Transformasi Crosscap menjadi permukaan Boy, melalui permukaan Steiner Roma
Cara mengubah crosscap menjadi permukaan Boy (kiri atau kanan, sesuai pilihan), dengan melewati permukaan Steiner Roma.
27 September - 25 Oktober 2003
Halaman 2
Ini adalah sebuah Cross Cap (seperti yang Anda temukan dalam gambar realitas maya). Ia memiliki dua titik kuspida yang membatasi suatu garis interseksi silang. Anda bisa membuatnya dengan menekan bola menggunakan alat pengeriting rambut. Namun Anda juga bisa membuat representasi polihedral dari bentuk ini. Representasi di bawah ini akan menjadi fokus utama kita.
Pada lembaran 4 ini terjadi momen paling sulit dipahami. Bagi saya, hampir mustahil seseorang biasa bisa memahami gambar-gambar ini hanya dengan melihat gambarnya. Buatlah model-model ini sendiri. Dengan jelas, kita menarik titik kuspida C2 ke "dalam permukaan" (yang sebenarnya tidak masuk akal, karena Anda pasti sudah menyadari, Cross Cap bersifat unilatere. Saat ditekankan, permukaan akan saling menembus dan seluruh garis interseksi silang akan melengkung membentuk bentuk seperti angka delapan. Pada saat bersamaan muncul titik tiga T.
Permukaan ini lebih mudah dipahami dalam bentuk polihedral, dan di bawah ini kita memperbesar beberapa elemen agar bisa melihat apa yang mendorong kita untuk mengubah objek ini menjadi Permukaan Steiner Roma (lihat realitas maya), yang bentuk polihedral paling sederhananya terbentuk dari empat kubus (di sini hanya terlihat tiga).
Lembaran 5: Polihedral di kiri, bentuk melengkung di kanan. Panah melewati jalur yang akan "dipencet". Di bawahnya adalah awal dari proses pencetan.
Lembaran 6: Pencetan dilakukan dengan menciptakan titik singular B. Sebenarnya, karena kita mencubit dari kedua sisi agar lebih cepat, maka muncul dua titik singular S1 dan S1, lalu dua pasang titik kuspida. Di sini, tanpa kertas karton, gunting, dan pita perekat, Anda akan kesulitan.
Lembaran 7: Kita hanya memindahkan berbagai titik kuspida. Jika titik C2 "jelas terlihat", Anda akan sedikit kesulitan mengidentifikasi titik C3 dan C4 sebagai titik kuspida. Padahal mereka memang ada di ujung garis interseksi silang. Di atas titik C3 hanya terdapat apa yang saya sebut "posicoin", yaitu titik konsentrasi kelengkungan positif (titik konsentrasi kelengkungan negatif disebut "négacoin"). Dengan sedikit membentuk ulang objek ini, kita akan mendapatkan bentuk polihedral dari permukaan Steiner Roma (permukaan derajat keempat yang ditemukan Steiner di Roma. Lihat penjelasan dalam realitas maya).
Jadi, tugas selesai. Ada berbagai jenis permukaan, tergantung aturan yang kita tetapkan. Permukaan yang tidak saling memotong dirinya sendiri disebut plongging (dari bola atau torus dalam R3). Ketika permukaan saling memotong tetapi bidang singgung berubah secara kontinu, disebut imersion. Contoh: botol Klein dalam representasi klasiknya. Tidak ada representasi botol Klein dalam R3 dalam bentuk plongging. Ia harus saling memotong dirinya sendiri. Imersion memiliki himpunan interseksi silang yang bebas dari titik kuspida. Kurva-kurva ini kontinu tetapi bisa saling berpotongan, atau memiliki titik ganda atau tiga. Catatan: bola bisa direpresentasikan sebagai imersion dengan hanya membuatnya saling menutupi dirinya sendiri. Bahkan, inilah cara yang digunakan untuk membalikkan bola (A. Phillips, 1967, dengan langkah sentral adalah pelipatan ganda permukaan Boy; B. Morin dan J.P. Petit, 1979, dengan model utama adalah model empat telinga Morin, yang berikut ini merupakan representasi polihedral yang saya ciptakan sekitar sepuluh tahun lalu.
Peta untuk perakitan objek ini menggunakan pemotongan
Jika kita memperluas aturan permainan dengan menganggap objek-objek ini memiliki titik kuspida, maka kita mendapatkan submersi (Cross Cap, Permukaan Steiner Roma). Saya tidak tahu apakah kata ini tepat, tetapi karena saya tidak menemukan seorang matematikawan yang bisa memberi penjelasan, saya merasa lucu untuk menciptakan kata ini sementara, sampai seorang ahli geometri muncul. Dengan demikian, Cross Cap dan Permukaan Steiner Roma bisa disebut submersi dari "bidang proyekif".
Untuk mengungkapkan secara jujur, setelah kegagalan saya dalam bidang MHD selama dua puluh lima tahun, saya memulai pekerjaan ini karena saya merasa sangat jauh dari setiap aplikasi militer. Namun, seperti yang diperhatikan oleh teman tua saya Mihn, istilah submersi bisa menimbulkan kebingungan dan memberi kesan kepada Angkatan Laut Nasional bahwa melalui penelitian ini saya mungkin berusaha menyembunyikan kemajuan dalam bidang propulsi bawah air.
Aturan "penciptaan-penghancuran" pasangan titik kuspida memungkinkan kita berpindah dari satu submersi objek ke submersi lainnya, dan inilah yang baru saja kita lakukan dengan menunjukkan bahwa Cross Cap dan Permukaan Steiner Roma adalah dua submersi dari objek yang sama bernama bidang proyekif. Jangan mencari tahu seperti apa bentuk "bidang proyekif". Objek ini tidak bisa dipahami kecuali melalui berbagai representasinya. Sedangkan kata "bidang proyekif" hanyalah salah satu dari seribu istilah yang diciptakan matematikawan untuk membingungkan mereka yang ingin masuk ke dalam lingkaran tertutup mereka. Larousse tidak akan membantu Anda dalam matematika.
Selanjutnya, kita beralih ke permukaan Boy, yang merupakan imersion dari bidang proyekif
Halaman sebelumnya Halaman
berikutnya
Kembali ke daftar "Transformasi Cross Cap menjadi Boy"
Kembali ke Panduan Kembali ke Halaman Utama
Jumlah kunjungan sejak 25 Oktober 2003:
Gambar
