**Suatu hari saya membawa sebuah prototipe permukaan Boy, setelah menemukan bagaimana meridian dan paralel harus disusun. Ternyata, kita bisa membuat meridian terlihat sangat mirip dengan keluarga elips.

**...**Max menyalin objek tersebut dengan hati-hati. Saya kemudian pergi ke Souriau. Anaknya (yang tidak pernah punya kesabaran untuk menyelesaikan gelar fisika) sedang bermain dengan Apple II milik ayahnya. Saya katakan:

• Jérôme, apakah kamu ingin memiliki publikasi matematika murni dengan namamu?

• Ya, mengapa tidak? Siapa yang harus kita bunuh untuk itu?

• Tidak ada yang. Lihatlah objek ini. Ambil penggaris, ukur elips-elips ini dan coba bangun representasi semi-empiris dari permukaan ini.

• Bisa saja, beri saya...

**...**Dua hari kemudian, itu selesai. Artikel itu cepat diterima di Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris dan diterbitkan di bawah nama kami: J.P.Petit dan J.Souriau

**...**Tetapi karena ayahnya bernama Jean-Marie dan anaknya Jérôme, semua matematikawan yakin bahwa ini adalah karya yang kami kerjakan bersama, Souriau ayah dan saya.

**...**Penggambaran permukaan di komputer, menggunakan program BASIC kecil beberapa baris, mengejutkan banyak matematikawan, yang mengharapkan sesuatu yang lebih rumit. Masalah ini memiliki dampak yang tidak menyenangkan. Matematikawan Bernard Morin memiliki seorang mahasiswa doktoral, Apéry, putra dari Apéry-père, penulis teorema yang tidak terucapkan bahwa jumlah kubik bilangan bulat adalah bilangan irasional. Di antaranya...

**...**Saya tidak tahu. Kemajuan kami sangat mengkhawatirkan Morin, terutama karena saya secara naif mengatakan padanya bahwa metode ini seharusnya memungkinkan menggambarkan permukaan empat telinga yang membuatnya terkenal, permukaan yang dibuat dengan kawat ayam oleh Pugh, lalu di digitalisasi oleh Max, dll.

Morin mengernyitkan alisnya:

• Tidak, ini mustahil! ....

**...**Kita akan lihat itu nanti. Saya tetap yakin sebaliknya. Tapi kalimat ini adalah balasan dari pernyataan terkenal yang dilontarkan Archimedes kepada tentara Romawi yang mengganggunya dalam pemikirannya - Noli tangere circuleos meos!

Dalam bahasa Prancis "jangan menyentuh lingkaran saya!"

Di sini, itu lebih seperti "jangan menyentuh elips saya!"

**...**Setelahnya, Apéry memanfaatkan temuan saya, bahwa permukaan Boy dapat diberi sistem meridian elips, untuk membangun persamaan implisit pertama dari objek tersebut:

f (x,y,z ) = 0

**...**Morin, marah melihat saya muncul sebagai pengganggu dalam karya matematika sendiri, memaksa Apéry untuk menyebutkan dalam disertasinya bahwa Sauze yang menemukan ide elips tersebut. Max tidak membantah, tetapi itu tidak benar. Bukti ada di cellar saya: model yang saya bawa ke Max untuk disempurnakan.

**...**Akhirnya, ini cukup memalukan, pada dasarnya. Cerita ini ada untuk menunjukkan bahwa matematikawan tidak lebih cerdas daripada fisikawan.

**...**Politeknisi Colonna, pionir dalam gambar sintesis, menggunakan semua persamaan kami, tanpa menyebut asalnya. Tapi ada detail yang menarik, jika Anda melihat di layar gambar dari permukaan Boy. Jika itu "milik kami", maka akan selalu memiliki tiga "lipatan" kecil dekat kutubnya. Kekurangan penyesuaian persamaan. Jérôme, putra Souriau, membuatnya terburu-buru dan sedikit pukulan terakhir dengan besi di dekat kutub tidak akan terlalu buruk. Ini masih bisa dilakukan, juga, bagi siapa pun yang ingin.

