kelompok dan aksi ko-adjoint fisika momentum
| 6 |
|---|
Kita tidak akan menuliskan komponen-komponen momentum dari kelompok Bargmann. Secara skematis, tulis momentum dari kelompok Bargmann sebagai berikut:
JB = { skalar m, ditambah komponen-komponen lain dari momentum }
Aksi ko-adjoint menunjukkan bagaimana komponen-komponen berbeda dari momentum bertransformasi. Namun, aksi ko-adjoint dari kelompok Bargmann pada momentum-nya dimulai dengan hubungan sederhana:
(63) m' = m
Aksi ko-adjoint dari kelompok Bargmann pada momentum-nya dimulai dengan melestarikan massa, yang dengan demikian muncul dengan status murni geometris.
Konstruksi aksi ko-adjoint dari kelompok Poincaré pada ruang momentum-nya Jp**.**
Jika Anda sudah benar-benar bingung, abaikan saja. Ini normal, dan akan semakin sulit seiring berjalannya halaman. Saya sendiri tidak tahu lagi, pada tahap ini, siapa yang ditujukan oleh hal berikut. Mungkin para fisikawan teoretik atau para matematikawan, tetapi kemungkinan besar bukan para tukang ledeng atau tukang bangunan. Namun, seorang mahasiswa dari Sekolah Besar atau program sarjana fisika yang bertahan akan bisa mengikutinya. Ini hanyalah matriks-matriks.
Semuanya bermula dari kelompok matriks berukuran (4,4) yang membentuk kelompok Lorentz, dengan elemen L.
Kelompok ini didefinisikan secara aksiomatik berdasarkan matriks G:
(64)
dengan syarat:
(65) tL G L = G
yang melibatkan transpose dari matriks L.
Matriks L membentuk suatu kelompok.
Bukti.
Elemen identitas adalah L = 1:
Misalkan L1 dan L2 adalah dua elemen dari himpunan tersebut. Periksa apakah hasil kali L1L2 termasuk dalam kelompok. Jika demikian:
t( L1L2 ) G L1L2 = G
Namun:
t( A B ) = t B t A
Maka:
t( L1L2 ) G L1L2 = tL2 tL1 G L1L2 = tL2 ( tL1 G L1) L2 = tL2G L2
Kemudian hitung invers matriks L. Mulai dari definisi aksiomatik elemen L:
tL G L = G
Kalikan di kanan dengan L⁻¹:
tL G L L⁻¹ = G L⁻¹
tL G = G L⁻¹
Kalikan di kiri dengan G:
G tL G = G G L⁻¹
G tL G = L⁻¹
Jadi invers matriks L adalah:
L⁻¹ = G tL G
Dengan demikian:
(66)
vektor ruang-waktu. Matriks G berasal dari metrik Minkowski, yang kemudian dapat ditulis (dengan c = 1):
(67)
Latihan: tunjukkan bahwa invers matriks memenuhi:
(68)
Kemudian kita memperkenalkan vektor translasi ruang-waktu:
(69)
Dari sini kita bangun elemen gp dari kelompok Poincaré:
(70)
Latihan: tunjukkan bahwa ini membentuk kelompok dan hitung invers matriksnya:
(71)
Berikut ini adalah "vektor singgung pada kelompok, elemen dari 'Aljabar-Lie'-nya":
(72)
Dari sini kita akan menghitung aksi lawan:
(73) dgp' = gp⁻¹ × dgp × gp
Untuk kemudahan perhitungan, perhatikan bahwa:
(74) G d L
adalah matriks yang antisimetris. Sebut saja:
(75)
maka:
(76)
Misalkan:
(77)
Dari bahan ini kita akan membentuk aksi lawan:
(78) dgp' = gp⁻¹ × dgp × gp
Setelah semua perhitungan selesai, kita akan mendapatkan pemetaan:
(79)
Jika Anda ingin melewati bagian perhitungan matriks sederhana ini, silakan langsung ke persamaan (80), bagian bawah halaman.
(79a)
(79b)
dari mana diperoleh komponen-komponen dari aksi lawan:
(79c)
tetapi:
(79d)
maka:
(79e)
namun GG = 1, sehingga:
(79f)
dari sini diperoleh pemetaan:
(79g)
Yang merupakan aksi lawan yang dicari, yaitu pemetaan:
(80)
