Transformasi Crosscap menjadi permukaan Boy, melalui permukaan Steiner Roma

Transformasi Crosscap menjadi permukaan Boy, melalui permukaan Steiner Roma

Cara mengubah crosscap menjadi permukaan Boy (kanan atau kiri, sesuai pilihan) dengan melewati permukaan Steiner Roma.

27 September 2003

Halaman 4

Kini model ditampilkan dari sudut lain:

Lembar 14: Operasi yang sama diulang dengan menciptakan "telinga ketiga" dari kurva interseksi diri. Dalam bentuk polihedral, bentuk ini terdiri dari tiga persegi yang memiliki satu titik sudut bersama: titik rangkap T.

Lembar 15: Dengan memutar objek, Anda akan menemukan versi polihedral permukaan Boy yang pernah saya perkenalkan dan tampilkan dalam Topologicon (yang berisi pemotongan yang memungkinkan pembuatannya).

Lembar terakhir: Saya mencoba menggambarkan permukaan Steiner (berderajat keempat, sementara permukaan Boy berderajat keenam) sedang berkelit dan berubah menjadi permukaan Boy.

Terlihat bahwa dalam bentuk "bulat", diperlukan kebiasaan yang kuat untuk memahami objek ini. Mata kita sangat tidak nyaman saat mencoba memahami objek di mana lebih dari dua lapisan tumpang tindih pada satu garis pandangan. Oleh karena itu, pentingnya bentuk polihedral yang membuat transformasi yang dianggap rumit dalam geometri menjadi aksesibel bagi umum, karena orang-orang harus berusaha membangun model sendiri. Dalam prosesnya, kita menyadari bahwa tergantung pada pasangan titik kuspida yang dipilih, kita mendapatkan permukaan Boy "kanan" atau "kiri" (kata-kata yang sepenuhnya arbitrer). Bidang proyekif tertanam dalam dua representasi "enantioform", seperti cermin. Terlihat bahwa kita bisa beralih dari Boy kanan ke Boy kiri melalui model "tengah" yang merupakan permukaan Steiner Roma.

Mungkin akan menyenangkan jika gambar-gambar seperti ini dipublikasikan dalam Pour la Science atau La Recherche. Namun selama dua puluh tahun terakhir saya dilarang terbit di majalah-majalah tersebut karena alasan deviasiisme UFO. Terima kasih, Tuan Hervé This dan Philippe Boulanger. Saya tidak bisa menghitung berapa banyak artikel semacam ini yang telah saya kirim ke majalah-majalah tersebut dan yang kembali kepada saya dengan sopan. Akhirnya, saya menyerah pada status sebagai orang yang dikeluarkan dari komunitas.

Secara anekdot, di Prancis ada "Penghargaan Alembert" yang ditujukan untuk menghargai penulis buku populer dalam matematika. Kisah ini diceritakan oleh seorang anggota komisi yang bertugas menentukan penerima penghargaan (memang ada uang yang tersedia). Dialog:

• Tapi bagaimana kalau kita memberikan penghargaan ini kepada Petit? Ia telah membuat karya-karya luar biasa seperti Géométricon, Trou Noir, dan Topologicon.

• Ya, tapi ia tidak hanya membuat album-album itu.

• Apa maksud Anda?

• Ia juga menulis Mur du Silence.

• Ah, kalau begitu...

Ya, Mur du Silence, terbit tahun 1983, adalah album yang didedikasikan untuk MHD. Dan, seperti diketahui, ilmu ini yang penuh kontroversi memiliki keistimewaan—atau kecerdikan—yang memungkinkan cakram terbang bergerak dengan kecepatan supersonik tanpa menghasilkan ledakan.

Sembunyikan ilmu ini, agar saya tidak melihatnya

Saya memiliki versi luar biasa dari "pembalikan kubus" dengan model pusat yang sangat indah, yang bukan versi polihedral dari varian Morin. Semuanya hasil karya saya sendiri. Suatu saat nanti.....