**...**Seri cerita tentang permukaan Boy belum selesai. Untuk lengkap, sebutkan seorang tokoh: Carlo Bonomi, seorang miliarder Italia. Saya mengenalnya selama ekspedisi ke segitiga Bermuda (tapi ini adalah cerita lain). Kami sedang melaju cepat di atas yachtnya, yang mewah hingga membuat Anda terpesona, mencari piramida yang tenggelam, yang dilaporkan oleh seorang Charles Berlitz dalam salah satu bukunya. Kami tidak menemukan piramida itu, dan kami hampir saja dimakan oleh banyak hiu yang berkeliaran di tempat itu. Jika Anda punya Atlas, tempat di mana "piramida Atlantis" yang tidak menyenangkan seharusnya berada adalah di sebelah barat daya sebuah terumbu karang yang disebut Cay Sal Balk, lima puluh mil di selatan Kuba.

**...**Di antara dua penyelaman dan dua makan malam dengan ikan sturgeon, saya menawarkan Bonomi untuk menyponsori produksi permukaan Boy secara intensif. Ide itu disukainya dan ada kelanjutannya. Katakanlah permukaan Boy yang menghiasi ruang matematika di Palais de la Découverte Paris dibayar oleh Bonomi dan dibuat oleh Sauze. Finansier berencana untuk membuat pameran dengan membuat objek-objek dari kawat emas murni. Tapi urusan itu tidak berlanjut. Terkejut dengan diamnya yang lama, saya menghubungi kantornya di Milan. Sayangnya, terlibat dalam skandal loge P2, ia ditahan dan minatnya terhadap topologi menderita secara permanen.

**...**Lapisan dua permukaan Boy, gambar dari proyektif P2, adalah bola S2 (lihat Topologicon). Pugh membangun lapisan ini dengan dua lapis kawat ayam, objek yang sangat menarik, meskipun, saya katakan, saya lebih suka kawat tembaga dan representasi meridian-paralel. Tapi, bahkan dalam matematika murni:

• De gustibus et coloribus non disputandum.

**...**Sebelum memperkenalkan catatan tersebut, satu cerita terakhir. Charles Pugh telah membangun tujuh model dari kawat ayam, yang membuatnya memperoleh hadiah besar, menggambarkan langkah-langkah sukses dari balikkan bola, yang akan dibahas ketika saya menemukan lima menit untuk menyimpannya di situs, dan yang digantung di langit-langit kantin departemen matematika universitas Berkeley.

**...**Jadi, matematikawan dari seluruh dunia datang untuk berziarah dan terpukau oleh urutan yang luar biasa. Tapi suatu malam, model-model itu dicuri dan tidak ada yang tahu apa yang terjadi pada ketujuh objek tersebut, yang secara teknis tidak bisa dijual. Siapa yang akan menerima transaksi seperti itu? Kecuali seorang kolektor kaya, sebagian estetis, sebagian matematikawan, membiayai operasi tersebut, untuk menyimpannya di gudang yang terlindungi, hanya untuk kebahagiaannya menjadi satu-satunya orang yang bisa menatap salah satu keajaiban dunia, meskipun dibuat dari kawat ayam.

**...**Pugh, meskipun menguasai bahan tersebut, tidak memiliki keberanian untuk memulai kembali seri baru.

**...**Seperti yang telah kami katakan di awal situs, kehidupan Werner Boy sendiri tetap misteri. Setelah menciptakan permukaan yang akan mengikat namanya, ia secara harfiah menghilang setelah meninggalkan universitas. Meskipun penelitiannya, Hilberth tidak dapat menemukan jejaknya dan bahkan tempat pemakamannya tidak diketahui.

**...**Kembali ke matematika. Catatan berikut ini relatif mudah dibaca. Dari rumus 1 hingga 8, setiap siswa sekolah menengah yang terjaga bisa membuat gambar-gambar yang sangat indah dan memverifikasi bahwa potongan-potongan sesuai dengan gambar 5.

