Matematika geometri permukaan topologi
Cara mengubah permukaan Cross Cap
menjadi permukaan Boy (kanan atau kiri, terserah pilihan Anda)
dengan melewati permukaan romawi Steiner.
Bahasa Italia: Andrea Sambusetti, Universitas Roma
../../Crosscap_Boy1.htm
27 September - 25 Oktober 2003
Halaman 2
Berikut ini adalah "permukaan Cross Cap" (seperti yang Anda temukan dalam gambar realitas maya). Permukaan ini memiliki dua titik kuspidal yang merupakan simpul dari garis autointerseksi. Permukaan ini dapat dibuat dengan menekan balon menggunakan jepit rambut. Namun, Anda juga dapat membuat representasi polihedral dari permukaan ini. Representasi di bawah ini akan sangat menarik perhatian kita.
Pada tabel 4 terdapat hal yang paling sulit dipelajari. Saya merasa mustahil seseorang benar-benar memahami objek-objek ini hanya dengan melihat gambar. Buatlah model miniatur. Dengan kata sederhana, tarik titik kuspidal C2 ke "dalam permukaan" (yang, secara sampingan, tidak memiliki makna karena, tentu saja, Anda segera menyadari bahwa permukaan Cross Cap bersifat unilateral: tidak memiliki permukaan dalam dan luar). Dengan terus menarik, permukaan akan "menyilang dirinya sendiri", dan himpunan autointerseksi akan selesai, dengan sedikit membulatkan, membentuk kurva berbentuk angka delapan. Secara tidak langsung, terbentuklah titik tripel T.
Permukaan menjadi lebih mudah dipahami dalam bentuk polihedral, dan di bawah ini kita memperbesar beberapa elemen untuk menunjukkan alasan kita mengubah objek ini menjadi permukaan romawi Steiner (lihat simulasi realitas maya), yang bentuk polihedral paling sederhananya terdiri dari empat kubus (di sini hanya terlihat tiga kubus).
Tabel 5: versi polihedral di kiri, bulat di kanan. Panah melewati titik yang akan kita "menyempitkan". Di bawahnya, awal dari operasi penyempitan.
Tabel 6: penyempitan dilakukan dan menciptakan titik singular B. Sebenarnya, karena kita menyempitkan dari kedua sisi (untuk menghemat waktu), terbentuk dua titik singular S1 dan S1, lalu dua titik kuspidal. Pada titik ini, tanpa kertas karton, gunting, dan pita perekat, Anda benar-benar dalam kesulitan.
Tabel 7: di sini kita hanya memindahkan berbagai titik kuspidal. Jika titik C2 "jelas", Anda pasti akan kesulitan mengidentifikasi titik C3 dan C4 sebagai kuspidal. Padahal, mereka berada di ujung-ujung garis autointerseksi. Di atas titik C3 hanya terdapat apa yang saya sebut "posicono", yaitu titik di mana kelengkungan positif terkonsentrasi (saya menyebut titik dengan konsentrasi kelengkungan negatif sebagai "negacono"). Dengan sedikit membentuk ulang objek ini, kita mendapatkan bentuk polihedral dari permukaan romawi Steiner (ditemukan oleh Steiner di Roma; lihat ilustrasi realitas maya).
Jadi, permainan selesai. Ada berbagai jenis permukaan, tergantung aturan yang Anda tetapkan. Permukaan yang tidak saling berpotongan disebut "embeddings" (dari bola atau torus di R3). Ketika permukaan saling berpotongan tetapi bidang singgung berubah secara kontinu tanpa mengalami degradasi, disebut immersi. Contohnya: botol Klein dalam representasi klasiknya. Di R3 tidak ada representasi botol Klein sebagai embedding: ia harus saling berpotongan. Imersi memiliki himpunan autointerseksi tanpa titik kuspidal. Himpunan ini berupa kurva kontinu, tetapi bisa saling berpotongan di titik ganda atau tripel. Catatan: bola dapat direpresentasikan sebagai imersi (yang bukan embedding) dengan membuatnya saling berpotongan. Ini sebenarnya cara untuk membalikkannya (lihat metode A. Phillips, 1967, yang memiliki langkah utama adalah pelipatan ganda permukaan Boy; lihat juga B. Morin dan J.P. Petit, 1979, yang mengambil model utama berupa model "empat telinga" karya Morin, di mana di bawah ini Anda dapat melihat representasi polihedral yang saya ciptakan sekitar sepuluh tahun lalu).
Rencana perakitan objek ini menggunakan kertas dan gunting
Jika aturan permainan diperluas dengan menerima bahwa objek-objek ini dapat memiliki titik kuspidal, maka diperoleh yang disebut summersion (Cross Cap, permukaan romawi Steiner). Saya tidak tahu apakah istilah "summersion" ini benar, tetapi karena saya tidak menemukan seorang matematikawan yang dapat menjelaskan hal ini dengan jelas, saya merasa menyenangkan menciptakan istilah ini sementara, sampai seorang ahli geometri muncul. Dengan demikian, permukaan Cross Cap dan permukaan romawi Steiner adalah dua summersion dari "bidang proyekif".
Saya harus jujur: setelah dua puluh lima tahun aktivitas dan kekecewaan dalam bidang Magneto-Hidrodinamika, saya memulai pekerjaan ini karena saya merasa ini jauh dari setiap aplikasi militer. Namun, seperti yang diperhatikan oleh teman lama saya Mihn, istilah "summersion" bisa menimbulkan kebingungan dan menimbulkan kesan di mata Angkatan Laut bahwa melalui penelitian ini saya mencoba menyembunyikan kemajuan dalam bidang propulsi bawah air.
Aturan "pembentukan-pemecahan" pasangan titik kuspidal memungkinkan perpindahan dari satu summersion objek ke summersion lainnya, dan itulah yang baru saja kita lakukan, menunjukkan bahwa Cross Cap dan permukaan romawi Steiner adalah dua summersion dari objek yang sama, dikenal sebagai bidang proyekif. Jangan mencoba membayangkan "bidang proyekif". Objek ini hanya bisa dipahami melalui berbagai representasi yang berbeda. Mengenai istilah "proyekif", itu hanyalah salah satu dari seribu istilah yang diciptakan matematikawan untuk mengelabui mereka yang ingin masuk ke lingkaran tertutup mereka. Zanichelli tidak akan membantu apa pun dalam matematika.
Yang tersisa adalah bagaimana beralih ke permukaan Boy, yang merupakan imersi dari bidang proyekif
Halaman sebelumnya Halaman berikutnya
Kembali ke indeks "Transformasi Cross Cap menjadi Boy"
Kembali ke bagian Baru Kembali ke bagian Panduan Kembali ke Halaman Utama
Jumlah kunjungan sejak 25 Oktober 2003 :
Gambar
