Transformasi Crosscap menjadi permukaan Boy, melalui permukaan Steiner Roma
Cara mengubah crosscap menjadi permukaan Boy (kiri atau kanan, terserah pilihan Anda) dengan melewati permukaan Steiner Roma.
27 September - 25 Oktober 2003
halaman 2
Ini adalah Cross Cap (seperti yang Anda temukan dalam gambar realitas maya). Ia memiliki dua titik kuspidal yang membatasi garis interseksi ganda. Anda dapat membuatnya dengan menekan balon menggunakan alat pengeriting rambut. Namun Anda juga bisa membuat representasi polihedralnya. Representasi di bawah ini akan menjadi fokus utama kita.
Pada papan 4 ini terjadi momen paling sulit dipahami. Bagi saya tampak hampir mustahil bahwa orang awam bisa memahami gambar-gambar ini hanya dengan melihatnya. Buatlah model-model ini. Secara jelas, kita menarik titik kuspidal C2 ke "dalam permukaan" (yang sebenarnya tidak masuk akal karena, Anda pasti sudah menyadari sejak awal, Cross Cap bersifat unilatere. Dengan terus menarik, permukaan akan saling menembus dan seluruh garis interseksi ganda akan melengkung menjadi bentuk angka delapan. Di saat bersamaan, terbentuklah titik rangkap tiga T.
Permukaan ini lebih mudah dipahami dalam bentuk polihedral, dan di bawah ini kita memperbesar beberapa elemen untuk menunjukkan alasan kita mengubah objek ini menjadi Permukaan Steiner Roma (lihat realitas maya), yang bentuk polihedral paling sederhananya terdiri dari empat kubus (di sini hanya terlihat tiga).
Papan 5: Polihedral di kiri, bentuk melengkung di kanan. Panah melewati jalur yang akan "dipencet". Di bawahnya adalah awal dari proses pencetan.
Papan 6: Pencetan dilakukan dengan menciptakan titik singular B. Sebenarnya karena kita mencubit dari kedua sisi demi menghemat waktu, terbentuk dua titik singular S1 dan S1, lalu dua pasang titik kuspidal. Di sini, tanpa kertas karton, gunting, dan pita perekat, Anda akan kesulitan.
Papan 7: Kita hanya memindahkan berbagai titik kuspidal. Jika titik C2 terlihat "jelas", Anda akan sedikit kesulitan mengidentifikasi titik C3 dan C4 sebagai titik kuspidal. Padahal mereka memang ada di ujung garis interseksi ganda. Di atas titik C3 hanya terdapat apa yang saya sebut "posicoin", yaitu titik konsentrasi kelengkungan positif (titik konsentrasi kelengkungan negatif disebut "négacoin"). Dengan sedikit memodifikasi bentuk objek ini, kita akan mendapatkan bentuk polihedral dari Permukaan Steiner Roma (permukaan derajat keempat yang ditemukan Steiner di Roma. Lihat presentasinya dalam realitas maya).
Jadi, sudah selesai. Ada berbagai jenis permukaan tergantung pada aturan yang kita tetapkan. Permukaan yang tidak saling memotong dirinya sendiri disebut plongging (dari bola atau torus dalam R3). Ketika permukaan saling memotong tetapi bidang singgung berubah secara kontinu, disebut imersion. Contoh: botol Klein dalam representasi klasiknya. Tidak ada representasi botol Klein dalam R3 sebagai plongging. Ia pasti akan saling memotong dirinya sendiri. Imersion memiliki himpunan interseksi ganda yang bebas dari titik kuspidal. Kurva-kurva ini kontinu tetapi bisa saling berpotongan atau memiliki titik rangkap dua atau tiga. Catatan: bola bisa direpresentasikan sebagai imersion dengan hanya membuatnya saling menutupi dirinya sendiri. Bahkan inilah cara yang digunakan untuk membalikkan bola (A. Phillips, 1967, dengan langkah sentral adalah pelipatan ganda permukaan Boy; B. Morin dan J.P. Petit, 1979, dengan model utama adalah model empat telinga Morin, yang representasi polihedralnya saya ciptakan sekitar sepuluh tahun lalu.
Peta untuk perakitan objek ini menggunakan pemotongan
Jika kita memperluas aturan permainan dengan mengasumsikan objek-objek ini memiliki titik kuspidal, maka kita mendapatkan submersi (Cross Cap, Permukaan Steiner Roma). Saya tidak tahu apakah kata ini tepat, tetapi karena saya tidak menemukan seorang ahli matematika yang bisa memberi penjelasan, saya merasa lucu untuk menciptakan kata ini sementara, sampai seorang ahli geometri muncul. Dengan demikian, Cross Cap dan Permukaan Steiner Roma bisa disebut submersi dari "bidang proyekif".
Sejujurnya, setelah pengalaman buruk saya dalam bidang MHD selama dua puluh lima tahun, saya memulai pekerjaan ini karena saya merasa sangat jauh dari aplikasi militer. Namun, seperti yang diperhatikan oleh teman tua saya Mihn, istilah submersi bisa menimbulkan kekeliruan dan membuat Angkatan Laut Nasional menduga bahwa melalui penelitian ini saya mencoba menyembunyikan kemajuan dalam bidang propulsi bawah air.
Aturan "penciptaan-penghancuran" pasangan titik kuspidal memungkinkan kita beralih dari satu submersi objek ke submersi lainnya, dan inilah yang baru saja kita lakukan dengan menunjukkan bahwa Cross Cap dan Permukaan Steiner Roma adalah dua submersi dari objek yang sama bernama bidang proyekif. Jangan mencari bentuk sebenarnya dari "bidang proyekif". Objek ini tidak bisa dipahami kecuali melalui berbagai representasinya. Sedangkan kata "bidang proyekif" hanyalah salah satu dari seribu istilah yang diciptakan matematikawan untuk membingungkan mereka yang ingin masuk ke lingkaran tertutup mereka. Larousse tidak akan membantu Anda sama sekali dalam matematika.
Kini kita beralih ke permukaan Boy, yang merupakan imersion dari bidang proyekif
Halaman sebelumnya Halaman
berikutnya
Kembali ke daftar "Transformasi Cross Cap menjadi Boy"
Kembali ke Panduan Kembali ke Halaman Depan
Jumlah kunjungan sejak 25 Oktober 2003:
Gambar