22 Oktober 2003: Halaman ini tidak terlalu ramai, jika dilihat dari angka pengunjung. Pada hari Senin, 13 Oktober 2003, saya memberikan seminar di CMI (Pusat Matematika dan Informatika Château-Gombert-Marseille) atas undangan Trotman. Dalam kesempatan itu, saya menampilkan koleksi sekitar tiga puluh model dari kertas karton, yang akan segera Anda lihat pertama kali, karena telah difoto oleh Christophe Tardy.

Ketika memberikan seminar, suasana tertentu muncul. Pada foto berikut, seorang ahli geometri menunjukkan keraguan.

Di latar belakang, sebagian model yang dipamerkan. Pada suatu saat saya bertanya:

- Siapa di sini yang pernah melihat permukaan Steiner Roma? Angkat tangan.

Tidak ada yang pernah melihatnya. Maka saya merasa perlu memperkenalkan objek tersebut, secara virtual, menggunakan laptop yang saya bawa, yang dibuat bersama Christophe Tardy, insinyur, dan Frédéric Descamp dari Institut Laue Langevin di Grenoble (ILL). Jelas, presentasi ini membingungkan audiens, yang tidak terbiasa melihat permukaan matematis berputar-putar sesuka hati.

Dua papan karton di depan, yang terlihat jelas, digunakan untuk menampilkan urutan model secara logis. Model "hijau dan kuning" menggambarkan, dalam bentuk polihedral, alat utama untuk menciptakan atau menghilangkan pasangan titik kuspida. Objek putih yang paling jauh adalah versi polihedral dari Cross Cap, yang pertama kali berubah menjadi versi polihedral dari permukaan Steiner Roma, satu meter lebih jauh, lalu, sesuai keinginan, menjadi permukaan Boy "kanan" atau "kiri".

Analisis model-model ini memunculkan berbagai komentar dari audiens. Salah satu ahli geometri bertanya:

- Jika dengan mengikuti model dalam arah ini kita bisa berpindah dari Cross Cap ke Boy, tampaknya jika kita melakukan sebaliknya, kita bisa mengubah Boy kembali menjadi Cross Cap.

Saya menjawab dengan afirmatif. Berani, lawan bicara saya menambahkan:

- Jika kita berhenti pada tahap permukaan Steiner Roma, maka kita bisa kembali ke permukaan Boy cermin.

Saya menyetujui sekali lagi. Namun sayangnya, tidak ada yang mau memberikan penjelasan lebih lanjut tentang dunia aneh ini di mana kita memberi titik kuspida pada imersi permukaan tertutup, yang diciptakan atau dihilangkan secara berpasangan, keseluruhan membentuk semacam perluasan dunia imersi. Kata "submersi" menurut saya lebih tepat. Jika ada pembaca yang menemukan penjelasan, akan sangat saya syukuri.

Kelengkungan terkonsentrasi di satu titik kuspida

Kita akan menghitungnya dengan menjumlahkan sudut-sudut di titik sudut dan membandingkannya dengan jumlah sudut Euclidean: 2π.

Di atas kiri, ditampilkan salah satu dari banyak representasi polihedral titik kuspida. Pembongkaran objek (di kanan) menghasilkan jumlah sudut yang melebihi jumlah Euclidean 2π sebesar 2α. Dari sini dapat disimpulkan bahwa kelengkungan sudut yang terkonsentrasi di sekitar titik C adalah -2α. Jika sudut α sama dengan π/2, maka kelengkungan negatifnya adalah c (lihat di bawah kiri). Sebenarnya, kelengkungan yang terkonsentrasi di titik kuspida dapat memiliki tak hingga nilai. Di bawah kanan, kita memperbesar jumlah sudut dan kelengkungan menjadi < 2α. Kelengkungan negatif menjadi lebih besar.

Dengan pendekatan terbalik, kita bisa mencapai situasi yang cukup mengejutkan: membuat kelengkungan (sudut) yang terkonsentrasi di C menjadi ... nol:

Kini kita mulai dari representasi polihedral Cross Cap yang memiliki dua titik kuspida, masing-masing dengan kelengkungan negatif sebesar -π:

Ada delapan "posicoins" yang sesuai dengan nilai +π/2. Tambahkan empat "posicoins" lain dengan kelengkungan +π/4 dan empat "negacoins" dengan kelengkungan -π/4.

