Matematika geometri permukaan topologi
Cara mengubah permukaan Cross Cap
menjadi permukaan Boy (kanan atau kiri, terserah pilihan Anda)
dengan melewati permukaan romawi Steiner.
Bahasa Italia: Andrea Sambusetti, Universitas Roma
../../Crosscap_Boy1.htm
27 September - 25 Oktober 2003
Halaman 2
Berikut ini adalah "permukaan Cross Cap" (seperti yang Anda temukan dalam gambar realitas maya). Permukaan ini memiliki dua titik kuspidal yang merupakan simpul dari garis autointerseksi. Anda bisa membuatnya dengan menekan balon menggunakan jepit rambut. Namun Anda juga bisa membuat representasi polihedral dari permukaan ini. Representasi di bawah ini akan sangat menarik perhatian kita.
Pada tabel 4 terdapat hal yang paling sulit dipelajari. Saya merasa mustahil seseorang bisa memahami objek-objek ini dengan hanya melihat gambar. Buatlah model miniatur. Dengan kata sederhana, tarik titik kuspidal C2 ke "dalam permukaan" (yang, sebagai catatan sampingan, tidak memiliki makna karena, sebagaimana Anda pasti perhatikan, permukaan Cross Cap bersifat unilateral: tidak memiliki permukaan luar dan dalam). Dengan terus menarik, permukaan akan "menyilang dirinya sendiri", dan himpunan autointerseksi akan selesai, dengan sedikit membulatkan bentuknya, membentuk kurva berbentuk angka delapan. Secara tidak langsung, terbentuklah titik tripel T.
Permukaan ini menjadi lebih mudah dipahami dalam bentuk polihedral, dan di bawah ini kita memperbesar beberapa elemen untuk menunjukkan mengapa kita mengubah objek ini menjadi permukaan romawi Steiner (lihat simulasi realitas maya), yang bentuk polihedral paling sederhananya terdiri dari empat kubus (di sini hanya terlihat tiga).
Tabel 5: versi polihedral di kiri, bulat di kanan. Panah melewati titik yang akan kita "mengencangkan". Di bawahnya, awal dari operasi pengencangan.
Tabel 6: pengencangan dilakukan dan menciptakan titik singular B. Sebenarnya, karena kita mengencangkan dari kedua sisi (untuk menghemat waktu), terbentuk dua titik singular S1 dan S1, lalu dua titik kuspidal. Pada tahap ini, tanpa kertas karton, gunting, dan pita perekat, Anda akan kesulitan.
Tabel 7: di sini kita hanya memindahkan berbagai titik kuspidal. Jika titik C2 "jelas", Anda mungkin akan kesulitan mengidentifikasi titik C3 dan C4 sebagai kuspidal. Padahal mereka ada di ujung-ujung garis autointerseksi. Di atas titik C3 hanya terdapat apa yang saya sebut "posicono", yaitu titik di mana kelengkungan positif terkonsentrasi (saya menyebut titik dengan kelengkungan negatif terkonsentrasi sebagai "negacono"). Dengan sedikit membentuk ulang objek ini, kita akan mendapatkan bentuk polihedral dari permukaan romawi Steiner (ditemukan oleh Steiner di Roma; lihat ilustrasi realitas maya).
Jadi, permainan selesai. Ada berbagai jenis permukaan, tergantung aturan yang Anda tetapkan. Permukaan yang tidak saling berpotongan disebut "embeddings" (dari bola atau torus di R3). Ketika permukaan saling berpotongan tetapi bidang singgung berubah secara kontinu tanpa mengalami degenerasi, disebut immersion. Contoh: botol Klein dalam representasi klasiknya. Di R3 tidak ada representasi botol Klein dalam bentuk embedding: secara inheren harus saling berpotongan. Immersion memiliki himpunan autointerseksi tanpa titik kuspidal. Himpunan ini berupa kurva kontinu, tetapi bisa berpotongan di titik ganda atau tripel. Catatan: bola bisa direpresentasikan sebagai immersion (yang bukan embedding) dengan membuatnya saling berpotongan. Ini sebenarnya cara untuk membalikkan bola (lihat metode A. Phillips, 1967, yang memiliki langkah utama adalah pelipatan ganda permukaan Boy; lihat juga B. Morin dan J.P. Petit, 1979, yang mengambil model utama sebagai model "empat telinga" karya Morin, yang representasi polihedralnya dapat Anda lihat di bawah ini, yang saya ciptakan sekitar sepuluh tahun yang lalu).
Rencana perakitan objek ini menggunakan kertas dan gunting
Jika aturan permainan diperluas dengan mengizinkan objek-objek ini memiliki titik kuspidal, maka akan diperoleh summersion (Cross Cap, permukaan romawi Steiner). Saya tidak tahu apakah kata "summersion" ini benar, tetapi karena saya tidak menemukan seorang matematikawan yang bisa menjelaskan hal ini, saya merasa menyenangkan menciptakan istilah ini sementara, sampai seorang ahli geometri muncul. Dengan demikian, permukaan Cross Cap dan permukaan romawi Steiner adalah dua summersion dari "bidang proyekif".
Saya jujur mengatakan, setelah dua puluh lima tahun aktivitas dan kekecewaan saya dalam bidang Magneto-Hidrodinamika, saya memulai pekerjaan ini karena saya merasa ini sangat jauh dari aplikasi militer. Namun, seperti yang ditegaskan teman lama saya Mihn, istilah "summersion" bisa menimbulkan kebingungan dan menimbulkan kesan di mata Angkatan Laut bahwa melalui penelitian ini saya mencoba menyembunyikan kemajuan dalam bidang propulsi bawah air.
Aturan "pembentukan-pemecahan" pasangan titik kuspidal memungkinkan kita beralih dari satu summersion objek ke summersion lainnya, dan itulah yang baru saja kita lakukan, menunjukkan bahwa Cross Cap dan permukaan romawi Steiner adalah dua summersion dari objek yang sama, dikenal sebagai bidang proyekif. Jangan mencoba membayangkan "bidang proyekif". Objek ini hanya bisa dipahami melalui berbagai representasi yang berbeda. Mengenai istilah "proyekif", itu hanyalah salah satu dari seribu istilah yang diciptakan matematikawan untuk mengaburkan orang-orang yang ingin masuk ke lingkaran tertutup mereka. Zanichelli tidak akan berguna sama sekali dalam matematika.
Yang tersisa adalah bagaimana beralih ke permukaan Boy, yang merupakan immersion dari bidang proyekif
Halaman sebelumnya Halaman berikutnya
Kembali ke indeks "Transformasi Cross Cap menjadi Boy"
Kembali ke bagian Berita Terkini Kembali ke bagian Panduan Kembali ke Halaman Utama
Jumlah kunjungan sejak 25 Oktober 2003 :
Gambar