C.R.Acad.Sc. Paris, t. 293 (5 Oktober 1981) Série 1 - 269
GEOMETRI. - Sebuah representasi analitik dari permukaan Boy. Catatan oleh Jean-Pierre Petit dan Jérôme Souriau, disampaikan oleh André Lichnérowicz.

Diperkenalkan sebuah representasi analitik dari permukaan Boy, yang memungkinkan penggambaran permukaan tersebut.

**1. PENDAHULUAN. **

**...**Permukaan yang diciptakan pada tahun 1901 oleh matematikawan Werner Boy, murid Hilberth, sudah sangat dikenal oleh matematikawan. Ia dapat menjadi langkah sentral dari balikkan bola ( [1] dan [2] ).

**...**Pada tahun 1979 (J.P.P) telah membangun sebuah model dari kawat logam, menunjukkan posisi yang harus diambil oleh garis-garis meridian permukaan. Sebuah pekerjaan kedua yang dilakukan pada tahun 1980 bersama dengan seniman patung Max Sauze memungkinkan pembuatan kembali model kedua di mana kurva-kurva berada dalam bidang dan tampak cukup mirip dengan elips. Dari model seperti ini tampaknya mungkin untuk membangun representasi analitik dari permukaan yang memiliki topologi permukaan Boy, dan yang meridian-nya adalah elips yang melewati satu kutub tunggal.

**2. CARA MENGHASILKAN PERMUKAAN BOY DENGAN ELIPS. **

**...**Letakkan kutub di titik asal koordinat. Di titik ini permukaan akan bersinggungan dengan bidang (XOY). Jadi, ia akan memiliki sumbu OZ sebagai sumbu simetri terner (lihat gambar 1). Kurva meridian adalah elips yang berada dalam bidang Pm. Misalkan OX1 adalah jejak dalam bidang XOY dari bidang Pm. Sebutlah m sudut (OX, OX1). Dalam bidang Pm letakkan sumbu OZ1 lain yang tegak lurus terhadap OX1. Sebutlah a sudut (OZ, OZ1).

Gambar 1 dan Gambar 2

**...**Parameter pertama dari representasi analitik ini adalah sudut m. Kita akan mempertimbangkan sudut a sebagai fungsi dari m (yang akan didefinisikan kemudian). Dalam bidang Pm kita sekarang akan menggambar elips yang bersinggungan di O dengan OX1 (lihat gambar 2). Kita akan mengambil sumbu elips ini sejajar dengan garis bagi dari X1OZ1. Sebutlah A(m) dan B(m) nilai-nilai sumbu elips ini. Elips Em akan dihasilkan oleh parameter bebas kedua q.

**...**Secara singkat, kita akan mendapatkan koordinat X(m,q), Y(m,q), Z(m,q) dari titik yang sedang bergerak pada permukaan.

**...**Dalam pendekatan semi-empiris ini, pengukuran yang dilakukan oleh (J.S.) pada model memungkinkan pendekatan fungsi-fungsi a(m), A(m) dan B(m). Permukaan kemudian digambar oleh komputer "Apple-II" dan diperoleh potongan-potongan pada Z = Cte, pemeriksaan potongan-potongan ini memungkinkan menentukan identitas topologis dengan permukaan Boy. Ini hanya bisa dicapai dengan eksperimen numerik (J.S.) yang memungkinkan menghilangkan pasangan singularitas yang tidak diinginkan (munculnya pasangan titik tajam).

**...**Kami memutuskan untuk menerima: (1) A(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) + 1.98 sin ( 3m - p/6)

(2) B(m) + 10 + 1.41 Sin (6m - p/3) - 1.98 sin ( 3m - p/6)

(3)

**...**Dalam sistem koordinat X1 O Z1, koordinat pusat elips Em adalah: (4)

(5)

**...**Dalam sistem koordinat yang sama, koordinat titik yang sedang bergerak pada elips adalah (6)

(7)

dan koordinat x, y, z diberikan oleh:
(8)