Ditambah dua titik kuspida dengan kelengkungan -π.

Total: 2π

Dengan membagi kelengkungan total ini dengan 2π, kita mendapatkan karakteristik Euler-Poincaré dari semua representasi bidang proyekif (seperti permukaan Boy).

Selama seminar saya menyebutkan seni dan cara menukar dua titik kuspida pada Cross Cap menggunakan pembalikan bola. Saya tidak tahu apakah saya pernah menulis ini di situs saya. Itu terlalu berantakan. Saya harus mencari, kalau tidak saya akan menuliskannya di suatu tempat. Ini cukup menghibur. Yang jelas, penampilan ini tidak terlalu disukai oleh salah satu peserta seminar.

• Saya tidak mengerti mengapa Petit menggunakan peralatan rumit ini untuk menunjukkan simetri antara dua titik kuspida pada Cross Cap. Ada cara yang jauh lebih sederhana.

Lalu ia menggambar di papan tulis gambar bola yang diinjak oleh dua batang yang dihubungkan, yang menghasilkan struktur interseksi diri berbentuk segmen dengan dua titik kuspida di ujungnya, seperti pada Cross Cap. Sayangnya, dan orang itu menyadarinya, ini bukan Cross Cap.

• Sungguh, lalu apa ini? Tanya seseorang.

Ini hanyalah bola biasa yang dilengkapi dua titik kuspida. Jika kedua titik ini digabungkan, maka garis interseksi diri akan menjadi lingkaran sederhana. Dan kita mendapatkan di bawah kiri (dalam potongan) imersi bola yang hanya perlu diubah menjadi penyelaman. Selain itu, kita bisa beralih ke representasi polihedral dari permukaan ini:

Permukaan ini dua sisi dan kelengkungannya 2π.

Kita bisa bersenang-senang cukup banyak dengan "submersi" semacam ini. Ambil imersi torus yang dibuat dengan memutar simbol "tak hingga" atau angka "8" mengelilingi suatu sumbu.

Teknik penggabungan titik kuspida memungkinkan kita mencapai penyelaman standar torus dengan cepat, seperti yang ditunjukkan dalam rangkaian gambar berikut.

Namun terkadang, hal-hal tidak selalu sesederhana dan jelas seperti itu. Misalnya, saya mengambil bola yang saya tekan antara dua segmen yang panjangnya kali ini lebih pendek dari diameter. Kita tetap mendapatkan dua titik kuspida.

Karena kita bisa menempatkan pita Möbius di dalamnya, permukaan ini bersifat satu sisi. Representasi polihedralnya ditampilkan, memungkinkan kita menghitung kelengkungan totalnya. Hasilnya adalah nol. Jika saya tidak salah, ini kemungkinan besar adalah botol Klein. Biasanya kita hanya mengenal imersi paling klasik di mana garis interseksi diri berupa lingkaran sederhana. Tapi ada juga bentuk lain, seperti ini. Saya akui, saya belum menemukan cara mengubah objek di atas menjadi imersi botol Klein. Saya juga tidak tahu apakah berbagai imersi ini termasuk dalam grup homotopi yang sama (bola hanya memiliki satu). Secara awal, tidak, karena torus bisa diimergi dalam empat cara berbeda, yang tidak bisa dihubungkan satu sama lain melalui homotopi reguler. Sementara itu, saya bersenang-senang mengubah permukaan ini dengan menambahkan dua titik kuspida tambahan, dan hasilnya adalah dua Cross Cap yang dihubungkan oleh tabung. Jika kita memotongnya, kita mendapatkan karakteristik Euler-Poincaré sama dengan nol.

Permukaan "aneh" ini seharusnya bisa diubah menjadi salah satu imersi botol Klein. Tapi yang mana? Setidaknya ini adalah salah satu hasilnya, yang diperoleh dengan memutar "delapan" mengelilingi sumbu dan menambahkan setengah putaran:

Halaman sebelumnya

Kembali ke daftar "Transformasi Cross Cap menjadi Boy"

Kembali ke Panduan Kembali ke Halaman Utama

Jumlah kunjungan sejak 6 Oktober 2003: