kelompok dan aksi ko-adjoint fisika momentum
| 9 |
|---|
Partikel berputar.
Kelompok Poincaré menggambarkan gerakan relativistik dari suatu objek titik. Secara serupa, kelompok Bargmann, yang ekspresinya akan diberikan lebih lanjut, menggambarkan gerakan non-relativistik dari suatu objek titik, yang kemudian disebut "massa titik".
Dengan demikian, teknik ini—perhitungan aksi ko-adjoint kelompok pada ruang momentum—telah memungkinkan munculnya elemen tersembunyi, atribut dari objek: komponen-komponen momentum.
Yang menarik adalah bahwa pendekatan ini, yang dikembangkan oleh Souriau, membuat munculnya objek-objek utama dalam fisika sebagai objek murni geometris. Ia telah melakukan pekerjaan tanpa tandingan dalam geometrisasi fisika.
Di luar energi dan momentum, komponen-komponen lain—"putaran" dan "perpindahan"—cenderung membingungkan fisikawan. Apa artinya ini?
Ekspresi komponen-komponen momentum tentu saja bergantung pada sistem koordinat yang dipilih.
Yang paling sederhana mungkin adalah kembali sejenak ke kasus non-relativistik, atau ekspresi aksi ko-adjoint yang muncul dari analisis kelompok Bargmann.
(111)
Rumus misterius. Apa gunanya? Bagaimana cara kerjanya?
Dalam kotak di atas, fisikawan akan mengenali beberapa objek yang sudah dikenal:
(112)
hanyalah dua bentuk dari vektor kecepatan { vx , vy , vz }, yang pertama dalam bentuk matriks kolom dan yang kedua dalam bentuk matriks baris. Hasil kali kedua matriks adalah skalar:
(113)
sesuatu yang mulai menyerupai energi kinetik.
m v adalah momentum.
Fisikawan tradisional, dalam konteks dinamika partikel titik, hanya mengenal tiga hal:
- Massa m
- Momentum m v
- Energi kinetik 1/2 mv²
Ya, tetapi kecepatan terhadap apa?
Sebuah kelompok juga merupakan pandangan terhadap sesuatu. Kita bisa menganggap bahwa dengan kelompok, kita membawa objek (seperti yang telah kita lihat dengan kelompok Euclid), terhadap pengamat yang diasumsikan tetap, atau, jika objeknya tetap, kita mengamatinya dari sudut pandang yang berbeda.
Jika kita memilih pendekatan perpindahan, transportasi objek, dalam konteks kelompok dinamis—kelompok-kelompok fisika (berbeda dengan kelompok Euclid di mana waktu tidak muncul)—kita harus mengatakan bahwa kita juga menggerakkan objek, memberinya kecepatan v dan energi E.
Jika kita mengambil sudut pandang berlawanan: menganggap objek tetap dan mempertimbangkan diri kita sendiri bergerak, apa arti dari kelompok-kelompok ini?
Kelompok Euclid berarti:
"Terlihat dari tempat lain dan dari sudut berbeda".
"Tempat lain" adalah vektor translasi:
(114)
"Terlihat dari sudut berbeda" adalah matriks rotasi a, yaitu rotasi dalam ruang (yang bisa dijelaskan dengan sudut Euler, meskipun kita tidak akan melakukannya di sini).
Dalam konteks kelompok dinamis, pandangan ini—sudut pandang terhadap "sesuatu"—harus diperkaya. Tetap dalam konteks kelompok Bargmann, memperkenalkan kecepatan v berarti bahwa pengamat, yang mengamati massa titik dari tempat lain (vektor translasi c), dari sudut berbeda (matriks rotasi a), juga sedang bergerak dengan kecepatan v terhadap massa titik yang diasumsikan diam.
Dan, untuk menjadi lengkap, untuk memperumitnya lebih jauh, pengamat tersebut tidak bergerak dalam waktu yang sama dengan partikel, massa titik yang diamati. Ia terlambat sejauh waktu Dt. Dengan kata lain: ia mengamati dari tempat lain, tetapi tempat itu adalah tempat ruang-waktu, sesuai dengan vektor translasi ruang-waktu:
(115)
Dengan mengambil jarak pandang seperti ini terhadap massa titik tersebut, apa yang saya amati? Pertama, bahwa: m' = m
Ini tidak mengubah massanya.
Saya bisa menyederhanakan hidup saya dengan menghilangkan rotasi. Sudah cukup rumit mengamati massa titik dari tempat lain, dari waktu yang berbeda, terlambat, berada di atas skateboard yang bergerak dengan kecepatan v. Apakah perlu juga memutar kepala?
Tidak. Mari kita ambil a = 1.
Namun, detail ini biasanya diabaikan dalam perhitungan. Aksi ko-adjoint, setelah diperhalus seperti ini, menjadi:
(117)
Kata "mengamati" di sini harus dipahami dalam arti etimologisnya. Apa yang saya lakukan ketika saya mengamati suatu situasi, langit, medan pertempuran, film yang diambil pesawat mata-mata?
Seorang panitera akan menulis:
- Mengingat kondisi lokasi...
Pandangan statis, sesuai dengan kelompok Euclid. Panitera mengamati objek pada jarak c, pada saat yang sama (Dt = 0), pada prinsipnya diam ( v = 0). Jika perlu, dari sudut tertentu, "dari sudut tertentu".
Seorang jenderal yang berjalan-jalan di pesawat pengintaian adalah semacam panitera yang bergerak (v # 0).
Tetapi seorang kepala staf yang menonton film dari pesawat mata-mata, atau "drone", berhadapan dengan situasi yang terlambat dalam waktu. Ia harus berkata pada dirinya sendiri:
- Mari kita pertimbangkan sasaran ini, dilihat dari titik tertentu, dalam kondisi belokan miring, dengan kecepatan tertentu, dan lebih jauh lagi, seperti tampak dua jam sebelumnya...
Sasaran tidak memiliki kecepatan khusus. Tidak mungkin menganggapnya tetap, meskipun itu "instalasi tetap". Bahkan Bumi bergerak, Matahari juga, galaksi juga, dan sebagainya.