kelompok dan aksi ko-adjoint fisika momentum

kelompok dan aksi ko-adjoint fisika momentum

(91)

Aksi ko-adjoint ini dapat ditulis dalam bentuk matriks.

Matriks dari kelompok Poincaré adalah:

(92)

transpose-nya adalah:

(93)

Pertimbangkan matriks berikut:

(94)

Artinya kita akan menuliskan momentum

(95) Jp = { M , P }

dalam bentuk matriks dan membentuk hasil kali:

(96)

(97)

(98)

yang dapat saya identifikasi sebagai matriks:

(99)

Dengan demikian, Jp adalah momentum dari kelompok Poincaré, ditulis dalam bentuk matriks. Dan aksi ko-adjoint ditulis sebagai:

(100)

Sebagai latihan, pembaca dapat memverifikasi, berdasarkan aksioma, bahwa ini memang merupakan aksi.

Momentum dari kelompok Poincaré dapat dinyatakan secara eksplisit sebagai berikut:

(101)

Matriks ini bersifat antisimetris (yang berarti diagonal utamanya terdiri dari nol). M adalah matriks:

(102)

Tuliskan secara eksplisit:

(103)

Ini memang merupakan matriks antisimetris, seperti yang diasumsikan sejak awal, yang bergantung pada enam parameter:

(104)

( lx , ly , lz , fx , fy , fz )

Tiga komponen terakhir ( fx , fy , fz ) merupakan komponen dari suatu vektor, yaitu vektor perpindahan f:

(105)

Tiga komponen pertama ( lx , ly , lz ) merupakan komponen independen dari matriks antisimetris (3,3), yaitu rotasi l:

(106)

Dengan demikian:

(107)

Vektor P adalah vektor empat-impuls-energi:

(108)

Dengan demikian, momentum dari kelompok Poincaré dapat dinyatakan secara umum sebagai:

(109)

Dapat diverifikasi bahwa ini memang merupakan objek dengan sepuluh komponen (jumlah yang sama dengan dimensi kelompok).

(110) Jp = { E , px , py , pz , fx , fy , fz , lx , ly , lz } = { E , **p , f , l **}